بيان شطراني
قبل الخوض في التفاصيل، في نظرية البيان في الرياضيات، يكون البيان شطرانيًا أو ذا فرعين إذا أمكن تقسيم رؤوسه إلى مجموعتين و حيث يكون أحد رؤوس أي ضلع في والرأس الآخر في . مجموعات الرؤوس و عادة تسمى اجزاء الرسم. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
وفي هذا الصدد، بالعادة الرمز يرمز لبيان شطراني والذي له التجزئة و في حين المجموعة ترمز لمجموعة اضلاع الرسم. إذا كان البيان شطرانيًا غير مترابط، فمن الممكن أن يكون له أكثر من تجزئة. في هذه الحالة الرمز مفيد لتوضيح تجزئة معينه والتي ممكن ان تكون مهمه في تطبيق ما.
وفي هذا السياق، بصيغه أخرى، البيان الشطراني هو الرسم الذي لايحتوي على أي دارات فرديه. أي مجموعتين و ممكن ان تلون بلونين حسب مسألة تلوين البيان عن طريق تلوين رؤوس الجزء بالأزرق مثلا وجميع رؤوس الجزء باللون الأخضر. بالتالي كل ضلع له طرفين بلونين مختلفين وهو المطلوب في مسألة تلوين البيانات. بالمقابل، من المستحيل تلوين أي نوع اخر من البيانات الغير ثنائية التجزئة بلونين فقط. مثال على ذلك تلوين رؤوس المثلث، والتي يمكن تلوين أحد الرؤوس بالأزرق ورأس اخر بالاخضر لكن الراس الثالث مرتبط بالرأسين الازرق والاخضر مما يستحيل تلوينه بأحد هذين اللونين.
من جانب آخر، إذا كان والذي يعني مجموعتين جزئيتين لهما نفس عدد العناصر (cardinality) فإن تسمى البيان المتوازن الشطراني (balanced bipartite graph). إذا كانت جميع الرؤوس في جانب معين من التجزئة لها نفس الدرجة، فإن تسمى ثنائي منتظم (biregular).
يوجد العديد من الامثلة النظرية والتي منها
وفي السياق ذاته، الرسومات ذو الدارات والتي بها عدد زوجي من الرؤوس هي ثنائية التجزئة.
في هذا الإطار، البيان المكتمل شطراني والذي به و من الرؤوس، يرمز لهذا البيان بالرمز هو البيان الشطراني حيث و هما مجموعات منفصلة من ذو الاحجام و على التوالي. مجموعة أضلاعه تربط كل رأس من مع جميع عناصر . بالتالي عدد اضلاع البيان هو . نوع قريب جدا من هذا النوع هي crown graphs والمستخلصه من البيان المكتمل الشطراني بحذف أضلاع المطابقة المكتملة (perfect matching).
وفي هذا الصدد، كل بيان مستو الذي جميع أوجهه لها طول زوجي هي ثنائية التجزئة. حالات خاصة من هذا البيان هو grid graphs وsquaregraphs حيث كل وجه داخلي مكون من 4 أضلاع وكل رأس داخلي له أربعة أو أكثر من الرؤوس المجاورة.
خواص البيان الشطراني
وفي هذا الصدد، hypercube graphs و partial cubes و mediam graphs هي ثنائية التجزئة. في هذه البيانات، ممكن تسمية الرؤوس حسب bitvectors ، بحيث يكون كل رأسين متجاورين إذا وفقط إذا كان bivectors المقابلة مختلف بموضع وحيد فقط.
كل شجرة هي ثنائية التجزئة.
أمثلة
من جهة ثانية، عند نمذجة العلاقات بين تصنيفين مختلفين من الاشياء فمن الممكن تمثيلها باستخدام البيانات الثنائية التجزئة. مثلًا، بيان لاعبي كرة القدم والاندية مع وجور ضلع بين لاعب ما ونادي معين في حالة كان اللاعب ينتمي لهذا النادي، وهو مثال بسيط لشبكة الانتماء (affiliation network). هذا النوع من البيانات ثنائية التجزئة التي تستعمل في تحليل الشبكات الاجتماعية. مثال آخر يبين استخدام البيانات ثنائية التجزئة في مسألة نمذجة السكك الحديدية، والتي مدخلاتها هي جدولة القطارات ومحطات وقوفها. الهدف من هذا النموذج هو إيجاد أصغر مجموعة ممكنه من محطات القطارات حيث كل قطار يعبر عالأقل محطة واحدة من مجموعة المحطات المختارة. هذه المسألة ممكن نمذجتها بيانًا شطراني الذي كل رأس بهذا البيان يمثل محطة قطار وكل ضلع فيه يربط بين محطة الانطلاق والتوقف لقطار ما.
وفي السياق ذاته، هنا مثال ثالث من المجال الاكاديمي المتعلق بالعملات (numismatics). العملات القديمه تصنع باستخدام طابعين ايجابين من التصاميم (وجة العملة وخلفها). البيان المستعمل في إنتاج هذه العملات هو بيان شطراني.
مميزات
من جهة ثانية، البيان يكون شطرانيًا إذا وفقط إذا كان لايحتوي على دارة فردية.
نظرية König's والبيان الشطراني
علاوةً على ذلك، مجموعة القيم الذاتية (spectrum) لبيان هو متماثل إذا وفقط إذا كان بيان شطرانيًا.
ومن ناحية أخرى، البيان يكون شطرانيًا إذا وفقط إذا كان 2-colorable (أي أن عدد كروم chromatic number أقل من أو يساوي 2).
البيانات ثنائية التجزئة ممكن ان تميز بعدة طرق مختلفة منها:
الدرجة
من جانب آخر، لكل رأس عدد من الرؤوس المجاورة له وهذا العدد هو درجة الرأس والتي يرمز له بالرمز . معادلة مجموع درجات رؤوس البيان الشطراني هي
ومن جهة أخرى، متتابعة الدرجة لبيان شطراني هي متتابعتين مرتبة تحتوي على درجات رؤوس و . مثلًا في البيان المكتمل الشطراني له متتابعة الدرجة و . البيانات ثنائية التجزئة الاحادية التشاكل لها نفس متتابعة الدرجات، لكن بالمقابل متتابعة الدرجات بصفة عامة ليست مرتبطة بشكل خاص لبيان ثنائي تجزئة معين. في بعض الحالات من الممكن أن تكون البيانات ثنائية التجزئة الغير احادية التشاكل لها نفس متتابعة الدرجة.
علاوةً على ذلك، مسألة bipartite realization problem هي مسألة إيجاد بيان شطراني بسيط له متتابعة درجات تكون قائمتين معطاه من الاعداد الطبيعية.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