توطئة إقليدس
المحتويات
على سبيل التعريف، توطئة إقليدس هي توطئة في الجبر ونظرية الأعداد تصف خاصية أساسية للأعداد الأولية وتحديدًا:
وفي هذا السياق، استعملت هذه الخاصية لإثبات مبرهنة الحساب الأساسية. واستعملت لتعريف العناصر الأولية، وهي تعميم للأعداد الأولية في الحلقات التبادلية العشوائية. توضح توطئة إقليدس أن العناصر غير القابلة للاختزال في مجموعة الأعداد الصحيحة هي كذلك عناصر أولية. يستعمل البرهان الاستقراء الرياضي لذا لا ينطبق على جميع المجالات التكاملية.
علاوةً على ذلك، كمثال، لو كان ، ، ، إذا ، وبما أن هذه القيمة قابلة للقسمة على 19، فبحسب التوطئة يكون أحد العددين 133 أو 143 أو كليهما قابلا للقسمة على 19. وبالفعل نجد أن .
تاريخ
وعلى صعيد آخر، ظهرت التوطئة لأول مرة كمبرهنة رقم 30 في الكتاب السابع من أصول إقليدس. وضمنيا هو جزء في أي كتاب يغطي نظرية الأعداد الأولية.
في هذا الإطار، ظهرت التوطئة في أطروحة جاوس Disquisitiones Arithmeticae، كمبرهنة إقليدس رقم 14 (القسم 2)، والني استعملها جاوس لإثبات تفرد ناتج تحليل عدد صحيح لعوامله الأولية (نظرية 16)، مقرا ببديهية هذا الأمر. ومن ثم يصل لتعميم الأعداد الأولية على الأعداد الصحيحة. لهذا السبب، يُشار أحيانًا لتعميم توطئة إقليدس باسم توطئة جاوس، ولكن يعتقد البعض أن هذا الاستخدام غير صحيح بسبب الخلط بينها وبين توطئة جاوس للبواقي التربيعية.
ومن ناحية أخرى، ظهر تعميم التوطئة للأعداد الصحيحة عام 1681 في كتاب جان برستيه Nouveaux Elémens de Mathématiques.
- براهين
- مثال
- مراجع
- انظر كذلك
صياغات التوطئة
عادة ما تستعمل توطئة إقليدس بالشكل التالي:
كذلك، يمكن تعميم توطئة إقليدس من الأعداد الأولية إلى أي أعداد صحيحة على النحو التالي.
وعلى صعيد آخر، هذا تعميم لأن العدد الأولي هو أولي نسبيا مع العدد الصحيح إذا وفقط إذا كان لا يقسم .
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