أفق

طريقة بسيطة - يونغ

مع d في ميل و h في قدم،

إضافةً إلى ذلك، نهج أبسط من ذلك بكثير، والتي تنتج أساسا على نفس النتائج عند تقريب من الدرجة الأولى المذكورة أعلاه، يستعمل نموذج هندسي ولكن يستعمل دائرة نصف قطرها المسافة إلى الأفق إذن هي

كذلك، نتائج طريقة يونج قريبة جدًا من نتائج طريقة سوير، وهي دقيقة بدرجة كافية للعديد من الأغراض.

أخذ نصف قطر الأرض 6371 كم، مع d في km و h في m،

D = AB = قطر الأرض

h = OB = ارتفاع الراصد فوق مستوى سطح البحر

إضافةً إلى ذلك، مع d و D و h تُقاس جميعها بنفس الوحدات. تصبح الصيغة الآن، حيث R هو نصف قطر الأرض.

إضافةً إلى ذلك، يمكن كذلك اشتقاق نفس المعادلة باستخدام نظرية فيثاغورس. في الأفق، يكون خط الرؤية مماسًا للأرض وعموديًا كذلك على نصف قطر الأرض. هذا يشكل مثلثًا قائمًا، حيث يكون مجموع نصف القطر والارتفاع بمثابة الوتر. مع

ومن ناحية أخرى، D + h = OA = قطر الأرض فضلًا عن ارتفاع الراصد فوق مستوى سطح البحر،

علم أصول الكلمات

كذلك، كلمة horizon مشتقة من اليونانية هوريزون كوكلوس، «فصل الدائرة»، حيث "ὁρίζων" من الفعل ὁρίζω هوريز، «لقسمة»، «للفصل»، والتي بدورها مشتقة من "ὅρος" (hóros)، «الحدود، معلم معروف».

تنص نظرية الظل القاطع على ذلك

d = OC = المسافة إلى الأفق

قم بإجراء البدائل التالية:

أمثلة

• بافتراض عدم وجود انكسار في الغلاف الجوي وأن الأرض كروية بنصف قطر R = :
• بالنسبة لمراقب يقف على الأرض مع h = ، الأفق على مسافة .
• بالنسبة لمراقب يقف على الأرض مع h = ، الأفق على مسافة .
• لمراقب يقف على تلة أو برج فوق مستوى سطح البحر، الأفق على مسافة .
• لمراقب يقف على تلة أو برج فوق مستوى سطح البحر، الأفق على مسافة .

من جهة ثانية، لمراقب يقف على سطح برج خليفة، من الأرض، وحول فوق مستوى سطح البحر، الأفق على مسافة .

• لمراقب على القمة جبل ايفرست ( في الارتفاع)، الأفق على مسافة .
• لمراقب على متن طائرة ركاب تجارية تحلق على ارتفاع نموذجي من ، الأفق على مسافة .
• ل يو-2 الطيار، في حين تحلق في سقف خدمتها ، الأفق على مسافة .

مسافة الأفق الهندسي

الذي يصل إلى قرابة 35 كيلومترًا.

علاوةً على ذلك، في الصورة يتضح تأثير تحدب الأرض على رؤية الأجسام البعيدة حيث تختفي خلف الأفق من أسفل إلى أعلى

ومن جهة أخرى، كيلومترًا منه، والذي يصل إلى نحو 11.3 كيلومترًا. السفينة هي 8.7 كم. يتم تحديد ارتفاع نقطة على السفينة والتي يمكن رؤيتها فقط للمراقب من خلال:

من جهة ثانية، لحساب أكبر مسافة يمكن للمراقب من خلالها رؤية الجزء العلوي من جسم ما فوق الأفق، احسب المسافة إلى الأفق لمراقب افتراضي أعلى ذلك الكائن، وأضفه إلى مسافة المراقب الحقيقية إلى الأفق. مثلًا، لمراقب يبلغ ارتفاعه 1.70 متر على الأرض، الأفق 4.65 كم. لبرج ارتفاعه 100 م، مسافة الأفق 35.7 كم. وهكذا يمكن للمراقب الموجود على الشاطئ أن يرى قمة البرج طالما أنه لا يزيد عن 40.35 كم. على العكس، إذا مراقب على متن قارب يمكن أن يرى فقط قمم الأشجار على شاطئ قريب والأشجار هي على الأرجح قرابة 16 كم.

