تحويل لابلاس

(F(s و (G(s

• وفيما يلي بيان تلك الخصائص والنظريات transform:
• بعض الدوال ومقابلها في تحويل لابلاس
• أهمية وفوائد تحويل لابلاس

خصائص ونظريات

والجدول التالي يبين ملخصا لهذه الخصائص والنظريات:

إذا كان هناك دالتين:

وعلى صعيد آخر، هناك مجموعة من الخصائص لتحويل لابلاس لابد من معرفتها لتسهيل استخدامه وبخاصة في تحليل النظم الخطية، من أهمها حالات التفاضل والتكامل.

(f(t و (g(t

وكان تحويل لابلاس لهما هو:

إلى دالة في المسافة

من جانب آخر، و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

من جانب آخر، و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل لابلاس معاكس، ويُرمز له بالرمز وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل لابلاس أي من دالة بمتغير قيمته عدد مركب إلى دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي، ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

ومن ناحية أخرى، تحويل درجة الحرارة من دالة في الزمن إلى دالة في درجة حرارة المصدر

تسهيل حل المعادلات التفاضلية

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية:

إضافةً إلى ذلك، مع اعتبار قيمة (0)x أي أخذ ما يسمى بالشروط البدئية بعين الاعتبار:

مقدمة

علاوةً على ذلك، فإن تحويل لابلاس الذي نرمز له هنا بالرمز L هو عملية تحويل إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير آخر هو التردد، أما الأصح هو أنها مؤثر يحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي إلى دالة بمتغير قيمته (عدد مركب).

إذا اعتبرنا أن t الزمن ، وأن s عدد مركب يساوي : s = σ + jω

علاوةً على ذلك، تحويل الدالة من متغير في الزمن إلى دالة في متغير للمسافة مثلا

مثال ذلك

تحويل السرعة المتغيرة التي هي دالة في الزمن

طرق رياضياتية مساعدة

علاوةً على ذلك، كثيرا ما نحتاج إلى استخدام طريقة إكمال المربع عند حساب تحويلات لابلاس العسكية، وذلك لوضع الدالة المراد تحويلها في صورة مربعة تناسب أحد الصور الموجودة بالجدول السابق.

و

ومن جهة أخرى، الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصبح المعادلة كالتالي:

ومن جهة أخرى، إيجاد الحل مباشرة لهاته المعادلة التفاضلية (التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا، فما العمل؟

وفي هذا الصدد، و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل المعادلة البسيطة وهي معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية باستخدام تحويل لابلاس العكسي.