ارتفاع (مثلث)

المثلث القائم

من جهة ثانية، في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc

(أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين

نقطة داخلية

إضافةً إلى ذلك، إذا كانت و هي المسافات العمودية من أي نقطة إلى الأضلاع، و و هي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا

نصف القطر الداخلي و نصف القطر المحيطي

من جهة ثانية، أضلاع المثلث العمودي متوازية مع مماسات الدائرة المحيطة عند رؤوس المثلث الأصلي.

يعطي المثلث العمودي لمثلث حاد مثلث المرور الضوئي.

وعلى صعيد آخر، يرتبط المثلث العمودي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث المماسي، المنشئ على النحو التالي: افترض أن مماس للدائرة المحيطة بالمثلث عند الرأس ، وبالمثل و . افترض أن ، ، . المثلث المماسي الذي أضلاعه مماسات للدائرة المحيطة بالمثلث " عند رؤوسه، هو محاكي للمثلث العمودي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي ومركز التشابه للمثلثين العمودي والمماسي على خط أويلر .

من جانب آخر، إذا كان المثلث ABC مائلًا (لا يحتوي على زاوية قائمة) ، فإن مثلث المساقط الخاص بالمركز العمودي للمثلث الأصلي يسمى المثلث العمودي أو مثلث الارتفاعات. أي إن أقدام ارتفاعات المثلث المائل تشكل المثلث العمودي، . وأيضًا، فإن المركز الداخلي (مركز الدائرة المحاطة بالمثلث) للمثلث العمودي هو المركز العمودي للمثلث .

من جانب آخر، الأضلاع الممتدة من المثلث العمودي تتقابل مع نظيرتها من المثلث المرجعي في ثلاث نقاط تقع على خط واحد .

علاوةً على ذلك، تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث العمودي بـ* * *

علاوةً على ذلك، في أي مثلث حاد، المثلث المدرج بداخله ذو المحيط الأصغر هو المثلث العمودي. هذا هو الحل ل التي طُرِحَت عام 1775.

ومن ناحية أخرى، الخطوط المماسية لدائرة النقاط التسع عند نقاط المنتصف لأضلاع المثلث ، توازي أضلاع المثلث العمودي، وتشكل مثلثًا مشابهًا للمثلث العمودي.

• تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث المماسي بواسطة* * * .
• بعض مبرهنات الارتفاع الإضافية
• الارتفاع من حيث الأضلاع

المثلث العمودي (مثلث الارتفاعات)

مبرهنة نصف القطر المحيطي

ومن ناحية أخرى، إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ ، والجانبان الآخران و ، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث) ، يعطى الارتفاع بالعلاقة

و على التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة

يُعرف هذا كذلك باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.

الخصائص

من جانب آخر، لنفترض أن D وE و تشير إلى أقدام الارتفاعات للرؤوس A وB و على التوالي. عندئذ:

من جهة ثانية، إذا كانت أربع نقاط في مستوى، بحيث تكون إحداهم المركز العمودي للمثلث الذي تشكله الثلاثة الأخرى ات، تسمى (الأربع نقاط) نظام مركزي عمودي أو رباعي الزوايا المركزي العمودي.

ومن ناحية أخرى، مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن الرأس إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 2:

ومن جهة أخرى، و المترافق الأيزوماتيكي للمركز العمودي هو نقطة المستوسط للمثلث المضاد-التتمة .

من جهة ثانية، المركز العمودي يقسم الارتفاع لقطعتين جداؤهما ثابت لجميع الارتفاعات الثلاثة:

العلاقة مع الدوائر والمخروطات

علاوةً على ذلك، مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن القاعدة إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 1: (هذه الخاصية والتالية لها، تطبيقان لخاصية أعم لأي نقطة داخلية وثلاثة خطوط شيفيّة خلالها.)

إضافةً إلى ذلك، الدائرة المتمركزة عند و نصف قطرها الجذر التربيعي لهذا الثابت هي الدائرة القطبية للمثلث.

من جانب آخر، و المترافق متساوي الزوايا لـلمركز العمودي هو المركز المحيطي للمثلث.

لأي مثلث أضلاعه ونصف محيطه ،يعطى ارتفاع

كذلك، هذا يتأتى من دمج صيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع

والارتفاع هو الارتفاع من .

إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـ. عندئذ

كذلك، تمر أدلاء جميع القطوع المكافئة الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.

ومن جهة أخرى، هي نصف قطر الدائرة المحيطة، والعلاقات التالية تظل صحيحة بالنسبة لبعد المركز العمودي عن الرؤوس:

وعلى صعيد آخر، المخروطي المحيطي الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو قطعًا زائدًا مستطيلًا .

من جانب آخر، إذا مد أي ارتفاع، مثلًا، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند ، بحيث تكون وتر للدائرة المحيطة، فإن القدم تشطر الجزء :

إضافةً إلى ذلك، وفضلًا عن ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، و يرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث،

نقطة عامة على ارتفاع

مثلثات خاصة

إذا كانت أي نقطة على الارتفاع لأي مثلث ، إذًا

و الإحداثيات الكتلية

وفي السياق ذاته، في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و تمثل الأرقام و و ، على التوالي، وافترض أن المركز المحيطي من المثلث يقع عند أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب

من جهة ثانية، نظرًا لأن جميع الإحداثيات الكتلية موجبة لنقطة في داخل مثلث، لكن إحداها، على الأقل، سالبة لنقطة خارجه، واثنان من الإحداثيات الكتلية يساويان صفر لنقطة الرأس، فإن الإحداثيات الكتلية المعطاة للمركز العمودي توضح أن المركز العمودي يقع داخل المثلث الحاد، وعلى الرأس القائم الزاوية لمثلث قائم الزاوية، وخارج المثلث المنفرج.

علاوةً على ذلك، تُعرف أولى المتطابقات المتجهة السابقة، كذلك، بمسألة سيلفستر، التي اقترحها جيمس جوزيف سيلفستر .

ومن جهة أخرى، تمثله النقطة ، أي المركز العمودي للمثلث . من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي عن طريق المتجهات الحرة مباشرةً:

مبرهنات نصف القطر الداخلي

من جهة ثانية، بالنسبة لأي مثلث له الأضلاع و الارتفاعات المقابلة و . ترتبط الارتفاعات ونصف القطر الداخلي بـالعلاقة

تاريخ

إضافةً إلى ذلك، تم إثبات المبرهنة القائلة بأن الارتفاعات الثلاثة للمثلث تلتقي في نقطة واحدة، المركز العمودي، أول مرة في ما نشر عام 1749 بواسطة .

مثلث

انظر كذلك

العلاقة بالمراكز الأخرى، دائرة النقاط التسع

المركز العمودي H، ومركز الكتلة ، والمركز المحيطي ، والمركز

علاوةً على ذلك، بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.

من حيث الأضلاع

إضافةً إلى ذلك، لدائرة النقاط التسع يقعون على خط واحد، يُعرف بخط أويلر . يقع مركز دائرة النقاط التسع في منتصف خط أويلر، بين المركز العمودي والمركز المحيطي، والمسافة بين مركز الكتلة والمركز المحيطي هي نصف المسافة بين مركز الكتلة والمركز العمودي

مركز المثلث

• المتوسط (هندسة)
• متوسط المثلث
• مبرهنة فيثاغورس
• نقاط هامة للمثلث
• قوانين مساحة المثلث

المثلث المتساوي الأضلاع

من جهة ثانية، لأي نقطة داخل مثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي مبرهنة فيفياني .

مبرهنة المساحة

وفي هذا السياق، على التوالي و ، و ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـ ، إذا

إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع