إجهاد مستوي

انفعال المستوي

نظرية الإجهادات متناهية الصغر

موتر الانفعال الموافق:

انظر كذلك

وفي هذا الصدد، حيث غير الصفرية تنشأ من أثر بواسون. يمكن إزالة الحد المعبر عن الانفعال مؤقتًا من تحليل الإجهادات لترك الحدود داخل المستوي فقط، ما يؤدي لتقليص الدراسة بشكل فعال لبعدين فقط.

إضافةً إلى ذلك، إذا كان بعد ما كبيرًا جدًّا بالمقارنة مع الأبعاد الأخرة، فإن الانفعال الرئيسي في اتجاه البعد الأكبر محدود ويمكن اعتباره معدومًا، ما ينتج حالة انفعال مستوٍ. في هذه الحالة، رغم كون كل الإجهادات الرئيسية غير صفرية، فإن الإجهاد الرئيسي في اتجاه البعد الأكبر يمكن إهماله في الحسابات، ما يسمح بإجراء تحليل ثنائي الأبعاد للإجهادات، مثلًا: سد مدروس عند مقطع عرضي محمل بالخزان.

التعريف الرياضي

من جانب آخر، رياضيًّا، يكون الإجهاد في نقطة ما من المادة إجهادًا مستويًا إذا كان أحد الإجهادات الرئيسية الثلاثة (القيم الذاتي لموتر كوشي للإجهادات) معدومًا. أي أن هناك نظام إحداثيات ديكارتي يكون لموتر الإجهاد فيه الشكل التالي:

وفي هذا السياق، بشكل عام، إذا اخترنا أول محوري إحداثيات بشكل عشوائي ولكن بحيث يكونان متعامدين على اتجاه الإجهاد الصفري (المعدوم)، يكون لموتر الإجهادات الشكل التالي:

ويمكن بالتالي تمثيله بمصفوفة 2×2 من الشكل:

وفي السياق ذاته، مثلًا، بأخذ جزء متوازي مستطيلات من مادة بأبعاد 10، و40، و5 سم على المحاور الإحداثية x، وy، وz على التتالي، يُشد في الاتجاه x ويُضغط في الاتجاه y، بمزدوجتي القوى المتعاكسة ذاتي الشدتين 10 نيوتن و20 نيوتن على الترتيب، موزعة بشكل منتظم على الأوجه المقابلة. يكون موتر الإجهادات داخل متوازي المستطيلات:

الإجهاد المستوي في سطوح منحنية

ومن جهة أخرى، في حالات معينة، يمكن استخدام نموذج الإجهاد المستوي في دراسة وتحليل الأسطح قليلة الانحناء. مثلًا: لنأخذ أسطوانة رقيقة الجدران تخضع لحمل محوري انضغاطي موزع بشكل منتظم على حوافها، ومملوءة بسائل مضغوط. يولد الضغط الداخلي إجهادًا أسطوانيًّا على الجدار، وإجهاد شد ناظمي موجه بشكل عمودي على محور الأسطوانة ومماس لسطحها. يمكن تصور بسط الأسطوانة وتحليلها وكأنها صفيحة مستطيلة رقيقة مسطحة تخضع لحمل شد باتجاه وحمل ضغط في اتجاه آخر، وكلاهما موازٍ للصفيحة.