بنية جبرية
قبل الخوض في التفاصيل، في الجبر التجريدي البنية الجبرية تتألف من مجموعة مزودة بمجموعة من العمليات أو العلاقات الرياضية المعرفة عليها بحيث تحقق بدهيات axiom معينة. مثلا الزمرة (G,*) يشار لها عادة بالزمرة G. في حال كانت المجموعة مزودة بعلاقات رياضية فقط دون أي عمليات نقول عنها أنها بنية علاقاتية relational structure. ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.
قانون تركيب داخلي
تعريف
ومن ناحية أخرى، نسمي عملية أو قانون تركيب داخلي كل تطبيق يربط عنصرين من نفس المجموعة بصورة ضمن تلك المجموعة بصفة عامة :
يرمز له عادة ب أو .
- ليكن و من مجموعة .
- قانون تركيب داخلي إذا كان :
- حيث تسمى مجموعة مزودة بقانون تركيب داخلي ونكتب
- خواص
a×(b+c)=a×b+a×c
من جهة ثانية، الحلقة تحقق ما تحققه الزمرة التبادلية بالنسبة لقانونها الأول، تتلخص شروط كون حلقة كما يلي:
وفي السياق ذاته، إذا كان تبادليا نقول إن الحلقة تبادلية أما إذا كان له عنصر محايد فتسمى حلقة واحدية.
من جانب آخر، من البنيات الجبرية الأكثر شيوعا نجد الحلقات، وهي عبارة عن مجموعة كائنات رياضية مزودة بقانوني تركيب داخليين من أمثلة الحلقات الأكثر شهرة نجد مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
من جهة ثانية، في حلقة نسمي عادة القانون الأول ونسمي القانون الثاني نسمي كذلك العنصر المحايد بالنسبة للقانون الأول صفر الحلقة ويمكن الرمز له ب والعنصر المحايد بالنسبة للقانون الثاني واحد أو وحدة الحلقة ونرمز له ب ومن أجل تسهيل الحساب نرمز للقانون الأول ب والثاني ب تبقى كل هذه التغييرات مجرد ترميزات ولا ينبغي لنا الخلط.
- زمرة تبادلية.
- القانون توزيعي على القانون في .
- القانون تجميعي.
كذلك، والعكس غير صحيح فالجمع ليس توزيعيا على الجداء بصفة عامة نقول إن القانون توزيعي على القانون إذا وفقط إذا تحقق التالي:
العنصر المحايد
- نقول ان عنصر محايد في بالنسبة ل إذا كان:
- مثال : بالنسبة ل في المجموعة .
- المماثل
- مماثل في
- يقبل عنصرا محايدا في
- و
- أمثلة لبعض البنيات الجبرية البسيطة
التجميعية
القانون تجميعي تكافئ:
مثال:
التوزيعية
وفي هذا الصدد، التوزيعية هي قابلية نشر وتعميل القوانين مثال : الضرب توزيعي على الجداء لأن :
الجسم
- عموما فإن كل جسم يحقق ما يلي:
- حلقة واحدية .
- كل عنصر من المجموعة يقبل مماثلا.
- مراجع
- انظر كذلك
- بنية رياضية
ومن ناحية أخرى، الجسم عبارة عن حلقة واحدية تتحقق فيها القسمة أي أن كل عنصر ما عدا صفر الحلقة له مماثل (يسمى كذلك متمم أو مقلوب أو مقابل) من أمثلة الأجسام مجموعة الأعداد الحقيقية المزودة ب و
التبادلية
مثال:
القانون تبادلي تكافئ:
الزمرة
- تكون زمرة إذا تحققت الخاصيات الثلاث:
- تجميعي ويقبل عنصرا محايدا.
- كل عنصر من يقبل مماثلا بالنسبة للقانون في .
- إذا كان تبادليا فاننا نقول زمرة تبادلية.
- الحلقة
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