تحويل ليجاندر

وهنا يختص تفاضل المعادلة

(U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S, حيث نضع كلا من V و N كثوابت.

وفي هذا السياق، بالمثل نستعملها عند دراسة جهد ترموديناميكي وتحوله إلى جهد آخر، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G:

• أمثلة الدالة الأسية
• الدالة الأسية ex
• لها دالة تحويل ليجاندر

من جهة ثانية، وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.

حيث A مصفوف متناظر غير متغير

• (مصفوف n-في-n) ودالة تحويل ليجاندر له هي:
• مراجع
• انظر كذلك
• ميكانيك لاغرانج
• معادلة هاميلتون
• ستة درجات حرية
• جسيم في صندوق
• جهد يوكاوا

مثـال دالة هاميلتون

في هذا الإطار، وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T:

ومن جهة أخرى، في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:

متغير آخر

• عن طريق التفاضل الجزئي للدالة بالنسبة إلى كالآتي:
• .
• ويمثل فيها الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة .
• ذلك نتحدث عن تحويل ليجاندر بأنه «تحويل مماسات». وتسمى الدالة
• «دالة ليجراند المحولة».
• ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة على الصورة:

استنباطه

• الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة على المتغير
• إلى اعتمادها على متغير آخر حيث:
• فعندما نصيغ الدالة المعتمدة على

معناه الهندسي

ومن جهة أخرى، لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى، وهي بدلا من .

يتغير اعتماد دالة تعتمد على المتغير إلى

ومن ناحية أخرى، سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه: يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر. فالدالة الناتجة ترتب ميل الممسات

في حالة عدة متغيرات

وإذا عرّفنا

• أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية والجديدة
• من الدالة الأصلية:
• .
• ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة:
• .

• , حصلنا على دالة ليجراند المحولة:
• .
• في أغلب أحوال توضع ونحصل على:
• .
• بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء لنقطة المماس على

وفي هذا السياق، مع اتخاذ المستوي هي دالة ليجراند المحولة. وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها «مقطع المحور».

وتسمى الدالة

لذلك يمكننا كتابة

دالة ليجاندر المحولة من الدالة . ولا أهمية لإشارة الدالة

وبالمقارنة ب و

• نحصل على:
• .
• أي أن:

تطبيقاته

وفي هذا الصدد، يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج.

إضافةً إلى ذلك، ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا وحساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستعمل الإشارة العليا في المعادلة طبقا للمتفق عليه.

.

كذلك، وفي علم الحركة الحرارية نستعملها مع اختيار الإشارة السفلى، أي بوضع

,

• يصبح الدالة كذلك معتمدة على المتغير .
• وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل نحصل على:
• .

حيث ينشأ المتغير من مشتقة الدالة

• .
• أي أن:
• وبالعكس:
• ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:

x ln x − x&nbsp

• حيث أن مشتقاتها الأولى ex و  ln x معكوسة بالنسبة لبعضها.
• وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما.
• كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية:

,

.

وبعد إجراء التكامل نحصل على:

oder

ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة .