تباين (إحصاء)

متغير عشوائي بواسوني

وفي السياق ذاته، إذا كان هو متغير عشوائي بواسوني ذا قيمة وسيطة مقدارها ، أي ، فإنّ قيمته المتوقعة تساوي وتباينه يساوي:

أي أن تباين المتغير العشوائي وقيمته المتوقعة متساويان.

الحساب المباشر لمتغير عشوائي مستمر

في هذا الإطار، حيث أنّ التكاملين هما تكاملان محدودان وفق مجال القيم التي ممكن أن يحصل عليها المتغير .

حيث:

ومن جهة أخرى، إذا كان المتغير العشوائي مستمرًا ذا دالة كثافة احتمال ، يمكن حسابه بالتكامل:

التوزيع الاحتمالي الطبيعي

ومن ناحية أخرى، في هذا التوزيع، القيمة المتوقعة تساوي أما التباين فيحسب كما يلي:

من جهة ثانية، التوزيع الاحتمالي الطبيعي ذو المتوسط و التباين هو توزيع مستمر (يعرف كذلك باسم توزيع غاوسي)، دالة كثافته الاحتمالية تعرف كما يلي:

خواص

علاوةً على ذلك، إذا جمعنا الخاصتين السابقتين، نحصل على المعادلة التالية بالنسبة لأي تحويل أفيني يجري على المتغير العشوائي :

ومن ناحية أخرى، إنّ التباين هو قيمة لامتغيّرة بالنسبة لموقع التوزيع الذي تتبع له، أي:

علاوةً على ذلك، إنّ التباين لا يمكن أن يكون قيمة سلبيّة، إذ أنّه مساوٍ لمعدّل قيم غير سلبية (تربيع أبعاد). إذا كان المتغير العشوائي يتّخذ قيمة ممكنة واحدة فقط، فإنّه متغيرًا حتميًا ويكون تباينه صفرًا. أمّا بالنسبة لمجموعة معطيات، فيكون تباينها صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم في المجموعة متساوية.

في هذا الإطار، إنّ ضرب المتغير العشوائي بقيمة حتميّة، a، يؤدي إلى ضرب التباين بتربيع هذه القيمة:

، لأي قيمة حتمية (غير عشوائية) b.

إنّ تباين حاصل جمع متغيرات عشوائية يساوي:

من جانب آخر، حيث أنّ هو التغاير بين المتغيرين العشوائيين و. وإذا كان التغاير صفرًا، أي أنّ لا ارتباط بين المتغيرين، فإنّ تباين حاصل جمع المتغيرين يساوي حاصل جمع تباين كل من المتغيرين.

وبشكل مشابه، فإنّ:

إضافةً إلى ذلك، إنّ تباين جمع متغيّرين عشوائيين مختلفين، و، ذوي قيمتين متوقّعتين، و، معطى كالتالي:

الحساب المباشر لمتغير عشوائي متقطع

علاوةً على ذلك، إذا أردنا ترجمة هذه المعادلة للغة بسيطة، فيمكن وصف التباين على أنّه معدّل تربيع انحرافات عن قيمته المتوقّعة .

• إذا كان المتغير العشوائي متقطعًا ذا دالة كتلة احتمال كالتالي ، بحساب المجموع:
• ، حيث:
• بشرط أن يتحقّق:

أمثلة

تعريف

كما ويتحقّق:

أو الرمز أو الرمز .

وعلى صعيد آخر، أي أنّ القيمة المتوقّعة تعطي أقل قيمة لمعدّل تربيع الانحرافات عن نقطة معيّنة، وتكون هذه القيمة القصوى هي التباين.

.

من جانب آخر، وبالنسبة لمتغير عشوائي ذي قيمة متوقعة ، وهذا هو متوسط القيم، فإنّ التباين للمتغير هو:

يرمز للتباين لمتغير عشوائي بواسطة ،

كذلك، وإنّ هذا التعريف صحيح بالنسبة لمتغيرات عشوائية مستمرة أو متقطعة أو لا هذه ولا تلك. وبالإمكان تفكيك المعادلة السابقة لتصبح:

تباين المجتمع وتباين العينة

• حيث أن هو الوسط الحسابي للعينة:
• اقرأ كذلك
• تربيع الانحرافات عن المتوسط

وفي هذا السياق، في الواقع العملي (التطبيقي) تباين المجتمع يكون في أغلب الأحيان غير معروف (مجهول) لذلك يجب الاستعاضة عن التباين (تباين المجتمع) بقيمة تقديرية هي تباين العينة: