تفاضل وتكامل

مثال على ذلك: ,

• مشتقة الدوال الأسية واللوغاريتمية:
• مشتقة الدوال المثلثية:
• مشتقة الدوال المثلثية العكسية:

التكامل

من جانب آخر، في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزأين: التكامل المحدود والتكامل غير المحدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الأطوال، المساحات، المنحنيات، مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل غير المحدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل، ولهذا السبب يسمى كذلك بـالاشتقاق العكسي.

النهايات

كذلك، أي أن الدالة تكون قريبة جدًّا حسبما نريد من عندما تقترب من العدد ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية عندما تؤول إلى هي ).

• تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من قيمة معينة.
• بفرض أن الدالة هي دالة حقيقية وأن عدد حقيقي كذلك:
• عندئذ يمكن القول:

الاشتقاق العكسي

• يعطى التكامل غير المحدود لتابع رياضي بالعلاقة:
• حيث: و هو مجرد ثابت بحيث أن .
• الاشتقاق العكسي للدوال الأسية واللوغاريتمية:
• . . .
• الاشتقاق العكسي للدوال المثلثية:

تطبيقات

• اقرأ كذلك
• حساب التكامل
• التكامل الوظيفي

حساب أطوال المنحنيات والمساحات والحجوم.

علاوةً على ذلك، حساب التوزيعات والاحتمالات المنتظمة كاحتمالية فيرمي في أشباه الموصلات، وانتشار جراثيم في وسط معين تحت ظروف بيئية معينة.

من جانب آخر، اشتقاق الكثير من المعادلات الفيزيائية الحديثة والتي يكون من الصعب إجراؤها تجريبيًّا.

من جهة ثانية، حساب المساحات في المستوي أسفل منحنيات بعض الدوال؛ حيث يوجد بعض الأشكال غير المنتظمة ولا يوجد علاقة عامة لحسابها إلا بالتكامل. وكذلك إثبات بعض قوانين الرياضيات، مثل: إثبات حجم الكرة والمخروط، وكذلك جميع الأجسام الدورانية (أي التي تنتج من دوران منطقة محددة حول محورها).

إضافةً إلى ذلك، حساب مركز الثقل وعزم القصور الذاتي وكمية التحرك والعجلة والسرعة والإزاحة والشغل والطاقة.

ومن جهة أخرى، لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة، والكيمياء، والهندسة، والاقتصاد، والحاسوب، وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والأدبية. فيما يلي بعض الأمثلة:

وفي السياق ذاته، حساب الثوابت الرياضية إلى درجات عالية من الدقة، مثل: قيمة ثابت الدائرة ، الثابت الطبيعي ، وكذلك الدوال الرياضية المعقدة، وإمكانية برمجة هذه العمليات بواسطة الحاسوب.

علاوةً على ذلك، حل المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها في الأنظمة الخطية، مثل: البندول، ودوائر الرنين الكهربائية، وأنظمة التحكم الكهروميكانيكية.

تاريخ

ومن جهة أخرى، قال المؤرخ العالمي المشهور (يورانت ول) أن ثابت بن قرة أعظم علماء الهندسة المسلمين قد ساهم بنصيب وافر في تقدم الهندسة، وهو الذي مهد لإيجاد علم التفاضل والتكامل كما استطاع أن يحل المعادلات الجبرية بالطرق الهندسية.

وعلى صعيد آخر، يعتقد البعض أن علم التفاضل قد سبق التكامل؛ لأن التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم، ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرخميدس الذي أدخل فكرة طريقة الاستنفاد والتي تمثل جزءًا أساسيًّا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على إيجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

من جهة ثانية، وفي العصر الإسلامي استطاع ابن الهيثم استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع متوالية حسابية من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل، وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل آخرون لمتسلسلات شبيهة بمتسلسلة تايلور.

كذلك، مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة من العربية وتطوير علوم الرياضيات، الفيزياء، وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد إسحاق نيوتن.

التفاضل والاشتقاق

• يتم اشتقاق التفاضل للدالة من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:
• مشتقة الثابت:
• وعندما يكون a عددًا ثابتًا إذًا:
• مشتقة دوال القوة:
• إذا كان r عدد حقيقي إذًا:

مثال

وفي هذا السياق، لإيجاد المساحة تحت منحنى الدالة ، من إلى ، نقوم باستعمال التكامل المحدود، فنحصل على

التكامل المحدود

• يعبر عنه بالشكل الرياضي:
• ، يطلق على و اسم حدود التكامل، والصيغة الأساسية لحساب التكامل المحدود هي:
• بحيث ان هي الدالة العكسية ل ، أي أن .