ثابت أديباتي

الميكانيكا الكلاسيكية – متغيرات التآثر

وفي السياق ذاته، بما أن J يساوي تكامل دالة دورية على مدار فترة كاملة، إذًا فهو يعتمد على الطاقة فقط. وإذا كان كل من الهاميلتوني وJ ثابتًا مع الزمن فإن المتغير المرافق θ يزداد مع مرور الزمن بمعدل منتظم.

ومن ناحية أخرى، حيث يساوي معكوس الدورة  T. وهنا يزداد المتغير θ بمقادير متساوية مع كل دورة بالنسبة لجميع قيم J، أي أنه المتغير الزاوي.

وفي هذا الصدد، فلنفترض أن لدينا هاميلتوني يتغير مع مرور الزمن ببطء مثلما الحال في هزاز توافقي أحادي الأبعاد ذو تردد متغير:

إضافةً إلى ذلك، يتألف التآثر J من المساحة المُحددة بالمدار في فضاء الطور كما هو موضح بالعلاقة التالية:

ومن جهة أخرى، فمن الممكن أن نستعمل الثابت في تحويل المشتقات الزمنية على طول المدار إلى مشتقات جزئية بالنسبة إلى θ مع ثبوت الكمية J. وعن طريق مفاضلة التكامل الخاص بالكمية J بالنسبة إلى J نحصل على متطابقة تثبّت قيمة

علاوةً على ذلك، يعبر حد التكامل عن إجراء عملية قوس بواسون بين x وp. وتفضي تلك العملية بين أي كميتين مترافقتين (مثل x وp) إلى الواحد الصحيح في جميع الأنظمة الإحداثية القياسية. إذًا:

في الديناميكا الحرارية

علاوةً على ذلك، تُعرف التغيرات الأديباتية في الديناميكا الحرارية بأنها التغيرات التي لا تؤدي إلى زيادة الإنتروبيا، وهي تحدث بمعدل أبطأ بالمقارنة بالمقاييس الزمنية الأخرى المميزة للنظام، ولا يُسمح فيها بانتقال الحرارة إلا بين جسمين لهما نفس درجة الحرارة. وفي حالة النظم المعزولة لا تسمح التغيرات الأديباتية بتدفق الحرارة من النظام أو إليه على الإطلاق.

التمدد الأديباتي للغاز المثالي

حيث Γ هي دالة غاما.

كذلك، وبما أن جزيئات الغاز متطابقة تمامًا فسوف نقسم حجم فضاء الطور على ، وهو يعبرعن تباديل عدد N من الجزيئات.

ومن ناحية أخرى، بما أن كل جزيء غاز قد يشغل أي مكان بداخل الحجم V، إذًا فالحجم الذي يشغله الغاز بداخل فضاء الطور يساوي:

وعلى صعيد آخر، في حالة عدم انتقال أي حرارة إلى الغاز، يفقد الغاز جزءًا من طاقته بنفس مقدار الشغل المبذول. وطبقًا لتعريف الغاز المثالي فإن درجة حرارته تعتمد على متوسط الطاقة الحركية فقط ولا ليس على حجم الغاز. لذا فإن:

ومن جهة أخرى، إذن فالإنتروبيا ثابت أديباتي. يضفي الحد Nlog(N) خاصية الجمع التوزيعي للإنتروبيا، أي أن الإنتروبيا الخاصة بحجمين من الغاز مجتمعين تساوي مجموع إنتروبيا كل غاز بمفرده.

من جهة ثانية، نظرًا إلى أن حركة الجدران البطيئة تحافظ على التوزيع الحراري ثابتًا فإن احتمال وجود ضوء طاقته E وتردده f لا بد أن يكون بدلالة الكمية E/f فقط.

من جانب آخر، يعبر الرمز عن الحرارة النوعية للغاز عند ثبوت الحجم. وإذا كان التغير في الطاقة نتيجة للشغل المبذول على الجدران، تُعطى درجة الحرارة بالعلاقة التالية:

علاوةً على ذلك، ومع ذلك فلا يزال لدينا ما نتعلمه عن توزيع الاتزان من الديناميكا الحرارية وحدها مع تجاهل ميكانيكا الكم، فما زال مفهوم الثبوت الأديباتي الذي يربط بين صناديق ذات أحجام مختلفة قائمًا.

وفي هذا السياق، بالاستعانة بتقريب ستيرلينغ لدالة غاما وتجاهل العوامل التي تتلاشى عند افتراض قيمة كبيرة لـ N نحصل على:

ومن جهة أخرى، تعبر الكمية S في التفسير الجزيئي عن لوغاريتم حجم فضاء الطور الذي يحتوي على جميع حالات الغاز الذي يمتلك قدرًا من الطاقة E(T) ويشغل حيز V من الفراغ.

كذلك، لا يمكن اشتقاق تلك الدالة من الديناميكا الحرارية وحدها، ولذلك حاول وين أن يخمن شكلًا لتلك الدالة في حالة الترددات المرتفعة. اقترح وين أن متوسط الطاقة في أوضاع الترددات العالية مكتوم بواسطة معامل مشابه لمعامل بولتزمان. وهذه النتيجة لا تتوافق مع قيمة الطاقة المتوقعة في الفيزياء الكلاسيكية، وهي تساوي 1/2β بحسب مبدأ التوزع المتساوي، بل إنها نتيجة جديدة وغير مُبررة تتوافق مع البيانات المُستخلصة من الترددات المرتفعة:

وتكون الكمية الآتية:

وفي هذا الصدد، هي الثابت الأديباتي، وهو يرتبط بالإنتروبيا بالعلاقة التالية:

في هذا الإطار، إذا تمدد وعاء يحتوي على الغاز لحظيًا فلن تتغير درجة حرارة الغاز نظرًا إلى أن جزيئات الغاز لن تتباطأ على الإطلاق، إذ تحتفظ جميع الجزيئات بطاقتها الحركية رغم أنها تشغل حجمًا أكبر. أما إذا تمدد الوعاء ذاته بمعدل بطيء بحيث يظل قانون الغاز المثالي قائمًا في جميع الأوقات فسوف تفقد الجزيئات طاقتها بمعدل يتساوى مع معدل الشغل المبذول على جدران الوعاء المتمدد بحسب قانون حفظ الطاقة، ومقدار هذا الشغل يساوي حاصل ضرب ضغط الغاز في مساحة الجدران في مقدار إزاحة الجدران للخارج، أي حاصل ضرب الضغط في التغير في حجم الغاز كما هو موضح بالعلاقة التالية:

من جهة ثانية، وبما أن الحرارة النوعية للغاز أحادي الذرة تساوي 3/2، إذًا فالمعادلة السابقة هي نفس المعادلة الثرموديناميكية للإنتروبيا.

علاوةً على ذلك، يفضي جمع متوسطات الطاقة بالنسبة لجميع أوضاع الإشعاع الكهرومغناطيسي داخل تجويف ما إلى توزيع فين، وهو يصف التوزيع الثرموديناميكي للطاقة في غاز كلاسيكي من الفوتونات. يفترض قانون فين ضمنيًا أن الضوء (من ناحية إحصائية) يتكون من حزم ضوئية تتغير طاقاتها وتردداتها بنفس كيفية الغاز الكلاسيكي. وتتناسب إنتروبيا غاز فين مع الحجم مرفوعًا لأس N، حيث N هو عدد الحزم. ومن هنا نجد أن المعنى الإحصائي وراء إنتروبيا غاز فين هو عدد جميع المواقع الممكنة التي يمكن للفوتونات أن تشغلها.

قانون فين - التمدد الأديباتي لصندوق من الضوء

من جهة ثانية، ولكن من ناحية أخرى، ستنخفض طاقة الضوء عندما يتحرك الجدار مبتعدًا عن الضوء، فالضوء يبذل شغلًا على الجدار بواسطة الضغط الإشعاعي. ونظرًا إلى أن الضوء ينعكس على جدران الصندوق فإن مقدار هذا الضغط يساوي ضعف زخم الضوء الذي يساوي E/c. وبإمكاننا الحصول على معدل بذل الشغل عن طريق ضرب الكمية السابقة في السرعة:

ومن ناحية أخرى، تتجلى تلك الخاصية بوضوح في حالة الغاز أحادي الذرة حيث تُكتب معادلة الطاقة الخاصة به كالآتي:

من جهة ثانية، تزودنا المعادلة السابقة بعلاقة تفاضلية بين تغير الحرارة والحجم، ويمكن إجراء التكامل عليها لإيجاد الثابت. ولا يعدو الثابت kp كونه معامل تحويل وحدات يمكننا وضع قيمته بالواحد الصحيح عن طريق ضبط الوحدات لتصبح العلاقة كالآتي:

كذلك، وذلك يعني أن التغير في تردد الضوء يساوي الشغل الذي يبذله الضغط الإشعاعي على جدران الصندوق، إذ يتغير تردد الضوء المنعكس وطاقته بنفس النسبة:

وفي السياق ذاته، يمكن حساب تردد الضوء المرتد من جدران الصندوق عن طريق انزياح دوبلر عندما يتمدد الصندوق ببطء. إذا كانت الجدران لا تتحرك فسوف يرتد الضوء بنفس التردد. أما إذا كانت الجدران تتحرك ببطء فسوف يرتد الضوء بنفس التردد في الإطار الذي يكون فيه الجدار ساكنًا فقط، أما في الإطار الذي يظهر فيه الجدار مبتعدًا عن الضوء الساقط فسوف تتزحزح ترددات الضوء الداخل بعيدًا عن ترددات الضوء الخارج في اتجاه اللون الأزرق بمقدار يساوي ضعف معامل انزياح دوبلر (v/c) كما هو موضح بالعلاقة الآتية:

من جانب آخر، إذا تجاهلنا ميكانيكا الكم، فكمية الطاقة المُختزنة في المجال الكهرومغناطيسي الكلاسيكي داخل صندوق من الإشعاع في حالة الاتزان الحراري لانهائية. مبدأ التوزع المتساوي يقتضي بأن أوضاع المجال المغناطيسي تختزن كميات متساوية من الطاقة، وأن تلك الأوضاع لامتناهية. وهو أمر لا يُعقل من ناحية فيزيائية، إذ يعني هذا أن الطاقة تتسرب إلى الموجات الكهرومغناطيسية ذات الترددات المرتفعة مع مرور الزمن.

كذلك، تُمثل حركات الغاز الداخلية المختلفة مع الطاقة الكلية E في المعادلة السابقة سطح كرة عدد أبعادها يساوي 3N، ونصف قطرها يساوي ، وحجمها  Vيساوي:

الثبوت الأديباتي للكمية J

ومن جهة أخرى، حيث نصف قطر القطع الناقص على طول محور x يساوي ، بينما نصف قطر القطع الناقص على طول محور p يساوي . ومن خلال ضرب الكميتين السابقتين نحصل على المساحة . إذًا إذا حاولنا جذب بندول متذبذب إلى الداخل بحيث يتغير تردد ذبذبته بمقدار معين فسوف تتغير طاقته بنفس النسبة.

إضافةً إلى ذلك، في حالة عدم اعتماد H على الزمن تُصبح الكمية J ثابتة. وإذا كانت H تتغير مع الزمن ببطء يمكن حساب معدل تغير J عن طريق إعادة صياغة التكامل كالآتي:

وعلى صعيد آخر، يعتمد الهاميلتوني H على الكمية J فقط، وفي حالة الهزاز التوافقي البسيط:

من جانب آخر، طالما لم تتغير الإحداثيات J و θبشكل ملحوظ خلال دورة واحدة فإن ناتج هذا التكامل (باستخدام طريقة التكامل بالتجزئة) يساوي صفر. أي أنه في حالة التذبذبات الصغيرة يتلاشى تغير المساحة المُحددة بالمدار من الرتبة الصغرى. هذا هو نص مبرهنة الثبوت الأديباتي – أي أن متغيرات التآثر هي الثوابت الأديباتية.

وفي هذا السياق، في حالة الهزاز التوافقي تتساوى مساحة المدار في فضاء الطور في مستوى الطاقة E مع مساحة القطع الناقص المُعرف بالعلاقة الآتية:

وتُعطى المشتقة الزمنية لهذه الكمية بالمعادلة الآتية:

من جهة ثانية، وعن طريق استبدال المشتقات الزمنية بمشتقات المتغير ثيتا من خلال العلاقة ووضع نحصل على: