تفاضل دالة
على سبيل التعريف، في حساب التفاضل والتكامل، يمثل التفاضل من التغير في الدالة بالنسبة للتغيرات في المتغير المستقل. يُعرَّف التفاضل بِـ: وفيها هو مشتق بالنسبة إلى ، و هو متغير حقيقي إضافي (بحيث يكون دالة لـ و ). التدوين هو بحيث تكون المعادلة
ومن جهة أخرى، يعتمد المعنى الدقيق للمتغيرين و على سياق التطبيق ومستوى الدقة الرياضية المطلوب. قد يأخذ مجال هذه المتغيرات دلالة هندسية معينة إذا اعتُبر التفاضل شكلاً تفاضليًا معينًا، أو دلالة تحليلية إذا اعتُبر التفاضل على وجه التقريب خطيًا لتزايد الدالة. تعتبر المتغيرين و تقليديًا صغيرين جدًا (لامتناهيين في الصغر)، وتُضفَى الدقة على هذا التفسير في .
كذلك، محققة، وفيها يُمثَّل المشتق في صيغة لايبنتس ، وهذا يتوافق مع اعتبار المشتق خارج قسمة التفاضلين. ويكتب كذلك على شكل
تحقق
كذلك، وفي الأخيرة الخطأ في التقريب يحقق عندما . بعبارة أخرى، كون لدينا المُطابَقة التقريبية
من جانب آخر، حيث يمكن جعل الخطأ صغيرًا بقدر ما نريد بالنسبة إلى عن طريق تقييد ليكون صغيرًا بما يكفي؛ أي عندما . لهذا السبب، يُعرف تفاضل الدالة بأنه في زيادة الدالة: التفاضل هو دالة خطية للزيادة ، وعلى الرغم من أن الخطأ قد يكون غير خطي، فإنه يؤول إلى الصفر بسرعة عندما يؤول إلى الصفر.
التعريف
كذلك، يمكن حذف إحدى العُمْدَتَيْن أو كلتيهما، أي يمكن رؤية أو ببساطة . إذا كان ، فيمكن كذلك كتابة التفاضل على النحو . نظرًا لأن ، فمن المعتاد كتابة بحيث تكون المساواة التالية محققة:
ومن جهة أخرى، يمكن تطبيق مفهوم التفاضل هذا على نطاق واسع عند البحث عن تقريب خطي لدالة، حيث تكون قيمة الزيادة صغيرة بما يكفي. بتعبير أدق، إذا كانت دالة قابلة للاشتقاق عند ، فإن الفرق في قيم
كذلك، يُعرَّف التفاضل في المعالجات الحديثة لحساب التفاضل على النحو التالي. تفاضل الدالة لمتغير حقيقي واحد هو الدالة لمتغيرين حقيقيين مستقلين و المعطاة بـ:
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