توزيع بواسون

تلخيص التوزيع

• المتغير العشوائي X يتبع توزيع بوسون بمعلمه λ إذا كانت دالته الاحتمالية هي:
• حيث أن هي معلمة التوزيع الوحيدة بمقدار ثابت، ونعرف المتغير العشوائي
• ولكي نتحقق أن (f(x دالة احتمالية

تطبيقات أخرى في العلوم

من جانب آخر، في نظرية المجموعة السببية، تتبع العناصر المنفصلة للزمكان توزيع بواسون في الحجم.

علاوةً على ذلك، المثال اليومي هو التحبب الذي يظهر عند تكبير الصور ؛ يعود سبب التحبب إلى تقلبات بواسون في عدد حبيبات الفضة المنخفضة، وليس إلى الحبوب الفردية نفسها. من خلال ربط التحبب بدرجة التوسيع، يمكن للمرء تقدير مساهمة حبة فردية (والتي تكون صغيرة جدًا بحيث لا يمكن رؤيتها بدون مساعدة).  تم تطوير الكثير من التطبيقات الجزيئية الأخرى لضوضاء بواسون، مثلًا، تقدير كثافة عدد جزيئات المستقبل في غشاء الخلية.

وفي هذا السياق، في عملية بواسون، يتقلب عدد الأحداث المرصودة حول متوسطها λ مع الانحراف المعياري . يشار إلى هذه التقلبات على أنها ضوضاء بواسون أو (خاصة في الإلكترونيات) كضوضاء لقطة.

في هذا الإطار، يعتبر ارتباط المتوسط والانحراف المعياري في حساب الأحداث المنفصلة المستقلة مفيدًا علميًا. من خلال مراقبة كيفية اختلاف التقلبات مع الإشارة المتوسطة، يمكن للمرء تقدير مساهمة حدوث واحد، حتى لو كانت هذه المساهمة صغيرة جدًا بحيث لا يمكن اكتشافها مباشرة . مثلًا، يمكن تقدير الشحنة الإلكترونية على الإلكترون من خلال ربط حجم التيار الكهربائي بضوضاء اللقطة. إذا مرت إلكترونات N نقطة في وقت معين t في المتوسط، يكون متوسط التيار ؛ لأن التقلبات الحالية يجب أن تكون بالترتيب (أي الانحراف المعياري لعملية بواسون)، الشحنة يمكن تقديرها من النسبة .

تحول استقرار التباين: إذا ، من ثم

،

بعض التحولات في هذا القانون

يتم إعطاء تحويل كوشي (وهو سلبي لتحويل ستيلجس) بواسطة

من جانب آخر، نعطي قيمًا لبعض التحولات المهمة لقانون بواسون الحر؛ يمكن العثور على الحساب في، مثلًا، في كتاب «محاضرتان حول توافقيات الاحتمالية الحرة بواسطة أ. نيكا ور. سبايشر».

يتم إعطاء تحويل R لقانون بواسون المجاني بواسطة

سباقات بواسون

تم إثبات الحد الأعلى باستخدام حد تشيرنوف القياسي.

التوزيعات ذات الصلة

يترك و تكون متغيرات عشوائية مستقلة، مع ، ثم لدينا ذلك

علاوةً على ذلك، يمكن إثبات الحد الأدنى بملاحظة ذلك هو احتمال أن ، أين ، والتي يحدها أدناه ، أين هو إنتروبيا نسبية (انظر المدخل على حدود ذيول التوزيعات ذات الحدين لمزيد من التفاصيل). كذلك مشيرا إلى أن ، وحساب الحد الأدنى على الاحتمال غير المشروط يعطي النتيجة. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في ملحق كاماث وآخرون.

دالة الكتلة الاحتمالية

وفي هذا السياق، يُقال إن المتغير العشوائي X المنفصل له توزيع بواسون مع المعامل المتغير λ> 0 إذا كان لـ k = 0، 1، 2... دالة الكتلة الاحتمالية لـ X تعطى بواسطة:

وفي السياق ذاته، يعتبر توزيع بواسون شائعًا لنمذجة عدد المرات التي يقع فيها الحدث في فترة زمنية أو مساحة .

خصائص أخرى

• توزيعات بواسون هي توزيعات احتمالية لا نهائية للقسمة.
• الاختلاف الموجه تباعد كولباك - ليبلير من اعطي من قبل
• يمكن اشتقاقها باستخدام وسيطة منضمة لـ تشيرنوف.

عملية نقطة بواسون

وفي هذا الصدد، ينشأ توزيع بواسون بعدد نقاط عملية نقطة بواسون الموجودة في منطقة محدودة. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت D عبارة عن مساحة منطقة ما، مثلًا، الفضاء الإقليدي R d، الذي – D ، المساحة، الحجم، أو بشكل عام، مقياس ليبيسج للمنطقة محدود، وإذا كان يشير إلى عدد النقاط في D، إذن

المنوال

وفي هذا السياق، إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت وأنها متناقصة إذا كانت أما إذا كانت فذلك يعني وعلى ذلك إذا كانت عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند أما إذا كانت عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد .

• دالة التوزيع التراكمية
• متوسط التوزيع
• وحيث أن
• إذن

Generate uniform random number u in

إضافةً إلى ذلك، return k − 1.التعقيد خطي في القيمة المرجعة k، والتي تكون في المتوسط. هناك الكثير من الخوارزميات الأخرى لتحسين هذا. يتم إعطاء بعضها في آرينز & ديتر، انظر أدناه.

[0,1] and let p ← p × u.

while p > L.

• based on Knuth):
• init:
• Let λLeft ← λ, k ← 0 and p ← 1.
• do:
• k ← k + 1.

ومن ناحية أخرى، بالنسبة للقيم الكبيرة لـ λ، قد تكون قيمة L = e −λ صغيرة جدًا بحيث يصعب تمثيلها. يمكن حل هذا عن طريق تغيير الخوارزمية التي تستعمل معلمة إضافية STEP بحيث لا تتدفق e −STEP : algorithm poisson random number (Junhao,

أمثلة تنتهك افتراضات بواسون

تميز

من جانب آخر، قد لا يتبع عدد الزلازل التي تبلغ قوتها 5 درجات سنويًا في بلد ما توزيع بواسون إذا زاد زلزال واحد كبير من احتمال حدوث توابع من نفس الحجم.

من جهة ثانية، يمكن نمذجة توزيعات العد التي يكون فيها عدد الفترات ذات الأحداث الصفرية أعلى من المتوقع بواسطة نموذج بواسون باستخدام نموذج مضخم صفري.

ومن ناحية أخرى، من المحتمل ألا يتبع عدد الطلاب الذين يصلون إلى اتحاد الطلاب في الدقيقة توزيع بواسون، لأن المعدل ليس ثابتًا (معدل منخفض أثناء وقت الفصل، ومعدل مرتفع بين أوقات الفصل) وقادمات الطلاب الفرديين ليسوا مستقلين (الطلاب تميل إلى المجيء في مجموعات).

إضافةً إلى ذلك، الأمثلة التي يتم فيها ضمان حدث واحد على الأقل لا يتم توزيع بواسون؛ ولكن يمكن نمذجتها باستخدام توزيع بواسون بدون اقتطاع.

انحدار بواسون والانحدار السلبي ذي الحدين

وفي هذا الصدد، يعد انحدار بواسون والانحدار السالب ذي الحدين مفيدًا للتحليلات حيث يكون المتغير التابع (الاستجابة) هو العدد (0، 1، 2، ...) لعدد الأحداث أو التكرارات في فترة.

الحدوث والتطبيقات

وعلى صعيد آخر، تم التحقيق في استهداف القنابل الطائرة V-1 على لندن أثناء الحرب العالمية الثانية بواسطة آر دي كلارك عام 1946.

• حركة المرور على الإنترنت.
• عدد الأهداف في الألعاب الرياضية التي يشارك فيها فريقان متنافسان.
• عدد الوفيات في السنة في فئة عمرية معينة.
• عدد القفزات في سعر السهم في فترة زمنية معينة.

• يمكن العثور على تطبيقات توزيع بواسون في الكثير من المجالات بما في ذلك:
• مثال عن الاتصالات: وصول المكالمات الهاتفية إلى النظام.
• مثال في علم الفلك: وصول الفوتونات إلى التلسكوب.
• مثال في الكيمياء: توزيع الكتلة المولية لبلمرة حية.
• مثال في علم الأحياء: عدد الطفرات على خيط من الحمض النووي لكل وحدة طول.
• مثال إداري: وصول العملاء إلى العداد أو مركز الاتصال.

وفي هذا الصدد، عدد المكالمات الهاتفية التي تصل إلى مركز الاتصال خلال دقيقة. تم وصف هذا المثال من قبل AK Erlang (1878-1929).

في هذا الإطار، في ظل افتراض التجانس، عدد المرات التي يتم فيها الوصول إلى خادم الويب في الدقيقة.

كذلك، أظهر غالاغر في عام 1976 أن أعداد الأعداد الأولية في فترات زمنية قصيرة تخضع لتوزيع بواسون قدمت نسخة معينة من تخمين مجموعة هاردي-ليتلوود الأولية غير المثبتة لهاردي ليتلوود صحيح.

ومن ناحية أخرى، عدد الجنود الذين قتلوا بركلات الخيول كل عام في كل سلاح في سلاح الفرسان البروسي. تم استخدام هذا المثال في كتاب من تأليف لاديسلاوس بورتكيفيتش (1868–1931).

وفي السياق ذاته، مثال على النشاط الإشعاعي: عدد حالات التحلل في فترة زمنية معينة في عينة مشعة.

• عدد الطفرات في امتداد معين من الحمض النووي بعد كمية معينة من الإشعاع.
• نسبة الخلايا التي من شأنها أن تكون مصابة في معين وافر من العدوى.
• عدد البكتيريا في كمية معينة من السائل.
• وصول الفوتونات على دائرة البكسل عند إضاءة معينة وخلال فترة زمنية معينة.

في هذا الإطار، مثال على التمويل والتأمين: عدد الخسائر أو المطالبات التي تحدث في فترة زمنية معينة.

إضافةً إلى ذلك، عدد خلايا الخميرة المستعملة عند تخمير بيرة غينيس. استعمل هذا المثال ويليام سيلي جوسيت (1876-1937).

من جانب آخر، ينشأ توزيع بواسون فيما يتعلق بعمليات بواسون. ينطبق على ظواهر مختلفة من الخصائص المنفصلة (أي تلك التي قد تحدث 0، 1، 2، 3... مرات خلال فترة زمنية معينة أو في منطقة معينة) كلما كان احتمال حدوث الظاهرة ثابتًا في الزمان أو المكان. تتضمن أمثلة الأحداث التي يمكن نمذجتها كتوزيع بواسون ما يلي:

من جهة ثانية، مثال على علم الزلازل الزلزالية: نموذج بواسون مقارب للمخاطر الزلزالية للزلازل الكبيرة.

