استقرار عددي

الاستقرار العددي

كذلك، و كما نرى من المبرهنة أعلاه فإن الاستقرار العددي لطريقة حل المعادلة لازم حتى يكون الحل العددي أي نتيجة الحاسوب تساوي النتيجة التحليلية الصحيحة أو على الأقل حتى نضمن حد معين من تطابق الحل العددي والحل التحليلي.

علاوةً على ذلك، تعتبر طريقة ما لحل معادلة، طريقة مستقرة عدديا إذا كانت الأخطاء المذكورة أعلاه أي الأخطاء المرتبطة بمحدودية ذاكرة الحاسوب زائد الخطئ الناجم عن استعمال تقريب لبعض العمليات، إذا كان هذا الخطئ يصبح خلال عملية حل المعادلة أصغر فأصغر. أي أن خوارزمية حل المعادلة تعتمد على إعادة نفسها وفي كل إعادة يصبح الخطئ أصغر. وفي ما يلي مثال ندرس فيه الاستقرار العددي ونبين فيه بعض ما ذكرناه أعلاه. ولكن قبل ذلك سنذكر بعض التقريبات لعمليات رياضية.

كانت طريقة حل المعادلة مستقرة عدديا

وفي هذا الصدد، فإن حل المعادلة بهذه الطريقة يعطي الحل الصحيح أو بالأحرى أن الحل العددي يتوق نحو أو يتجه نحو الحل الصحيح (convergence)

كانت طريقة حل المعادلة خالية من التناقض (consistent)

إشكاليات حل المعادلات بالحاسوب

وفي هذا الصدد، هذه الأخطاء إن تراكمت أثناء عملية حل المعادلة فإنه يمكن أن نتحصل على حل خاطئ تماما ولا يتطابق مع الحل الحقيقي للمعادلة.

من جانب آخر، الحاسوب لا يمكنه تخزين أو تمثيل كل الأعداد في ذاكرته. العدد العشري (أي في القاعدة 10) 0.1 مثلا يساوي في القاعدة الثنائية التي يعمل بها الحاسوب عددا دوريا(periodic) ونظرا لمحدودية ذاكرة الحاسوب فهو يقطع هذه البيريود بعد عدد معين من البتات مما يتسبب في خطئ في تمثيل الأعداد في ذاكرة الكومبيوتر.

في هذا الإطار، تتمثل أهم إشكاليات حل المعادلات الرياضية في الحاسوب في مشكلتين:

ومن جهة أخرى، المشكل الثاني هو أن الحاسوب الرقمي أي المنتشر الآن(على عكس الحاسوب المتواتر) في الحقيقة لا يمكنه إلا أن يقوم بعملية حسابية واحدة ألا وهي الجمع مما يجعلنا نضطر إلى التعبير عن التفاضل أو التكامل بطريقة أخرى. أي أنه يتم تقريب عملية التفاضل أو التكامل بعمليات أخرى مما يولد خطئا ثاني عند حل المعادلات عن طريق الحاسوب

تقريب لعملية التكامل

كما يمكن التعبير عن التكامل المحدود كما يلي:

من جهة ثانية، و في حال أن صغيرة القيمة فأنه يمكن التعبير عن التكامل تقريبيا عن طريق المعادلة التابية:

وفي هذا السياق، (يجدر بالذكر أن هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب التكامل المحدود وهي ليست الوحيدة)

مبرهنة لاكس

تقول مبرهنة لاكس أنه إذا:

تقريب لعملية الاشتقاق

ومن ناحية أخرى، و لذلك يمكننا إذا كانت قيمة صغيرة جدا أن (و إن لم تكن صفرا) نعتبر عملية الاشتقاق تنفذ على وجه التقريب بتطبيق المعادلة التالية:

ومن جهة أخرى، (يجدر بالذكر أن هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب الاشتقاق وهي ليست الوحيدة)

تتم عادة في الرياضيات تعريف الاشتقاق أو التفاضل كما يلي: