الجو الرمادي

اشتقاق وظيفة المصدر باستخدام تقريب إيدينغتون

في هذا الإطار، ينطوي اشتقاق كميات مختلفة من نموذج الجو الرمادي على حل معادلة تفاضلية متكاملة، يكون حلها الدقيق معقدًا. لذلك، يستفيد هذا الاشتقاق من التبسيط المعروف باسم تقريب إيدنغتون. بدءًا من تطبيق نموذج موازٍ للمستوى، يمكننا أن نتخيل نموذجًا في الغلاف الجوي يتكون من طبقات متوازية مستوية مكدسة فوق بعضها البعض، حيث تكون الخصائص مثل درجة الحرارة ثابتة داخل المستوى. هذا يعني أن هذه العوامل هي وظيفة العمق المادي ، حيث يشير اتجاه z الموجب نحو الطبقات العليا من الجو. من هذا، من السهل أن نرى أن مسار الشعاع بزاوية يمنح بواسطة

التطبيق

وفي السياق ذاته، تطبيق تقريب الغلاف الجوي الرمادي هو الطريقة الأساسية التي يستعملها علماء الفلك لتحديد درجة الحرارة والخصائص الإشعاعية الأساسية للأجسام الفلكية بما في ذلك الشمس والكواكب ذات الغلاف الجوي والنجوم الأخرى والغيوم بين الغاز والغبار. على الرغم من أن النموذج يوضح ارتباطًا جيدًا بالرصدات، إلا أنه ينحرف عن نتائج الرصد لأن الأجواء الحقيقية ليست رمادية، مثلًا امتصاص الإشعاع يعتمد على التردد.

وتحت شرط التوازن الإشعاعي

لذلك، وتُعْطَى دالة المصدر بواسطة

كذلك، لقد قمنا هنا بتعيين الحد الأدنى لـ (معادلة) على الصفر، وهي قيمة العمق البصري على سطح الغلاف الجوي. سيمثل هذا إشعاعًا يخرج من سطح الشمس، مثلًا. أخيرًا، استبدل ذلك بتعريف التدفق الكلي ويعطي التكامل

وفي هذا السياق، هذا يعني أننا قد حللنا دالة المصدر باستثناء ثابت التكامل. مستبدلين هذه النتيجة في حل معادلة نقل الإشعاع ويعطي التكامل

التقريب

• عادةً ما يتم وضع عدد من الافتراضات الأخرى في وقت واحد:
• الجو لهندسة جو متوازية المستويات.
• الجو في توازن حراري إشعاعي.

وفي السياق ذاته، يمكن كذلك استخدام تقريب إيدينغتون (انظر القسم التالي) اختياريًا لحل دالة المصدر. هذا يبسط النموذج إلى حد كبير دون تشويه النتائج بدرجة كبيرة.

كذلك، هذه المجموعة من الافتراضات تؤدي مباشرة إلى متوسط الكثافة و دالة المصدر كونهما متعادلين بشكل مباشر لدالة بلانك للجسم الاسود في درجة الحرارة عند ذلك العمق البصري.

علاوةً على ذلك، التقريب الأساسي هو افتراض أن معامل الامتصاص، ويمثل عادةً ، لا يعتمد على التردد لمدى التردد الذي يعمل فيه، مثلًا .

حل درجة الحرارة

في هذا الإطار، تحديد درجة حرارة فعالة (معادلة) لتدفق إيدينغتون H وتطبيق قانون ستيفان-بولتزمان ، أدركت هذه العلاقة بين درجة الحرارة الفعالة الملاحظة خارجياً والداخلية درجة حرارة الجسم الأسود T للمتوسط.

يتم إعطاء اللحظة الثانية لمتوسط الكثافة بواسطة:

ومن جهة أخرى، عند تحديد اللحظتين الأولى والثانية من معادلة النقل الإشعاعي، وتطبيق العلاقة أعلاه وتقريب حد التيارين، يؤدي إلى معلومات حول كل من اللحظات الأعلى. اللحظة الأولى لمتوسط الكثافة (معادلة) ثابتة بغض النظر عن العمق البصري:

هذا التقريب يجعل دالة المصدر خطية في العمق البصري.

ومن جهة أخرى، نتائج حل الجو الرمادي: درجة الحرارة المرصودة هي مقياس جيد لدرجة الحرارة الحقيقية T على عمق ودرجة حرارة الغلاف الجوي العليا

لاحظ أن تقريب إيدينغتون هو نتيجة مباشرة لهذه الافتراضات.

نقوم الآن بتعريف العمق البصري كالتالي

إضافةً إلى ذلك، حيث هي ما يسمى دالة المصدر الكلي المعرفة بأنها النسبة بين معاملات الانبعاث والامتصاص. يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية بضرب كلا الجانبين ب ، إعادة كتابة الجانب الأيسر كما ثم دمج المعادلة بأكملها فيما يتعلق بـ . هذا يعطي الحل

من جانب آخر، الآن، من المهم أن نلاحظ أن التدفق الكلي يجب أن يبقى ثابتًا من خلال الجو لذلك

إضافةً إلى ذلك، حيث استبدلنا العلاقة بين كثافة الطاقة ومتوسط الكثافة المحددة المشتقة سابقًا. على الرغم من أن هذا قد يكون صحيحًا في الأعماق السفلية داخل الجو النجمي، إلا أنه من شبه المؤكد أنه ليس كذلك. ومع ذلك، يفترض تقريب إيدينغتون أن هذا يثبت على جميع المستويات داخل الجو. مستبدلًا هذا في المعادلة السابقة للضغط يعطي

علاوةً على ذلك، نلاحظ على الفور أنه من خلال قسمة معادلة النقل الإشعاعي على 2 والتكامل على (معادلة)، لدينا

وفي هذا الصدد، حيث استعملنا الحدود ونحن ندمج في الخارج من بعض العمق ضمن الجو؛ لذلك . على الرغم من أننا أهملنا الاعتماد على تردد المعلمات مثل S، فإننا نعرف أنها دالة للعمق البصري، ومن أجل دمج هذا، نحتاج إلى وجود طريقة لاشتقاق دالة المصدر. نحدد الآن بعض المعلمات الهامة مثل كثافة الطاقة U، التدفق الكلي Fوضغط الإشعاع P على النحو التالي

كذلك، نحدد كذلك متوسط الشدة المحددة (المتوسط على جميع الترددات) كما يلي

إضافةً إلى ذلك، تُعرف هذه الحالة بالتوازن الإشعاعي. للاستفادة من ثبات التدفق الكلي، ندمج الآن (معادلة) للحصول على

وعلى صعيد آخر، حيث هي الكثافة المحددة الكلية، هو معامل الانبعاثات. بعد استبدال والقسمة على

علاوة على ذلك، بضرب نفس المعادلة بواسطة ودمج ، لدينا

وعلى صعيد آخر، عن طريق استبدال متوسط الكثافة المحددة J في تعريف كثافة الطاقة، لدينا كذلك العلاقة التالية

وفي السياق ذاته، حيث هو معامل الامتصاص المرتبط بمختلف مكونات الجو. ننتقل الآن إلى معادلة نقل الإشعاع

وفي هذا السياق، حيث ثابت من التكامل. نحن نعلم من الديناميكا الحرارية أنه بالنسبة لغاز متماثل في الخواص، تثبت العلاقة التالية