تحليل عددي
تعريفًا بالموضوع، التحليل العددي هو دراسة الخوارزميات التي تستعمل التقريب العددي لمشاكل التحليل الرياضي (على خلاف الرياضيات المنفصلة). من الطبيعي أن يجد التحليل الرقمي تطبيقًا في جميع مجالات الهندسة والعلوم الفيزيائية، ولكن في القرن الحادي والعشرين كذلك تبنت علوم الحياة والعلوم الاجتماعية والطب والأعمال التجارية وحتى الفنون عناصر من الحسابات العلمية. لقد أحدث نمو القوة الحاسوبية ثورة في استخدام النماذج الرياضية الواقعية في العلوم والهندسة، ويلزم إجراء تحليل عددي دقيق لتنفيذ هذه النماذج التفصيلية في العالم. مثلًا، تظهر المعادلات التفاضلية العادية في الميكانيكا السماوية (التنبؤ بحركات الكواكب والنجوم والمجرات)؛ الجبر الخطي العددي مهم لتحليل البيانات. تعد المعادلات التفاضلية العشوائية وسلاسل ماركوف ضرورية في محاكاة الخلايا الحية للطب وعلم الأحياء. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
إضافةً إلى ذلك، قبل ظهور أجهزة الحاسوب الحديثة، كانت الأساليب العددية تعتمد في الغالب على صيغ الاستيفاء اليدوي المطبقة على البيانات من الجداول المطبوعة الكبيرة. منذ منتصف القرن العشرين، تحسب أجهزة الحاسوب الوظائف المطلوبة بدلاً من ذلك، ولكن لا يزال يتم استخدام الكثير من الصيغ نفسها كجزء من خوارزميات البرنامج.
ومن جهة أخرى، يستمر التحليل الرقمي في هذا التقليد الطويل: بدلاً من الإجابات الرمزية الدقيقة، والتي لا يمكن تطبيقها إلا على قياسات العالم الحقيقي من خلال الترجمة إلى أرقام، فهو يوفر حلولًا تقريبية ضمن حدود الخطأ المحددة.
وفي هذا السياق، تعود وجهة النظر العددية إلى أقدم الكتابات الرياضية. تعد حساب جوانب المثلث من حيث الجذور المربعة مشكلة عملية أساسية، مثلًا في علم الفلك والنجارة والبناء.
الطرق المباشرة والتكرارية
وعلى صعيد آخر، يمكن لبعض المسائل في التحليل العددي أن تحل بشكل دقيق عن طريق خوارزمية ما ويسمى هذا النوع من الخوارزميات «طرقا مباشرة»: مثالها الاختصار الغاوسي لحل جمل المعادلات الخطية وطريقة التبسيط (طريقة سيمبلكس) في البرمجة الخطية.
وفي السياق ذاته، لكن بالمقابل، هناك الكثير من المسائل لا تحل بخوارزميات مباشرة، في هذه الحالة قد يكون من الممكن حلها باستخدام طرق تكرارية. مثل هذه الطريقة تبدأ بتخمين وإيجاد التقريب الأنجح الذي يقترب بفعالية من الحل المطلوب. حتى عندما تتواجد أحيانا خوازميات مباشرة فقد تفضل الطرق التكرارية أحيانا لأنها أكثر فعالية (قد تتطلب زمنا أقل وقدرة حسابية أقل إضافة لتقريب جيد للحل) أو قد تكون أكثر استقرارا.
مقدمة عامة
ومن ناحية أخرى، الكثير من المسائل في الرياضيات المتصلة (الاستمرارية) لا تمتلك حلا مغلق الشكل (أي بمعنى آخر لا توجد طريقة أو قاعدة تعطي الحل الدقيق أو الصحيح). من أمثلة ذلك إيجاد بعض التكاملات، وحل معادلة كثير الحدود العامة من الدرجة الخامسة فما فوق (مبرهنة أبيل-روفيني). في هذه الحالات يتبقى خياران: أولا محاولة إيجاد حل تقريبي باستخدام تحليل مزالفي (en ) أو يمكن البحث عن حل عددي. عملية إيجاد الحل العددي هي مجال بحث التحليل العددي كنظرية التكافؤ للاكس.
تولد وانتشار الأخطاء
- انظر كذلك
- أساليب رونج-كوتا
- طريقة العناصر المنتهية
- تفاضل عددي
- تكامل عددي
- طريقة نيوتن
ومن جهة أخرى، حالما يتم تولد خطأ ما، سيتم انتشار هذا الخطأ من خلال الحسابات المتتالية. وهذا يقود إلى مصطلح الثباتية العددية: تكون خوارزمية ثابتة عدديا إذا كان الخطأ لا يتضخم خلال الحسابات بعد ارتكابه مباشرة. طبعا هذا لا يكون ممكنا إلا إذا كانت المسألة جيدة الشروط، أي أن الحل يتغير بمقدار ضئيل إذا تغيرت معطيات المسألة بمقدار ضئيل. في الحالة المعاكسة وندعوها مسألة سيئة الشروط: يتم تضخم الخطأ في المعطيات بدرجة كبيرة ضمن حسابات الحل.
من جانب آخر، بجميع الأحوال، يمكن أن تكون الخوارزمية التي تحل مسألة جيدة الشروط ثابتة عدديا أو غير ثابتة عدديا فالموضوع لا يتعلق فقط بطبيعة المسألة بل بطريقة حلها بالتالي تكون مهمة التحليل العددي كذلك إيجاد خوارزميات مستقرة لحل المسائل الرياضية الجيدة الشروط إضافة لإيجاد خوارزميات مستقرة لحل المسائل السيئة الشروط.
وفي السياق ذاته، دراسة شكل الأخطاء يشكل جزءا مهما جدا من التحليل العددي. هناك عدة طرق يمكن من خلالها أن يدخل الخطأ إلى حل مسألة رياضية. فأخطاء التقريب تنشأ من استحالة تمثيل الأعداد الحقيقية بشكل دقيق في آلات محدودة الحالات (مثل جميع الحواسيب الرقمية المستعملة). أخطاء البتر تحدث عندما يتم إنهاء طريقة تكرارية ويكون الحل التقريبي ما زال بعيدا عن الحل الدقيق للمسألة. كذلك عملية التقطيع تحدث أخطاء تقطيع غالبا لأن حلول المسائل المقطعة لا تتوافق في الغالب مع حلول المسائل الاستمرارية.
التقطيع
وعلى صعيد آخر، في حالات أخرى، المسائل التي تتصف بالاستمرارية قد تحتاج إلى استبدالها بمسائل رياضية متقطعة معروفة الحلول سلفا، هذه العملية تدعى «التقطيع» discretization. فمثلا، حل معادلة تفاضلية هو دالة رياضية، ينبغي تمثيلها بمقدار محدود من البيانات، مثلا عن طريق قيمة الدالة عند نقاط مختلفة من منطلق الدالة (مجال دالة)، مع أن النطاق هو عبارة عن مجال مستمر.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