تقسيم مصفوفة

طريقة جاوس-سيدل

في هذا الإطار، نظرًا لأن القطر الرئيسي للمصفوفة A لا يحتوي على عناصر صفرية، فيمكن كتابة المصفوفة بالصيغة التالية:

ملاحظات

وفي هذا السياق، يظهر الجدول التالي أول تكرارات للمعادلة (15)، بدءً بـ. ومن الجدول نستطيع ملاحظة أن الطريقة تتجه نحول الحل (معادلة 13)، لكن أسرع من طريقة جاكوبي الموضحة أعلاه.

الطرق التكرارية

في هذا الإطار، يمكن وصف الكثير من الطرق التكرارية على أنها تقسيم للمصفوفة. إذا كانت عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة A لا تساوي صفر، يتم التعبير عن A على أنها:

من جهة ثانية، حيث D هي الجزء القطري لـA، وU وL يمثلان على الترتيب مصفوفتان مثلثيتان علوية وسفلية بأبعاد n × n، ويصبح لدينا التالي.

يمكن التعبير عن طريقة جاكوبي في صورة مصفوفة كتقسيم

كذلك طريقة جاوس-سيدل

كذلك طريقة (successive over-relaxation)

أمثلة

التقسيم الاعتيادي

نحن نسعي لحل المعادلة:

من جانب آخر، والمصفوفة D = B−1C لا تحتوي على عناصر سالبة طالما (معادلة 2) تمثل تقسيم اعتيادي لـA.

وفي هذا السياق، حيث A هي مصفوفة n × n، وk هو متجه عمودي معطى يحتوي على n عنصر، فنقسم المصفوفة A إلى:

• حيث B وC هما مصفوفتان n × n.
• نقول أن A = B − C هي مصفوفة مقسمة، إذا كانت B−1 ≥ 0 وC ≥ 0.
• ونفرض أن:
• حيث g هو متجه عمودي معطى يمكن حله مباشرة للمتجه x.
• وبذلك يكون:

التقسيم العادي

ويصبح بذلك الحل الأمثل للمعادلة:

في هذا الإطار، وحيث أن B−1 ≥ 0 وC ≥ 0، فإن التقسيم (معادلة 11) هو تقسيم اعتيادي.

كذلك، يظهر الجدول التالي أول تكرارات للمعادلة (12)، بدءً بـ. ومن الجدول نستطيع ملاحظة أن الطريقة تتجه نحو الحل (معادلة 13).