ومن جهة أخرى، مثال البصريات: عدد الفوتونات المنبعثة في نبضة ليزر واحدة. هذه ثغرة أمنية كبيرة لأغلب بروتوكولات توزيع المفاتيح الكمية المعروفة باسم تقسيم رقم الفوتون (PNS).

تباين التوزيع

• لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة
• أي أن
• إذن
• ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط
• دالة توزيع العزوم

توزيع بواسون مجاني

يتم إعطاء التدبير المرتبط بقانون بواسون المجاني بواسطة

من جانب آخر، وبعبارة أخرى، دعونا تكون متغيرات عشوائية بحيث له قيمة مع الاحتمال والقيمة 0 مع الاحتمال المتبقي. افترض كذلك أن الأسرة مستقلة بحرية. ثم الحد كما من قانون يتم تقديمها بموجب قانون بواسون الحر مع المعلمات .

مثل N. → ∞.

من جانب آخر، هذا التعريف مشابه لإحدى الطرق التي يتم بها الحصول على توزيع بواسون الكلاسيكي من عملية بواسون (كلاسيكية).

وفي هذا الصدد، توزيع بواسون المجاني بحجم قفزة ومعدل ينشأ في نظرية الاحتمالات الحرة كحد أقصى للالتفاف الحر المتكرر

فاصل الثقة

وعلى صعيد آخر، عندما يشير إلى الانحراف القياسي العادي مع منطقة الذيل العليا .

في هذا الإطار، لتطبيق هذه الصيغ في نفس السياق على النحو الوارد أعلاه (بالنظر إلى عينة من القيم المقاسة n k i مستمدة من توزيع بواسون بمتوسط λ)، يجب تعيين

ومن جهة أخرى، أين هي الدالة الكمية (المقابلة لمنطقة الذيل السفلية p) لتوزيع مربع كاي مع n من درجات الحرية و هي دالة كميّة لتوزيع جاما بمعامل الشكل n ومعلمة المقياس 1. هذا الفاصل الزمني «دقيق» بمعنى أن احتمالية تغطيتها لا تقل أبدًا عن الاسمي.

أو مكافئ،

وفي السياق ذاته، يمكن التعبير عن فاصل الثقة لمتوسط توزيع بواسون باستخدام العلاقة بين وظائف التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع. يرتبط توزيع مربع كاي ارتباطًا وثيقًا بتوزيع جاما، وهذا يؤدي إلى تعبير بديل. بالنظر إلى الملاحظة k من توزيع بواسون بمتوسط μ، فإن فاصل الثقة لـ μ بمستوى الثقة هو

ومن ناحية أخرى، احسب الفاصل الزمني لـ μ = nλ، ثم قم باشتقاق الفترة الزمنية لـ λ .

من جانب آخر، عندما لا تتوفر كميات توزيع جاما، تم اقتراح تقريب دقيق لهذه الفترة الزمنية الدقيقة (بناءً على تحويل ويلسون-هيلفيرتي):

الإحصاء الوصفي

معامل الاختلاف هو بينما مؤشر التشتت 1.

من جهة ثانية، تساوي القيمة والتباين المتوقعان لمتغير عشوائي موزع بواسون λ.

توليد المتغيرات العشوائية الموزعة بواسون

وفي هذا السياق، دونالد كانوث خوارزمية بسيطة لتوليد أرقام عشوائية موزعة بواسون (أخذ عينات أرقام عشوائية زائفة): algorithm poisson random number (Knuth):

• init:
• Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
• do:
• k ← k + 1.

توزيع بواسون ثنائي المتغير

وفي هذا السياق، تم تمديد هذا التوزيع إلى حالة ثنائية المتغير. وظيفة التوليد لهذا التوزيع هي

أمثلة على احتمالية توزيعات بواسون

• لأن متوسط معدل الحدث 2.5 هدف لكل مباراة، λ = 2.5.
• يعطي الجدول أدناه الاحتمال من 0 إلى 7 أهداف في المباراة.
• مرة واحدة في الأحداث الفاصلة: حالة خاصة من λ = 1 و k = 0

من جهة ثانية، يعطي الجدول أدناه احتمالية حدوث 0 إلى 6 فيضانات في فترة 100 عام.

علاوةً على ذلك، بشكل عام، إذا حدث حدث ما في المتوسط مرة واحدة لكل فترة زمنية (λ = 1)، وتتبع الأحداث توزيع بواسون، ثم . فضلًا عن ذلك، P (حدث واحد بالضبط في الفترة التالية) = 0.37، كما هو موضح في الجدول لفيضانات الفائض.

وفي هذا الصدد، لنفترض أن الفلكيين يقدرون أن النيازك الكبيرة (فوق حجم معين) ضربت الأرض في المتوسط مرة كل 100 سنة (λ = 1 حالة لكل 100 سنة)، وأن عدد الزيارات النيزك يتبع توزيع بواسون. ما هو احتمال = 0 يضرب نيزك في المائة عام القادمة؟

لأن متوسط معدل الحدث هو فيضان فائض واحد لكل 100 عام، λ = 1

ومن ناحية أخرى، في ظل هذه الافتراضات، فإن احتمال عدم اصطدام أي نيازك كبيرة بالأرض خلال المائة عام القادمة هو 0.37 على وجه التقريب. الباقي 1 - 0.37 = 0.63 هو احتمال حدوث 1، 2، 3، أو أكثر من ضربات نيزك كبير في المائة عام القادمة. في المثال أعلاه، حدث فيضان فائض مرة كل 100 عام (λ = 1). كان احتمال عدم حدوث فيضانات فائضة خلال 100 عام على وجه التقريب 0.37، بنفس الحساب.

