إكمال المربع

و

.

العلاقة التالية

علاوةً على ذلك، حيث z وb هما عدادان مركبان، و هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و c هو عدد حقيقي.

يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة

باستخدام القاعدة

وصف عام

• يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين
• وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب
• حيث k هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع. ومثالا لذلك:

وفي هذا الصدد، لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل x يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:

صيغة عامة

• يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:
• حيث:
• حالة خاصة عندما a=1:
• حيث:
• وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):
• حيث:
• ويجب أن تكون المصفوفة متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).
• أما لو كانت المصفوفة غير متماثلة فإن صيغة حساب و يتم تغييرها إلى الصورة العامة:
• .

لإكمال المربع للمعادلة

إضافةً إلى ذلك، وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.

من جهة ثانية، إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع x2 ) و(المستطيل bx ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية إكمال المربع

وbx تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما b و x،

حيث أن x2 تمثل مساحة مربع طول ضلعه x،

مثال: مجموع رقم موجب ومقلوبه

إضافةً إلى ذلك، إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب مع مقلوبه يمكننا استخدام هذه الطريقة:

• مثال: تحليل معادلة بسيطة
• عند تحليل المعادلة التالية
• نجد أنها على صورة
• وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة

في هذا الإطار، واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

غير واحدية المدخل

• لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل x لا يساوي 1) على الصورة:
• يمكن أن نقوم باتخاذ a معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.
• مثال:
• ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة

فسوف نحصل على

وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:

مصادر

وفي السياق ذاته، السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير x.

والتي يتضح أنها كمية حقيقة

• نفرض
• إذن
• وبالتالي
• المنظور الهندسي

ومن جهة أخرى، حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية، و a > 0 و b > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:

مثال آخر المعادلة التالية:

إذن

من جانب آخر، ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل x2 لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:

إذن

• وعادةً تكتب على الصورة:
• ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:
• حيث الرمز i يساوي
• تطبيقات أخرى

إلى الشكل

في هذا الإطار، ومصطلح "constant" يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على x. والجزء داخل القوسين يكون على صورة (x + constant) ، بمعنى أن:

التكامل

يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:

إكمال المربع بطريقة مختلفة

كذلك، لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2uv) أو (2uv-) إلى المعادلة

أو

لنحصل على مربع على الصورة:

كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث v 2 إلى المعادلة

Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544

• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401
• مراجع
• وصلات خارجية

تحولت إلى

• بقيم معينة لكلا من h و k.
• استخدامات طريقة إكمال المربع:
• حل المعادلات التربيعية

علاقته بالرسم

رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى xy.

كذلك، ورسم منحنى الدالة ƒ(x) + k = x2 + k هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة k، ورأسه هي نقطة كما هو مبين بالشكل الثاني.

وفي هذا الصدد، الأرقام h و k تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل h الإحداثي x لمحور التماثل، بينما تمثل k القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت a < 0 ) للدالة التربيعية.

فالدالة التربيعية على صورة:

وفي السياق ذاته، هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة h، ومزاح لأعلى بالقيمة k، ورأسه عند النقطة (h, k)، كما هو مبين بالشكل الثالث.

في هذا الإطار، ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة ƒ(x − h) + k = (x − h)2 + k

في هذا الإطار، ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية ƒ(x) = x2 هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل  (0, 0).

وفي السياق ذاته، بينما رسم منحنى الدالة ƒ(x − h) = (x − h)2 هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة h ورأسه هي (h, 0) كما هو مبين بالشكل.

حل المعادلات التربيعية

• تستعمل طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:
• الخطوة الأولى هي إكمال المربع:
• ثم نحل الحد المربع:
• وبالتالي إما

رسم المعادلات التربيعية

حساب التكامل في التفاضل والتكامل مثل تكامل جاوس.

مقدمة

إيجاد تحويل لابلاس.

علاوةً على ذلك، ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستعمل لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

باستخدام قواعد التكامل

• مثال:
• بإكمال المربع للمقام نحصل على:
• وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.
• u = x + 3,
• الذي يُنتج
• الأعداد المركبة

تمهيد

ومن جهة أخرى، يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين

مثال:

علاوةً على ذلك، ففي أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، ويكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p2.

الجذور غير النسبية أو المركبة

• مثال للجذور غير النسبية:
• بإكمال المربع نحصل على
• وبالتالي
• إذن إما

كذلك، يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة.

مثال بسيط

• في كثيرة الحدود التربيعية التالية:
• نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .
• بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:
• وهذا ما يسمى إكمال المربع.