ومن ناحية أخرى، تأثير الانكسار الجوي بسبب الانكسار في الغلاف الجوي، تكون المسافة إلى الأفق المرئي أكبر من المسافة بناءً على حساب هندسي بسيط. إذا كان سطح الأرض (أو الماء) أبرد من الهواء فوقه، تتشكل طبقة كثيفة وباردة من الهواء بالقرب من السطح، مما يتسبب في انكسار الضوء إلى أسفل أثناء انتقاله، وبالتالي، إلى حد ما، للالتفاف حول انحناء الأرض. يحدث العكس إذا كانت الأرض أكثر سخونة من الهواء فوقها، كما يحدث غالبًا في الصحاري، مما ينتج السراب. كتعويض تقريبي للانكسار، يقوم المساحون الذين يقيسون مسافات أطول من 100 متر بطرح 14٪ من خطأ الانحناء المحسوب ويضمنون أن تكون خطوط الرؤية على بعد 1.5 متر على الأقل من الأرض، لتقليل الأخطاء العشوائية الناتجة عن الانكسار.

في هذا الإطار، ويلاحظ عدم تغير حجم السفينة الظاهري كثيرًا مما يثبت أن الاختفاء بهذه الطريقة بسبب كروية الأرض وليس تأثير المنظور.

ومن جهة أخرى، خارج نطاق الطول الموجي المرئي، سيكون الانكسار مختلفًا. للرادار (مثلًا للأطوال الموجية 300 إلى 3 مم أي الترددات بين 1 و 100 GHz) يمكن ضرب نصف قطر الأرض في 4/3 للحصول على نصف قطر فعال يعطي العامل 4.12 في الصيغة المترية، أي أن أفق الرادار سيكون 15٪ وراء الأفق الهندسي أو 7٪ بعد المرئي. العامل 4/3 ليس دقيقًا، لأنه في الحالة المرئية يعتمد الانكسار على الظروف الجوية.

كذلك، والذي يصل ارتفاعه إلى ستة أمتار على وجه التقريب. لذلك يمكن للمراقب أن يرى ذلك الجزء من السفينة الذي يزيد ارتفاعه عن ستة أمتار عن مستوى الماء. جزء السفينة الذي يقع تحت هذا الارتفاع مخفي عنه بانحناء الأرض. في هذه الحالة، يقال أن السفينة كانت متدلية.

حيث أن D BL بالكيلومترات و h B و h L بالأمتار.

علاوةً على ذلك، من الممكن بالمثل حساب مقدار ما يمكن رؤيته من جسم بعيد فوق الأفق. لنفترض أن عين المشاهد تقع على ارتفاع 10 أمتار فوق مستوى سطح البحر، وأنه يشاهد سفينة يبلغ ارتفاعها 20 مترًا كم. أفقه:

علاوةً على ذلك، إذا كانت الأرض خالية من الهواء مثل القمر، فإن الحسابات المذكورة أعلاه ستكون دقيقة. ومع ذلك، تتمتع الأرض بجو من الهواء، تختلف كثافته ومعامل انكساره اختلافًا كبيرًا حسب درجة الحرارة والضغط. هذا يجعل الهواء يتسبب في انكسار الضوء بدرجات متفاوتة، مما يؤثر على مظهر الأفق. عادة، تكون كثافة الهواء فوق سطح الأرض أكبر من كثافته عند ارتفاعات أكبر. وهذا يجعل معامل انكساره بالقرب من السطح أكبر منه في الارتفاعات العالية، مما يتسبب في انكسار الضوء الذي يسافر أفقيًا على وجه التقريب إلى الأسفل. هذا يجعل المسافة الفعلية إلى الأفق أكبر من المسافة المحسوبة بالصيغ الهندسية. في الظروف الجوية القياسية، يكون الفرق نحو 8٪. هذا يغير عامل 3.57، في الصيغ المترية المستعملة أعلاه، إلى قرابة 3.86. مثلًا، إذا كان المراقب يقف على شاطئ البحر، بعيون 1.70 متر فوق مستوى سطح البحر، بحسب الصيغ الهندسية البسيطة المعطاة فوق الأفق، يجب أن تكون 4.7 كم في الواقع، يسمح الانكسار الجوي للمراقب برؤية مسافة أبعد بمقدار 300 متر، لتحريك الأفق الحقيقي على بعد 5 كيلومترات من المراقب.