في هذا الإطار، في نهر معين، تحدث فيضانات الفائض مرة كل 100 عام في المتوسط. احسب احتمال= 0، 1، 2، 3، 4، 5، أو 6 فيضان فيضان في فترة 100 سنة، على افتراض أن نموذج بواسون مناسب.

وفي السياق ذاته، أفاد أوغارتي وزملاؤه أن متوسط عدد الأهداف في إحدى مباريات كأس العالم لكرة القدم يبلغ 2.5 على وجه التقريب وأن نموذج بواسون مناسب.

الافتراضات والصلاحية

ومن ناحية أخرى، هو عدد المرات التي يقع فيها حدث ما في فترة ما ويمكن لـ أن تأخذ القيم 0، 1، 2....

من جهة ثانية، لا يؤثر وقوع حدث واحد على احتمال وقوع حدث ثان. أي أن الأحداث تحدث بشكل مستقل.

ومن ناحية أخرى، متوسط المعدل الذي تحدث به الأحداث مستقل عن أي تكرارات. من أجل التبسيط، يُفترض عادةً أن يكون هذا ثابتًا، ولكن قد يختلف عمليًا مع مرور الوقت.

ومن ناحية أخرى، يعتبر توزيع بواسون نموذجًا مناسبًا إذا كانت الافتراضات التالية صحيحة:

من جانب آخر، إذا كانت هذه الشروط صحيحة، فإن هو متغير بواسون العشوائي، وتوزيع هو توزيع بواسون.

علاوةً على ذلك، توزيع بواسون هو كذلك حد التوزيع ذي الحدين، حيث يساوي احتمال النجاح لكل تجربة مقسومًا على عدد التجارب، حيث يقترب عدد التجارب من اللانهاية (انظر التوزيعات ذات الصلة).

إضافةً إلى ذلك، لا يمكن أن يحدث حدثان في نفس اللحظة بالضبط؛ بدلاً من ذلك، في كل فترة فرعية صغيرة جدًا، يحدث حدث واحد بالضبط أو لا يحدث.

ميادين الاستعمال

وفي هذا السياق، غالبا ما استعمل توزيع بواسون لحساب أحداث النادرة كانتحار الأطفال، وصول البواخر إلى المرسى أو الحوادث الناتجة عن ركالات الأحصنة في العساكر (دراسة لاديسلاوس بورتكيفيكز)

وفي السياق ذاته، أما منذ بعض عشرات السنين، امتد استعمال توزيع بواسون إلى ميادين أخرى. فهو يستعمل كثيرا الآن في تكنولوجيات الإتصال (حساب عدد المواصلات في مدّة معينة)، مراقبة الجودة الإحصائية، وصف بعض الظواهر التابعة لميدان التفكيك النووي المشع (تفكيك النواة المشعة يتبع دالة أسية ذات معملة تدعى كذلك λ) وعلم الأحياء والرصد الجوي...

قانون الأحداث النادرة

في هذا الإطار، تُستعمل كلمة قانون أحيانًا كمرادف لتوزيع الاحتمالات، والتقارب في القانون يعني التقارب في التوزيع . بحسب ذلك، يُطلق على توزيع بواسون أحيانًا «قانون الأعداد الصغيرة» لأنه التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات حدث نادر الحدوث ولكن توجد فرص كثيرة جدًا لحدوثه. قانون أرقام صغير هو كتاب لادسلاو بورتكيفيز حول توزيع بواسون، التي نشرت في سنة 1898.

وفي السياق ذاته، في مثل هذه الحالات، يكون n كبيرًا جدًا و p صغيرًا جدًا (وبالتالي فإن التوقع np متوسط الحجم). ثم يمكن تقريب التوزيع عن طريق توزيع بواسون الأقل تعقيدًا

وفي هذا السياق، في الكثير من الأمثلة المذكورة أعلاه - مثل عدد الطفرات في تسلسل معين من الحمض النووي - الأحداث التي يتم عدها هي في الواقع نتائج تجارب منفصلة، وستكون أكثر دقة في نمذجة باستخدام التوزيع ذي الحدين، أي

كذلك، هذا التقريب والتي تعرف أحيانا باسم قانون الأحداث النادرة، لأن كل من ن الفردية الأحداث برنولي نادرا ما يحدث. قد يكون الاسم مضللًا لأن العدد الإجمالي لأحداث النجاح في عملية بواسون لا يلزم أن يكون نادرًا إذا لم تكن المعلمة np صغيرة. مثلًا، عدد المكالمات الهاتفية إلى لوحة مفاتيح مزدحمة في ساعة واحدة يتبع توزيع بواسون مع ظهور الأحداث بشكل متكرر للمشغل، لكنها نادرة من وجهة نظر الفرد العادي من السكان الذين من غير المرجح أن يقوموا بذلك. مكالمة إلى لوحة التبديل تلك في تلك الساعة.

