بوق جبريل

تعريف رياضي

ومن ناحية أخرى، يتشكّل بوق جبريل بواسطة تدوير الرسم البياني في المجال  حول محور x في الفراغ. هذا الاكتشاف تم بواسطة مبدأ كافارلييري قبل ايجاد حساب التفاضل والتكامل، لكن اليوم يمكن حساب حجم البوق بين x = 1 و x = a (حيث a > 1) بواسطة حساب التفاضل والتكامل. حجم البوق ومساحة السطح بواسطة حساب التكامل:

وفي هذا الصدد، يمكن أن يكون كبيراً بلا حد، لكن يُلاحظ أن حجم البوق المنحصر بين  و  لن يتجاوز π  أبدًا. لكنه سيقترب من π أكثر عندما يكبر a. رياضيًّا، الحجم يقترب من π إذا اقترب a من اللانهاية. التعبير عن ذلك بواسطة رمز نهاية الدالّة:

Gabriel's Other Possessions, Melvin Royer,

ومن ناحية أخرى، Gabriel's Wedding Cake, Julian F. Fleron, http://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf

وفي هذا الصدد، Supersolids: Solids Having Finite Volume and Infinite Surfaces, William P. Love,

وعلى صعيد آخر، A Paradoxical Paint Pail, Mark Lynch, http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/a-paradoxical-paint-pail

مفارقة الطلاء

• انظر كذلك
• القطع الزائد
• ندفة الثلج لكوخ
• شكل الكون
• سطح مدوّر
• مفارقات زينون
• المراجع
• قراءة إضافية

وفي هذا الصدد، بما أن للشكل حجماً نهائيّاً، يمكننا -نظريّاً- أن نقوم بملئه بالطلاء. لكن، بما أن مساحة السطح لا نهائيًة، لن يكون بالإمكان أن نغطّي الجدران الداخلية للشكل، وهذه هي المفارقة. في عالم الرياضيات المجرّد، يمكن لكمية نهائية من الطلاء أن تغطّي مساحة لا نهائيّة، شريطة أن يقلّ ثخن الطلاء بسرعة كافية لتعويض المساحة الآخذة بالزيادة كل الوقت، وفي الحالة الموصوفة، يجب أن يكون هذا الطلاء من الداخل. ومع ذلك، فإن طلاء السطح الخارجي للبوق بثخن ثابت، لا يتحقق بكمية نهائية من الطلاء، مهما قلّ هذا الثخن.

من جانب آخر، بالطبع، في واقع الأمر، لا يمكن تقسيم الطلاء إلى ما لا نهاية: عند حدٍّ ما، سيصبح البوق ضيّقاً إلى درجة لا يتّسع  بها حتى لجزيء واحد من الطلاء.

المفارقة

وفي هذا السياق، عندما اُكتشف أن تدوير مسطح لا نهائي من شكل في المستوى حول محور x، يُعطي حجماً نهائيًاً، اُعتبرت هذه الحقيقة من المفارقات.

وعلى صعيد آخر، رغم ان للشكل مساحة سطح لا نهائية، إلا أن مساحة أي سطح موازٍ له، نهائية. وبالتالي، فإن الحجم، إذا حُسب باعتباره 'المعدّل الموزون' لهذه الأسطح، نهائي كذلك.