ومن جهة أخرى، كمثال آخر، لنفترض أن مراقبًا، عينه فوق مستوى الأرض بمترين، يستعمل منظارًا للنظر إلى مبنى بعيد يعرف أنه يتكون من ثلاثين طابقًا، ارتفاع كل منها 3.5 متر. يحصي الطوابق التي يستطيع أن يراها، ويجد أن هناك عشرة فقط. لذلك فإن عشرين طابقا أو 70 مترا من المبنى مخفية عنه بانحناء الأرض. من هذا يمكنه حساب بعده عن المبنى:

علاوةً على ذلك، بالإشارة إلى الشكل الموجود على اليمين، سيكون الجزء العلوي من المنارة مرئيًا للمراقبة في عش الغراب أعلى سارية القارب إذا

وفي هذا السياق، يمكن تطبيق هذا التصحيح، وغالبًا ما يتم، كتقريب جيد إلى حد ما عندما تكون ظروف الغلاف الجوي قريبة من المعيار. عندما تكون الظروف غير معتادة، يفشل هذا التقريب. يتأثر الانكسار بشدة بتدرجات درجة الحرارة، والتي يمكن أن تختلف اختلافًا كبيرًا من يوم لآخر، خاصة فوق الماء. في الحالات القصوى، عادةً في فصل الربيع، عندما يكسو الهواء الدافئ الماء البارد، يمكن أن يسمح الانكسار للضوء بتتبع سطح الأرض لمئات الكيلومترات. تحدث الظروف المعاكسة، مثلًا، في الصحاري، حيث يكون السطح شديد الحرارة، ويكون الهواء الساخن منخفض الكثافة تحت الهواء البارد. يتسبب هذا في انكسار الضوء لأعلى، مما يتسبب في آثار السراب التي تجعل مفهوم الأفق بلا معنى إلى حد ما. لذلك فإن القيم المحسوبة لتأثيرات الانكسار في ظل ظروف غير عادية هي قيم تقريبية فقط. ومع ذلك، بذلت محاولات لحسابها بدقة أكبر من التقريب البسيط الموصوف أعلاه.

تقريب

من جانب آخر، باستخدام كيلومترات لـ d و R، ومتر لـ h، وأخذ نصف قطر الأرض كـ 6371 كم، المسافة إلى الأفق

.

كذلك، يمكن استخدام هذه الصيغ عندما يكون h أصغر بكثير من نصف قطر الأرض (6371 كم أو 3959 ميل)، بما في ذلك جميع المناظر من أي قمم جبلية أو طائرات أو بالونات عالية الارتفاع. مع الثوابت المعطاة، تكون كل من الصيغ المترية والإمبراطورية دقيقة في حدود 1٪ (انظر القسم التالي لمعرفة كيفية الحصول على دقة أكبر). إذا كانت h مهمة بالنسبة إلى R، كما هو الحال مع أغلب الأقمار الصناعية، فإن التقريب لم يعد صالحًا، والصيغة الدقيقة مطلوبة.

ومن ناحية أخرى، إذا كانت d في ميل بحري، و h بالقدم، فإن العامل الثابت يكون نحو 1.06، وهو قريب بدرجة كافية من 1 بحيث يتم تجاهله غالبًا، مما يعطي:

وعلى صعيد آخر، إذا كان الراصد قريبًا من سطح الأرض، فمن الصحيح تجاهل h في المصطلح ، وتصبح الصيغة-

وفي السياق ذاته، باستخدام الوحدات الإمبراطورية، مع d و R في الأميال النظامية (كما هو شائع الاستخدام على الأرض)، و h بالأقدام، فإن المسافة إلى الأفق هي

.