ومن جهة أخرى، يرتبط معدل الحدث باحتمالية وقوع حدث في فترة فرعية صغيرة (من الوقت أو المكان أو غير ذلك). في حالة توزيع بواسون، يفترض المرء أن هناك فترة فرعية صغيرة بما فيه الكفاية بحيث يكون احتمال وقوع حدث مرتين «ضئيلاً». مع هذا الافتراض، يمكن للمرء اشتقاق توزيع بواسون من التوزيع ذي الحدين، مع الأخذ في الاعتبار فقط معلومات العدد المتوقع من الأحداث الإجمالية في الفترة الزمنية بأكملها. دع هذا العدد الإجمالي يكون . قسّم الفترة الزمنية بأكملها إلى فترات فرعية من نفس الحجم، مثل هذا > (نظرًا لأننا مهتمون فقط بأجزاء صغيرة جدًا من الفاصل الزمني، فإن هذا الافتراض مفيد). هذا يعني أن العدد المتوقع للأحداث في فترة لكل يساوي . نفترض الآن أن حدوث حدث في الفترة الزمنية بأكملها يمكن اعتباره تجربة برنولي، حيث محاكمة تقابل النظر فيما إذا كان حدث ما يحدث في الفترات الفرعية مع الاحتمال . العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في ستكون مثل هذه المحاكمات ، العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في الفترة الزمنية بأكملها. ومن ثم، بالنسبة لكل قسم فرعي من الفترة الزمنية، فقد اقتربنا من حدوث الحدث كعملية برنولي للنموذج . كما لاحظنا من قبل، نريد أن ننظر فقط في فترات فرعية صغيرة جدًا. لذلك، نأخذ النهاية على أنها يذهب إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، يتقارب التوزيع ذي الحدين مع ما يُعرف باسم توزيع بواسون بواسطة نظرية حدود بواسون.

λLeft ← 0

وفي هذا الصدد، معكوس تحويل أخذ العينات هي بسيطة وفعالة للقيم صغيرة من λ، وتتطلب رقم عشوائي موحد واحد فقط لكل عينة U. يتم فحص الاحتمالات التراكمية بدورها حتى يتجاوز المرء U.algorithm Poisson generator based upon

while p > 1.

في هذا الإطار، تشمل الحلول الأخرى للقيم الكبيرة لـ أخذ عينات رفض واستخدام تقريب غاوسي.

the inversion by sequential

وعلى صعيد آخر، return k − 1.يعتمد اختيار STEP على عتبة الفائض. بالنسبة لصيغة النقطة العائمة ذات الدقة المزدوجة، تكون العتبة قريبة من 700 e، لذا يجب أن تكون 500 خطوة آمنة.

الوسيط

حدود الوسيط من التوزيع معروف وحاد:

Generate uniform random number u in

• (0,1) and let p ← p × u.
• while p < 1 and λLeft > 0:
• if λLeft > STEP:
• p ← p × eSTEP

عندما

e هو رقم أويلر (e = 2.71828. . .)

مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة بواسون

وفي هذا الصدد، لو بالنسبة مستقلة، إذن . العكس هو نظرية رايكوف، التي تقول أنه إذا كان مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين موزعًا بواسون، فسيكون كذلك كل من هذين المتغيرين العشوائيين المستقلين.

عندما

ولديه دعم .

إضافةً إلى ذلك، ينشأ هذا القانون كذلك في نظرية المصفوفة العشوائية مثل قانون مارشينكو - باستور. المتراكمات الحرة لها تساوي .

تقريب بواسون

وعلى صعيد آخر، هذا يعني ، من بين أمور أخرى، ذلك لأي وظيفة غير سلبية ، لو يتم توزيعها متعدد الحدود، إذن

وفي السياق ذاته، عامل يمكن استبداله بـ 2 إذا يُفترض كذلك أنه يتزايد أو يتناقص بشكل رتيب.

عندما .

افترض أين ، ثم يتم توزيعها بشكل متعدد الحدود مشروط .

k هو عدد مرات الحدوث

وفي السياق ذاته، يمكن تكييف المعادلة إذا، بدلاً من متوسط عدد الأحداث ، نحصل على معدل زمني لعدد الأحداث يحدث. ثم (عرض عدد الأحداث لكل وحدة زمنية)، و

من جهة ثانية، يمكن تطبيق توزيع بواسون على الأنظمة التي بها عدد كبير من الأحداث المحتملة، كل منها نادر الحدوث. عدد مثل هذه الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، في ظل الظروف المناسبة، هو رقم عشوائي مع توزيع بواسون.

وفي هذا السياق، الرقم الحقيقي الموجب λ يساوي القيمة المتوقعة لـ X وأيضًا تباينها

تقدير المعامل المتغير

من جانب آخر، نظرًا لأن كل ملاحظة لها توقع λ فهل تعني العينة. لذلك، فإن تقدير الاحتمالية القصوى هو مقدر غير متحيز لـ λ. وهو كذلك مقدر فعال نظرًا لأن تباينه يحقق الحد الأدنى كرامر - راو (CRLB).  ومن ثم فإن التباين الأدنى غير متحيز. كما يمكن إثبات أن المجموع (ومن ثم متوسط العينة لأنه دالة فردية للمبلغ) هو إحصائية كاملة وكافية لـ λ.

في هذا الإطار، إذن λ هو متوسط قيم k i . الحصول على علامة المشتق الثاني لـ L عند النقطة الثابتة سيحدد نوع القيمة القصوى λ .

علاوةً على ذلك، وهو سالب n في مقلوب متوسط k i . هذا التعبير سالب عندما يكون المتوسط موجبًا. إذا تم استيفاء ذلك، فإن النقطة الثابتة تزيد من دالة الاحتمال.

من جهة ثانية، الفصل الأول، ، يعتمد فقط على . الفصل الثاني، ، يعتمد على العينة فقط من خلال . هكذا، كافي.

