تكامل ناقصي
المحتويات
في البداية، في الحساب التكاملي، نشأت التكاملات الناقصية أو التكاملات الإهليلجية في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إيجاد طول قوس من القطع الناقص. تم دراستها لأول مرة من قبل وليونهارت أويلر (نحو 1750). تعرف الرياضيات الحديثة «التكامل الإهليلجي» على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:
ومن جهة أخرى، حيث هي دالة كسرية ذات متغيرين، و هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و هو ثابت.
وفي هذا الصدد، عمومًا، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية. الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.
التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث
يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة ،
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث بـ:
انظر كذلك
منحنى إهليلجي
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثالث
وفي هذا السياق، تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث على الشكل المثلثي:
التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني بـ:
يمكن استخدام مفكوكه:
حيث هو عاملي ثنائي.
.
علاوةً على ذلك، بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي ، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثاني
- تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:
- شكل جاكوبي:
- وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:
- يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:
- حيث هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و هو إختلافه المركزي.
تدوين العمدة
- :
- : الاختلاف المركزي.
- : الوسيط
- التكاملات الإهليلجية غير التامة
وفي هذا السياق، التكاملات الاهليلجية غير التامة هي دوال لعمدتين (arguments). أما التكاملات الاهليلجية التامة، فهي دوال لعمدة واحدة.
التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الأول
بدلالة السعة φ والاختلاف المركزي الزاوي:
وفي هذا الصدد، في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي «الوسيط»، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها «الاختلاف المركزي الزاوي». يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.
يعرف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول بـ:
وفي السياق ذاته، هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ) و x = sin (φ)، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:
أو
كذلك، يُطلق على العدد n اسم المميزة ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن لانهائي، مهما كان m.
وفي هذا السياق، يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض كذلك بدلالة :
التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول
- تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول بـ:
- يمكن استخدام مفكوكه:
- يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي:
التكاملات الإهليلجية التامة
وفي هذا السياق، هي حالات خاصة للتكاملات غير التامة عندما تكون السعة تساوي ، وبالتالي x=1.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