الاشتقاق

علاوةً على ذلك، إذا افترضنا أن الأرض عبارة عن كرة بلا معالم (وليست كروية مفلطحة) بدون انكسار في الغلاف الجوي، فيمكن عندئذٍ حساب المسافة إلى الأفق بسهولة.

في الهندسة الوصفية

خط الأفق في علم الهندسة الوصفية يحدد كخط تقاطع بين مستويين:

المظهر والاستخدام

وعلى صعيد آخر، تاريخيًا، لطالما كانت المسافة إلى الأفق المرئي أمرًا حيويًا للبقاء والملاحة الناجحة، خاصة في البحر، لأنها حددت النطاق الأقصى للرؤية للمراقب وبالتالي التواصل، مع كل العواقب الواضحة على السلامة ونقل المعلومات التي النطاق ضمنيًا. تقلصت هذه الأهمية مع تطور الراديو والتلغراف، ولكن حتى اليوم، عند تحليق طائرة بحسب قواعد الطيران المرئي، يتم استخدام تقنية تسمى حركة الموقف للتحكم في الطائرة، حيث يستعمل الطيار العلاقة البصرية بين أنف الطائرة والأفق للسيطرة على الطائرة. يمكن للطيارين كذلك الاحتفاظ بتوجههم المكاني من خلال الرجوع إلى الأفق. في الكثير من السياقات، لا سيما رسم المنظور ، يتم تجاهل انحناء الأرض ويعتبر الأفق خط تقاطع مستوى الاسقاط مع المستوى الافقي المار بمركز النظر. وحيث تتلاقى ظاهريا الخطوط المتوازية فيما بينها في نقاط تسمى نقاط التلاشي. بالنسبة للمراقبين بالقرب من مستوى سطح البحر، فإن الاختلاف بين هذا الأفق الهندسي (الذي يفترض مستوى أرضيًا مسطحًا تمامًا ولانهائي) والأفق الحقيقي (الذي يفترض وجود سطح كروي للأرض) غير محسوس بالعين المجردة (ولكن بالنسبة لشخص ما على تل يبلغ ارتفاعه 1000 متر ويطل على البحر، فإن الأفق الحقيقي سيكون نحو درجة تحت الخط الأفقي) . الأفق في علم الفلك هو المستوى الأفقي من خلال عيون الراصد. إنه المستوى الأساسي لنظام الإحداثيات الأفقي، وهو موضع النقاط التي يبلغ ارتفاعها صفر درجة. في حين أن الأفق متشابه في طرقه مع الأفق الهندسي، في هذا السياق، يمكن اعتبار الأفق مستويًا في الفضاء، وليس خطًا على مستوى الصورة.

يجب إيجاد الانكسار بتكامل

من جانب آخر، حيث أن هي الزاوية بين الشعاع والخط المار بمركز الأرض. الزوايا ψ و ترتبط ب

تدابير أخرى

من جهة ثانية، علاقة أخرى تتضمن مسافة الدائرة العظمى s على طول القوس على السطح المنحني للأرض إلى الأفق؛ مع γ بالتقدير الدائري،

طريقة التكامل - سوير

ومن جهة أخرى، حيث أن R E هو نصف قطر الأرض، هو ψ تراجع من الأفق وδ هو انكسار في الأفق. يتم تحديد الانخفاض إلى حد ما ببساطة من

وفي هذا الصدد، إذا كان المظهر الجانبي لكثافة الغلاف الجوي معروفًا، تُعطى المسافة d إلى الأفق بواسطة

علاوةً على ذلك، حيث أن h هو ارتفاع الراصد فوق الأرض، و μ هو مؤشر انكسار الهواء عند ارتفاع الراصد، و μ 0 هو مؤشر انكسار الهواء على سطح الأرض.

نقاط التلاشي

من جهة ثانية، حفزت الهندسة الغريبة للمنظور حيث تتلاقى الخطوط المتوازية في المسافة على تطوير الهندسة الإسقاطية التي تفرض نقطة في اللانهاية حيث تلتقي الخطوط المتوازية. في كتابها هندسة الفن الذي صدر عام 2007، وصفت كيرستي أندرسن تطور رسم المنظور والعلم حتى عام 1800، مشيرة إلى أن نقاط التلاشي لا يجب أن تكون في الأفق. في فصل بعنوان «الأفق»، روى جون ستيلويل كيف أدت الهندسة الإسقاطية إلى هندسة الوقوع، وهي الدراسة التجريدية الحديثة لتقاطع الخط. غامر ستيلويل كذلك في أسس الرياضيات في قسم بعنوان «ما هي قوانين الجبر ؟» تم تفكيك «جبر النقاط»، الذي قدمه في الأصل كارل فون ستاودت في اشتقاق بديهيات مجال ما في القرن العشرين، مما أسفر عن مجموعة متنوعة من الاحتمالات الرياضية. دول ستيلويل

في هذا الإطار، يبدو أن هذا الاكتشاف منذ 100 عام قادر على قلب الرياضيات رأسًا على عقب، على الرغم من أنه لم يتم استيعابها بالكامل من قبل المجتمع الرياضي. فهي لا تتحدى فقط اتجاه تحويل الهندسة إلى جبر، ولكنها تشير إلى أن كلا من الهندسة والجبر لهما أساس أبسط مما كان يُعتقد سابقًا.

وعلى صعيد آخر، الأفق هو سمة أساسية لمستوى الصورة في علم المنظور الرسومي. بافتراض أن مستوى الصورة يقف عموديًا على الأرض، و P هو الإسقاط العمودي لنقطة العين O على مستوى الصورة، يتم تعريف الأفق على أنه الخط الأفقي عبر P. النقطة P هي نقطة التلاشي للخطوط المتعامدة على الصورة. إذا كانت S هي نقطة أخرى في الأفق، فهي نقطة التلاشي لجميع الخطوط الموازية لنظام التشغيل. لكن بروك تايلورصص (1719) أشار إلى أن مستوى الأفق الذي حدده O والأفق كان مثل أي طائرة أخرى.

وفي هذا الصدد، مصطلح الخط الأفقي، مثلًا، مناسب لقصر مفاهيم المتعلم على مستوى الأفق، ولجعله يتخيل أن هذا المستوى يتمتع ببعض الامتيازات الخاصة، مما يجعل الأشكال الموجودة فيه أكثر سهولة وملاءمة. أن توصف بواسطة هذا الخط الأفقي أكثر من الأشكال في أي مستوى آخر ؛... لكن في هذا الكتاب لا أفرق بين مستوى الأفق وأي مستوى آخر على الإطلاق...

d = المسافة إلى الأفق

h = ارتفاع الراصد فوق مستوى سطح البحر

مستوى الإسقاط

وعلى صعيد آخر، خط الأفق هو المكان الهندسي لنقاط فرار جميع الخطوط الأفقية. مثلا نقطة فرار الخطوط العمودية على مستوى الإسقاط تتطابق مع النقطة الرئيسية (الإسقاط العمودي لمركز الإسقاط على مستوى الإسقاط). نقطة الفرار للخطوط الأفقية الموازية لمستوى الإسقاط تتمثل بنقطة لانهائية موازية لخط الأفق.

مستوى افقي (موازي للأرض) ومار بمركز الإسقاط (عين الناظر)

المسافة إلى الأفق

• حيث h هو الارتفاع فوق مستوى سطح البحر وR هو نصف قطر الأرض.
• عندما تقاس d بالكيلومترات و h بالأمتار، تكون المسافة
• حيث يحتوي الثابت 3.57 على وحدات كم / م ½.
• عندما تقاس d أي «أميال الأرض» 5280 قدم (1609.344 ) و h بالأقدام، فالمسافة هي
• حيث يحتوي الثابت 1.22 على وحدات ميل / قدم ½.
• في هذه المعادلة ، يُفترض أن سطح الأرض كروي تمامًا، حيث يساوي r .