وفي هذا الصدد، للعثور على المعلمة λ التي تزيد من دالة الاحتمال لسكان بواسون، يمكننا استخدام لوغاريتم دالة الاحتمال:

من جانب آخر، من أجل الاكتمال، يُقال أن عائلة التوزيعات كاملة إذا وفقط إذا يعني ذلك للجميع . إذا كان الفرد هي iid ، من ثم . من خلال معرفة التوزيع الذي نريد التحقيق فيه، من السهل أن نرى اكتمال الإحصاء.

الحل من أجل λ يعطي نقطة ثابتة.

يعطي تقييم المشتق الثاني عند النقطة الثابتة :

كذلك، لإثبات الكفاية، قد نستعمل نظرية العوامل. ضع في اعتبارك تقسيم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون المشترك للعينة إلى جزأين: جزء يعتمد فقط على العينة (مسمى ) وواحد يعتمد على المعلمة والعينة فقط من خلال الوظيفة . ثم إحصائية كافية لـ .

وعلى صعيد آخر، من أجل هذه المساواة، يجب أن يكون 0. هذا يأتي من حقيقة أنه لن يكون أي من المصطلحات الأخرى صفرًا للجميع في المجموع ولجميع القيم الممكنة لـ . لذلك، للجميع يعني ذلك ، وقد ثبت أن الإحصاء مكتمل.

نأخذ مشتق من فيما يتعلق λ وذلك لمقارنة الصفر:

وفي هذا الصدد، إعطاء عينة من القيم المقاسة n ، لأني = 1، ... ن، نرغب في تقدير قيمة المعلمة λ لمجتمع بواسون الذي تم سحب العينة منه. تقدير الاحتمالية القصوى هو

الرسوم البيانة ذات الأعمدة

ومن ناحية أخرى، ككل توزيع قائم على احتمال منفصل، يمكن تمثيل توزيع بواسون برسوم بيانية ذات أعمدة.

ومن جهة أخرى، هنا تحت، تمثل الرسوم البيانية توزيع بواسون ذا المعلمات 1 و2 و5.

وعلى صعيد آخر، رسم بياني ذا أعمدة لتوزيع بواسون ذا المعملة 1 رسم بياني ذا أعمدة لتوزيع بواسون ذا المعملة 2 رسم بياني ذا أعمدة لتوزيع بواسون ذا المعملة 5

وفي السياق ذاته، رسم توزيع بواسون ذا العامل 5 بدأ يشبه بعض الشيء التوزيع الطبيعي (أو التوزيع الغاوسي) ذا القيمة المتوقعة 5 التباين 5. ولذلك إذا كانت λ أكبر من 5، نخير استعمال نموذج التوزيع الطبيعي.

λLeft ← λLeft − STEP

p ← p × eλLeft

else:

حيث أن

• الحل:
• متوسط عدد الحوادث
• نفرض أن X عدد الحوادث الأسبوعية إذن

مثال:

من جهة ثانية، إذا كان متوسط عدد الحوادث الأسبوعية على إحدى الطرق في مدينة ما هو 3 حوادث. فما احتمال أن يقع في أحد الأسابيع حادثتين ؟

متوسط الانحراف المطلق عن المتوسط هو

من جهة ثانية، جميع تراكمات توزيع بواسون تساوي القيمة المتوقعة λ . العزم المضروب n لتوزيع بواسون هو λ n .

وفي هذا الصدد، تتحلل أحيانًا القيمة المتوقعة لعملية بواسون إلى نتاج الكثافة والتعرض (أو يتم التعبير عنها عمومًا على أنها جزء لا يتجزأ من «وظيفة الكثافة» عبر الزمان أو المكان، والتي توصف أحيانًا باسم «التعرض»).

كذلك، وضع المتغير العشوائي الموزع بواسون مع عدد غير صحيح يساوي ، وهو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي λ . هذا هو مكتوب كذلك الكلمة (λ). عندما λ هو عدد صحيح موجب، وسائط هي λ λ و - 1.

و

أين هو مرة أخرى اختلاف كولباك – ليبلر الموجه.

من جانب آخر، المتباينات التي تربط دالة التوزيع لمتغير بواسون العشوائي إلى دالة التوزيع العادي القياسية هي كالتالي:

في هذا الإطار، يمكن تشديد احتمال الذيل العلوي (بمعامل لا يقل عن اثنين) على النحو التالي:

أين هو التباعد الموجه كولباك – ليبلر، كما هو موضح أعلاه.

تقييم توزيع بواسون

إضافةً إلى ذلك، ماثماتيكا: توزيع بواسون أحادي المتغير كـ بواسونDistribution[ ]، توزيع بواسون ثنائي المتغير كـ MultivariateبواسونDistribution[ ,{ , }].

توفر بعض لغات الحوسبة وظائف مدمجة لتقييم توزيع بواسون، وهي

من جهة ثانية، وهو مكافئ رياضيًا ولكنه مستقر عدديًا. يمكن الحصول على اللوغاريتم الطبيعي لوظيفة جاما باستخدام وظيفة lgamma في مكتبة C القياسية (إصدار C99) أو R، أو دالة gammaln في ماتلاب أو سي باي، أو دالة log_gamma في فورتران 2008 وما بعده.

