تحويل فورييه هو عملية رياضية تستخدم لتحويل دالّة رياضية بمتغير

في البداية، تحويل فورييه هو عملية رياضية تستعمل لتحويل دالّة رياضية بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. وكثيرًا ما يطلق على هذه الدالة الجديدة لقب التمثيل في نطاق التّردّد للدالة الأصلية. والأمر شبيه بتدوين التآلف الموسيقي بواسطة النغمات التي يتكون منها ذلك التآلف. عمليًا، فإنّ التحويل يقوم بتحليل الدالّة الأصل إلى مركّباتها من الدوال التوافقية المركّبة. وإنّ تحويل فورييه ما هو إلاّ إحدى الأدوات الرياضية المتوفّرة في ضمن مجال تحليل فورييه. في تحويل فورييه الأصلي، والذي خصّصت له هذه الصفحة، فإنّ نطاق الدالة الأصليّة ونطاق الدالة الناتجة هما نطاقان مستمرّان وغير محدودين. قد يستعمل المصطلح تحوييل فورييه إمّا للإشارة إلى العملية الرياضيّة نفسها، أو للإشارة إلى الدالة الناتجة عن التحويل (فمثلاً، تكون الدالة هي تحويل فورييه للدالة ). ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.

قياس

لأي عدد حقيقي غير الصّفر، إذا تحقّق: ، يتحقّق كذلك:

من المهم ذكر الحالة الخاصّة التي فيها ، أي أنّ وعندها: .

خواص أساسيّة

وفي هذا الصدد، لنفرض أنّ الدوال و و هي دوال قابلة للتكامل، ولندوّن تحويلات فورييه لكل منها بـ و و على التوالي. لتحويل فورييه الخواص الأساسيّة التالية:

قائمة ببعض الدوال وتحويلات فورييه لها

ومن جهة أخرى، لنفرض أنّ الدوال و و هي دوال قابلة للتكامل، ولندوّن تحويلات فورييه لكل منها بـ و و على التوالي.

تحويلات أساسيّة

في هذا الإطار، القوائم التالية تشمل أهم الدوال المستعملة بكثرة في تحويلات فورييه، وتحتوي كل منها على التحويلات وفق ثلاثة التعريفات الأكثر شيوعًا لتحويل فورييه، وتظهر تلك في السطر الأوّل من القائمة الأولى.

تضمين

لأي عدد حقيقي ، إذا تحقّق: ، يتحقّق كذلك:

تحويل فورييه المتقطع

وهي طريقة حساب تحويل فورييه في الحواسيب.
انظر كذلك
متسلسلة فورييه
تحويل لابلاس
تحويل فورييه السريع
تحويل فورييه المنقطع
معالجة الإشارة
مويجات

الخطّيّة

فعندها يكون:

من أجل أي عددين مرّكبين و، إذا كان:

مقدمة وتعريف

، لكل حقيقي، وبحيث أنّ .

ومن ناحية أخرى، إذا تحقٌقت بعض الشروط الرياضيّة، فبالإمكان إعادة بناء الدالة الأصلية، ، من تحليل فورييه، ، بواسطة تحويل فورييه معاكس:

في هذه الحالة تدعى الدالتين و زوج فورييه.

وفي هذا الصدد، ليس هناك تعريف رياضي واحد ووحيد لتحويل فورييه. في هذه الصفحة سنعرف التحويل على أنّه عملية (كالضرب أو الجمع)، ولكنها عملية لدالّة وليس لعدد فتسمى وبالتحديد مؤثر. على هذه الدالة، أن تكون قابلة للتكامل، وعندها يعرّف تحويل فورييه للدالة ، على أنّه:

، لكل حقيقي.

من جهة ثانية، يستعمل تحويل فورييه كثيرًا في تحليل الإشارات ومعرفة الترددات التي تضمّنها، وفي هذه الحالة يمثّل المتغيّر الزمن، في حين يمثّل المتغيّر ترددًا زمنيًا يقاس بوحدات الهرتس.

خواص

دالة قابلة للتكامل هي دالّة تحقّق:

لدالة كهذه هنالك تحويل فورييه.

التفاف

إذا تحقّق ، فإنّ:

إزاحة