وفي هذا السياق، بتجاهل تأثير الانكسار الجوي، فإن المسافة إلى الأفق الحقيقي من مراقب قريب من سطح الأرض قرابة

خلفيّة

ومن ناحية أخرى، يُعرف الأفق بأنّه الخط الواضح الذي يفصل سطح جسم سماوي عن سمائه عند رؤيته من منظور مراقب على سطح الجسم المعني أو بالقرب منه. يقسم هذا الخط جميع اتجاهات المشاهدة بناءً على ما إذا كان يتقاطع مع سطح الجسم المعني أم لا. الأفق الحقيقي هو في الواقع خط نظري، لا يمكن ملاحظته إلا بأي درجة من الدقة عندما يقع على طول سطح أملس نسبيًا مثل محيطات الأرض. في الكثير من المواقع، يكون هذا الخط محجوبًا بسبب التضاريس، وعلى الأرض يمكن كذلك حجبه بأشكال الحياة مثل الأشجار و / أو الإنشاءات البشرية مثل المباني. يسمى التقاطع الناتج لهذه العوائق مع السماء بالأفق المرئي. على الأرض، وعندما تبحث في البحر من الشاطئ، ويسمى الجزء من البحر أقرب إلى الأفق المستقبل القريب.

ومن ناحية أخرى، اعتبارًا من عام 2021، لم يلاحظ جميع البشر على وجه التقريب الذين عاشوا على الإطلاق أفق أي جرم سماوي بخلاف أفق الأرض، باستثناء رواد فضاء أبولو الذين سافروا إلى القمر وبالتالي لاحظوا كذلك أفق القمر فضلًا عن ذلك. إلى الأفق الأرضي. علاوةً على ذلك، تم تصوير آفاق الكثير من الأجرام السماوية الأخرى في النظام الشمسي، وخاصة المريخ، بواسطة مركبات فضائية غير مأهولة أطلقت من الأرض. باستثناء ما تمت الإشارة إليه، سيناقش الجزء المتبقي من هذه المقالة بشكل حصري أفق الأرض. يحيط الأفق الحقيقي بالراصد ويفترض عادةً أنه دائرة مرسومة على سطح نموذج كروي مثالي للأرض. مركزها تحت المراقب وتحت مستوى سطح البحر. تختلف المسافة بينه وبين المراقب من يوم لآخر بسبب الانكسار في الغلاف الجوي، والذي يتأثر بدرجة كبيرة بالظروف الجوية. كذلك، كلما ارتفعت عيون المراقب عن مستوى سطح البحر، كلما كان الأفق بعيدًا عن الراصد. مثلًا، في الظروف الجوية القياسية، للمراقب مع مستوى عين فوق مستوى سطح البحر بمقدار ، الأفق على مسافة قرابة . عندما يتم ملاحظته من وجهات نظر عالية جدًا، مثل محطة فضائية، يكون الأفق بعيدًا جدًا ويشمل مساحة أكبر بكثير من سطح الأرض. في هذه الحالة، لن يكون الأفق دائرة كاملة، ولا حتى منحنى مستوي مثل القطع الناقص، خاصة عندما يكون الراصد فوق خط الاستواء، حيث يمكن تصميم سطح الأرض بشكل بيضاوي أفضل منه على شكل كرة.

الكواكب الأخرى

كذلك، على الكواكب الأرضية والأجرام السماوية الصلبة الأخرى ذات التأثيرات الجوية الضئيلة، تختلف المسافة إلى الأفق بالنسبة «للمراقب القياسي» حسب الجذر التربيعي لنصف قطر الكوكب. وبالتالي، فإن الأفق على عطارد هو 62٪ بعيدًا عن الراصد كما هو على الأرض، والرقم على المريخ 73٪، وعلى القمر 52٪، والرقم في ميماس هو 18٪، وهكذا.

انحناء الأفق

من جهة ثانية، ومع ذلك، فإن الانحناء الظاهر أقل من ذلك بسبب انكسار الضوء بواسطة الغلاف الجوي وحجب الأفق بواسطة طبقات السحب العالية التي تقلل الارتفاع المرئي فوق السطح.

ومن جهة أخرى، من نقطة فوق سطح الأرض، يبدو الأفق محدبًا بعض الشيء ؛ إنه قوس دائري. تعبر الصيغة التالية عن العلاقة الهندسية الأساسية بين هذا الانحناء البصري ، الارتفاع ، ونصف قطر الأرض :

في هذا الإطار، هذا ويمكن في الظروف المثلى حساب محيط الدائرة التي تنكشف لعين الناظر من سطح الأرض مقدرًا بوحدات الطول عن طريق حساب المثلثات بمعلومية كل من ارتفاع الناظر ونصف قطر الأرض كذلك يمكن حساب المسافة المحدبة بين أُفق الناظر وموقعه وكذلك بين أُفقه والهدف المختفي خلف هذا الأُفق بنفس الطريقة؛

إضافةً إلى ذلك، وكذلك يمكن التعبير عن انحناء الأُفق المستعرض العمودي على خط النظر عن طريق الدوال المثلثية كمعادلة إضافية للمعادلة أعلاه للانحناء البصري كما توضحه الصورة أدناه ،

في هذا الإطار، على ارتفاع ، وهو الارتفاع المناسب لطائرة نموذجية فإن الانحناء الرياضي للأفق نحو 0.056، وهو نفس الانحناء لحافة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 10 م التي يتم عرضها من 56 سم مباشرة فوق مركز الدائرة.

وفي السياق ذاته، الانحناء هو مقلوب نصف القطر الزاوي للانحناء بوحدات الراديان. يظهر انحناء بمقدار 1.0 كدائرة نصف قطرها الزاوي 57.3 درجة يتوافق مع ارتفاع قرابة فوق سطح الأرض.

إضافةً إلى ذلك، وهي معادلات محققة عمليًّا من خلال مقارنتها بنموذج المحاكاة والخرائط الشهير جوجل إيرث مع الأخذ في الاعتبار أنها تعتمد على نصف قطر متوسط وليس النموذج الجيوديسي الدقيق للأرض وأن قيمة يمكن تحويلها إلى وحدات الطول بضرب الناتج النهائي في نصف قطر الأرض.

زاوية زينيث

وفي هذا السياق، حيث أن هو ارتفاع الراصد فوق السطح و هو الانحدار الزاوي للأفق. وهي مرتبطة بزاوية ذروة الأفق بواسطة:

لارتفاع غير سالب ، الزاوية دائما ≥ 90 درجة.

ومن جهة أخرى، عندما يرتفع الراصد، يمكن أن تكون زاوية ذروة الأفق أكبر من 90 درجة. تحدث أقصى زاوية سمت مرئية عندما يكون الشعاع مماساً لسطح الأرض؛ من المثلث OCG في الشكل على اليمين،

استبدال لγ وإعادة ترتيب يعطي

من جهة ثانية، تكون المسافات d و s متماثلة على وجه التقريب عندما يكون ارتفاع الجسم ضئيلًا مقارنةً بنصف القطر (أي، h ≪ ص).

R = نصف قطر الأرض

يمكن توسيع الصيغة الدقيقة أعلاه على النحو التالي:

من جهة ثانية، حيث R هو نصف قطر الأرض (يجب أن يكون R و h في نفس الوحدات). مثلًا، إذا كان القمر الصناعي على ارتفاع 2000 كم تبلغ المسافة إلى الأفق ؛ إن إهمال الحد الثاني بين قوسين سيعطي مسافة ، خطأ 7٪.

وبالرجوع إلى الشكل الثاني على اليمين يؤدي إلى ما يلي:

ومن بعد

هذا الحلّ يُعطي:

وفي السياق ذاته، يمكن كذلك التعبير عن المسافة s من حيث مسافة خط البصر d ؛ من الشكل الثاني على اليمين،