إضافةً إلى ذلك، الحوسبة على سبيل المعطى و هي مهمة تافهة يمكن إنجازها باستخدام التعريف القياسي لـ من حيث الدوال الأسية والقوة والعاملة. ومع ذلك، فإن التعريف التقليدي لتوزيع بواسون يحتوي على مصطلحين يمكن أن يفيضان بسهولة على أجهزة الكمبيوتر: λ k و k ! . الجزء من λ k إلى k ! يمكن أن ينتج عنه خطأ تقريب كبير جدًا مقارنة بـ e −λ، وبالتالي يعطي نتيجة خاطئة. من أجل الاستقرار العددي، يجب تقييم دالة كتلة احتمالية بواسون على أنها

من جهة ثانية، مايكروسوفت إكسل: دالة بواسون (x, mean, cumulative)، مع علامة لتحديد التوزيع التراكمي ؛

آر لغة برمجة: وظيفة dpois(x, lambda) ؛

مثال

• قد يكون توزيع بواسون مفيدًا لنمذجة أحداث مثل
• عدد النيازك التي يزيد قطرها عن متر واحد والتي تضرب الأرض في السنة.
• عدد المرضى الذين يصلون إلى غرفة الطوارئ بين الساعة 10 و 11 مساءً.
• عدد فوتونات الليزر التي تصطدم بالكاشف في فترة زمنية معينة.

عام

من جهة ثانية، للحصول على قيم كبيرة بما فيه الكفاية لـ λ، (مثل λ> 1000)، التوزيع الطبيعي بمتوسط λ والتباين λ (الانحراف المعياري ) هو تقريب ممتاز لتوزيع بواسون. إذا كانت أكبر من نحو 10، فإن التوزيع الطبيعي هو تقريب جيد إذا تم إجراء تصحيح استمراري مناسب، أي إذا كان P (X ≤ x)، حيث x هو عدد صحيح غير سالب، يتم استبداله بـ P (X ≤ x + 0.5).

ومن جهة أخرى، لو وتوزيع ، شرطي على X = ك، هو توزيع ذي الحدين، ، ثم يتبع توزيع Y توزيع بواسون . في الواقع، إذا ، الشرطي على X = k، يتبع توزيعًا متعدد الحدود، ، ثم كل منهما يتبع توزيع بواسون المستقل .

علاوةً على ذلك، بشكل عام، إذا كانت X 1، X 2. . . X n هي متغيرات بواسون العشوائية المستقلة مع المعلمات λ 1، λ 2... λ n ثم

• لو و مستقلة، ثم الاختلاف يتبع توزيع سكيلام.
• لو و مستقلة، ثم توزيع على الشرطي هو توزيع ذو الحدين.
• على وجه التحديد، إذا ، من ثم .

علاوةً على ذلك، يمكن اشتقاق توزيع بواسون كحالة مقيدة للتوزيع ذي الحدين حيث أن عدد المحاكمات يذهب إلى اللانهاية والعدد المتوقع للنجاحات يظل ثابتًا - انظر قانون الأحداث النادرة أدناه. لذلك، يمكن استخدامه كتقريب للتوزيع ذي الحدين إذا كان n كبيرًا بدرجة كافية وكان p صغيرًا بدرجة كافية. هناك قاعدة عامة تنص على أن توزيع بواسون هو تقريب جيد للتوزيع ذي الحدين إذا كان n على الأقل 20 و p أصغر من أو يساوي 0.05، وتقريب ممتاز إذا كان n ≥ 100 و np ≤ 10-

وعلى صعيد آخر، توزيع بواسون هو حالة خاصة لتوزيع بواسون المركب المنفصل (أو توزيع بواسون المتلعثم) بمعامل فقط. يمكن استنتاج توزيع بواسون المركب المنفصل من التوزيع المحدود للتوزيع أحادي المتغير متعدد الحدود. وهي كذلك حالة خاصة لتوزيع بواسون المركب.

معطى . في الحقيقة،

Generate uniform random number u in

• [0,1].
• while u > s do:
• x ← x + 1.
• p ← p × λ / x.
• s ← s + p.
• return x.

λعدد حقيقي موجب

• (p(k : احتمال حصول الحدث k في T.
• هذا ما يدعى توزيع بواسون (أو قانون بواسون) ذا المعلمة λ.
• تعريفات

يتم إعطاء تحويل S بواسطة

في الحالة تلك .

الاستدلال الإحصائي

التقدير المتزامن لوسائل بواسون المتعددة

في هذه الحالة، يتم إعطاء عائلة من مقدر مينيماكس لأي و كـ

وفي هذا السياق، افترض هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة من مجموعة من توزيعات بواسون، ولكل منها معلمة و ، ونود تقدير هذه المعلمات. فيما بعد، أظهر Clevenson و Zidek أنه في ظل خسارة الخطأ التربيعية الطبيعية ، متي ، إذن، على غرار مثال شتاين للوسائل العادية، مقدر MLE غير مقبول.

بعض الخاصيات

من جهة ثانية، إذا كانتا X وY متغيران عشوائيان مستقلاّن يتبعان توزيع بواسون، الأولى مع المعلمة λ والثانية المعلمة μ فإنّ X+Y متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ذا المعلمة λ+μ.

• اقرأ كذلك
• نظرية الاحتمال
• توزيع احتمالي
• توزيع ثنائي الحدين
• توزيع احتمالي طبيعي

الأساليب الحسابية

كذلك، يطرح توزيع بواسون مهمتين مختلفتين لمكتبات البرامج المخصصة: تقييم التوزيع ، ورسم أرقام عشوائية حسب هذا التوزيع.

تاريخ

من جانب آخر، سيميون بواسون (1781-1840) ونشر مع نظريته الاحتمالية في عمله البحث في احتمالية الأحكام في المسائل الجنائية والمدنية (1837). عمل نظري حول عدد القناعات الخاطئة في بلد معين من خلال التركيز على متغيرات عشوائية معينة N التي تحسب، من بين أمور أخرى، عدد الأحداث المنفصلة (تسمى أحيانًا «الأحداث» أو «الوافدون») التي تحدث خلال فترة زمنية بطول معين. تم إعطاء النتيجة بالفعل في 1711 من قبل أبراهام دي موفر ف يقياس الشرط سواء كان احتمال النجاح في بعض الألعاب معلقًا بشكل عرضي. هذا يجعله مثالًا على قانون ستيجلر وقد دفع بعض المؤلفين إلى القول بأن توزيع بواسون يجب أن يحمل اسم دي مويفر.

كذلك، في سنة 1860، قام سيمون نيوكومب بتكييف توزيع بواسون مع عدد النجوم الموجودة في وحدة الفضاء. تم تطبيق عملي آخر لهذا التوزيع بواسطة لاديسلاوس بورتكيفيتش في سنة 1898 عندما تم تكليفه بمهمة التحقيق في عدد الجنود في الجيش البروسي الذين قتلوا عرضًا بركلات الحصان. أدخلت هذه التجربة توزيع بواسون في مجال هندسة الموثوقية.

علاقته بتوزيع الاحتمالات الطبيعي

وفي هذا الصدد، توزيع بواسون يبدي منحنى غير متماثل لقيم صغيرة لـ . وعندما تكون عددا كبيرا فإن منحنى بواسون سيؤول إلى توزيع احتمالي طبيعي mit und :

للحظات غير المركزية نحددها ، ثم

عندما هو الثابت المطلق أكبر من 0.

و

.

من جهة ثانية، ترتبط دالات التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع بالطرق التالية:

من جانب آخر، في ظل هذا التحول، التقارب إلى الحالة الطبيعية (مثل الزيادات) أسرع بكثير من المتغير غير المحول.  تحويلات أخرى، أكثر تعقيدًا قليلاً، لتثبيت التباين متاحة، أحدها هو تحويل أنسكومب. انظر تحويل البيانات (الإحصائيات) لمزيد من الاستخدامات العامة للتحولات.

و

وفي هذا السياق، إذا كان لكل ر > 0 عدد الوافدين في الفترة الزمنية [0، t ] يتبع توزيع بواسون بمتوسط λt، ثم يكون تسلسل أوقات الوصول بين المتغيرات المستقلة والأسية الموزعة بشكل متماثل لها متوسط 1 / λ .

search::505

Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.

init:

استدلال بايزي

إضافةً إلى ذلك، والخلفي يعني E [λ] يقترب تقدير أقصى احتمال في حدود ، والتي تتبع مباشرة من التعبير العام لمتوسط توزيع جاما.

ومن ناحية أخرى، في الاستدلال البايزي، يكون الاتحاد السابق لمعامل المعدل λ لتوزيع بواسون هو توزيع جاما. اسمحوا

إضافةً إلى ذلك، لاحقًا، بالنظر إلى نفس العينة من قيم n المقاسة k i كما كان من قبل، وقبل غاما (α، β)، يكون التوزيع اللاحق

من جهة ثانية، تشير إلى أن λ يتم توزيعها بحسب كثافة جاما g المحددة من حيث معلمة الشكل α ومعلمة المقياس العكسي β :

ومن جهة أخرى، التوزيع التنبئي اللاحق لملاحظة إضافية واحدة هو توزيع سالب ذي الحدين، يُسمى أحيانًا توزيع غاما-بواسون.

الرسم العشوائي من توزيع بواسون

• المهمة الأقل أهمية هي استخلاص أعداد صحيحة عشوائية من توزيع بواسون مع المعطى .
• يتم توفير الحلول من خلال:
• آر: وظيفة rpois(n, lambda) ؛
• مكتبة جنو العلمية (GSL): الوظيفة gsl_ran_بواسون

مع

إضافةً إلى ذلك، طريقة بسيطة لتوليد توزيع بواسون ثنائي المتغير هو أخذ ثلاث توزيعات بواسون مستقلة بالوسائل ثم ضبط . دالة الاحتمال لتوزيع بواسون ثنائي المتغير هي

من جهة ثانية، التوزيعات الهامشية هي بواسون (θ 1) وبواسون (θ 2) ومعامل الارتباط يقتصر على مجموعة

حساب (p(k

ومن ناحية أخرى، يقام حساب هذه الكمية نتيجة عن العمل بتوزيع ثنائي ذا المعلمتين (T ; λ/T). إذا اعتبرنا T كبيرا، فيمكن تبيين أن التوزيع الثنائي نهايته في اللانهاية هو توزيع بواسون.

• القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري
• القيمة المتوقعة لتوزيع بواسون هي λ
• تباين توزيع بواسون λ
• الانحراف المعياري لتوزيع بواسون هو

لحظات أعلى

كذلك، حيث تشير {الأقواس} إلى أرقام ستيرلنغ من النوع الثاني. معاملات كثيرات الحدود لها معنى اندماجي. في الواقع، عندما تكون القيمة المتوقعة لتوزيع بواسون هي 1، فإن صيغة دوبينسكي تقول إن اللحظة n تساوي عدد الأقسام لمجموعة من الحجم n .

كذلك، اللحظات الأعلى حول الأصل، m · k لتوزيع بواسون، هي توشارد كثيرات الحدود في λ: