جبر ابتدائي
المحتويات
- أنظمة غير قابلة للحل
- ويتم تبسيطها إلى
- يتم تعريف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا
- عملية الجمع
- قوانين الجبر الابتدائي
- لأن
- وبضرب طرفى الأخيرة في نحصل على
- وكذلك نجد في المعادلة الثانية وهي
- إيجاد الحل بالحذف
- بتعويض
- المعادلات الخطية في متغير واحد
- حالات خاصة من أنظمة المعادلات الخطية
- والحل العام لهذه المعادلة يكون
- و بالتعويض
- وبالتعويض
- لأن
- خواص عملية الجمع
- إيجاد الحل بالتعويض
- أنظمة المعادلات الخطية
- ويتم تبسيطها إلى
- ومنها بالقسمة على تكون
- إذا كان إذن لأى رقم
- خواص عملية الضرب
بدايةً، الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأرقام. يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. في هذا المقال نتعرض للجبر الابتدائي بداية ببديهياته مرورا بخواص العمليات الجبرية وانتهاء بأنظمة المعادلات الخطية. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
أنظمة غير قابلة للحل
- يعمد المثال التالي على أبسط الأمثلة للأنظمة غير قابلة للحل
- وذلك بسبب أن المعادلة الثانية ليس لها حل.
- هناك أنظمة أخرى مثل
- عند إيجاد حل لهذا النظام نجد
ويتم تبسيطها إلى
ولتكون المعادلة الأولى وهي
إضافةً إلى ذلك، ولإيجاد قيمة في معادلتي النظام يتم تعويض قيمة في أي من معادلتي النظام.
يتم تعريف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا
وهكذا.
عملية الجمع
- أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه
- أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى
- وهكذا.
وعلى صعيد آخر، يتم تعريف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. فمثلا
قوانين الجبر الابتدائي
وفي هذا الصدد، يعتمد الجبر الابتدائى على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هي الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة. يعتمد الجبر الابتدائى كذلك على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد كذلك المولد الأساسي للجبر الابتدائي.
لأن
المعاكس الجمعى لرقم هو الرقم الذي يساوى مجموعهما الصفر.
في هذا الإطار، لذلك يتم تعريف المعاكس الجمعى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.
عملية الضرب
علاوةً على ذلك، وهكذا تتحول عملية الطرح إلى عملية جمع باستبدال العدد المطروح بمعاكسه الجمعى أو العدد سالب
وبضرب طرفى الأخيرة في نحصل على
وبالتعويض بما يساوى في المعادلة الأولى في النظام
وبجمع لطرفى هذه المعادلة نحصل على
وكذلك نجد في المعادلة الثانية وهي
نجد قيمة المتغيرين و وبتعويض قيمتهما في نجد أن:
إيجاد الحل بالحذف
- بضرب طرفى المعادلة الثانية في 2.
- بجمع المعادلتين نجد
- والآن نقسم الطرفين على 8
بتعويض
- نضع المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر مع تغيير الإشارة
- والآن نقسم الطرفين على 2
- ويتم تبسيطها إلى
المعادلات الخطية في متغير واحد
والآن نقسم الطرفين على
وفي هذا الصدد، الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هي تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فمثلا
وفي السياق ذاته، تعد المعادلة الخطية في مجهول واحد أبسط المعادلات على الإطلاق فهي تتكون من متغير واحد وبعض الثوابت العددية.
لتتبسط إلى
حالات خاصة من أنظمة المعادلات الخطية
وفي هذا الصدد، في المثال السابق تمكننا من إيجاد حل يحقق المعادلات الموصفة للنظام. ولكن توجد أنظمة أخرى ليس لها حلول إما لأنها غير قابلة للحل أو غير محددة.
والحل العام لهذه المعادلة يكون
وفي السياق ذاته، و يشترط لاستعمال هذه الطريقة ان يكون العدد (a) لا يساوي الصفر.
و بالتعويض
- اقرأ كذلك
- عملية الجمع
- عملية الطرح
- عملية الضرب
- عملية القسمة
- الجبر الخطي
- نظام المعادلات الخطية
وفي هذا الصدد، تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة صحيحة. السبب الرئيسى في عدم وجود حلول محددة لهذا النظام هو أن أحد المعادلتين يساوى الأخرى مضروبة في ثابت. وتدعى هذه المعادلات متوازية.
وبالتعويض
من جانب آخر، تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة غير صحيحة. إذا نتج عن هذا التعويض متساوية صحيحة يكون هذا النظام غير محدد.
- أنظمة غير محددة
- في المثال التالي
- بعزل يكون
لأن
- قوانين المتساويات
- إذا كان و إذن
- إذا كان إذن
- قوانين أخرى
- إذا كان و إذن
- إذا كان إذن لأى رقم
- إذا كان و إذن
المعاكس الضربى لرقم هو الرقم الذي يساوى حاصل ضربهما الواحد.
في هذا الإطار، وهكذا تتحول عملية القسمة إلى عملية ضرب باستبدال العدد المقسوم عليه بمعاكسه الضربى أو ما يسمى بمقلوب العدد
من جهة ثانية، لذلك يتم تعريف المعاكس الضربى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.
خواص عملية الجمع
وفي السياق ذاته، المحايد الجمعى (الصفر) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الجمع.
وعلى صعيد آخر، الجمع عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الجمع يساوى نفس النتيجة.
كذلك، [الجمع] عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الجمع لا يؤثر على النتيجة.
علاوةً على ذلك، الطرح عملية معاكسة للجمع.أي أن طرح أي رقم من رقم آخر يساوى الفرق بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.
من جهة ثانية، وهذا يعنى أن طرح الرقم من نفسه لابد أن يساوي المحايد الجمعى (الصفر).
إيجاد الحل بالتعويض
ويتم تبسيطها إلى
بطرح من طرفى المعادلة الثانية نجصل على
من جانب آخر، يعتمد هذا الحل على التعويض بالمعادلة المعبرة عن لاستنتاج قيمة ومن ثم التعويض بقيمة المستنتجة لإيجاد قيمة .
أنظمة المعادلات الخطية
وفي هذا السياق، يدعى نظام معادلات خطى في متغيرين. توجد طرق حل كثيرة لإيجاد قيم و التي تحقق المعادلتين المعرفتين للنظام منها الجبرى والهندسي.
في هذا الإطار، تسمى مجموعة من معادلات الخطية بالنظام. فمثلا معادلتين في متغيرين و
ويتم تبسيطها إلى
- وعند تعويض في نجد أن:
- الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هي كالتالى
- حيث هو المتغير و هم ثوابت عددية.
ومنها بالقسمة على تكون
وبالتعويض بقيمة في أي من معادلتى النظام تكون
إذا كان إذن لأى رقم
- إذا وجد متغيرين متساويين يمكن استبدال أحدهما بما يساويه الآخر.
- إذا كان و إذن (علاقة التعدي)
- إذا كان إذن لأى رقم
- إذا كان و اذن
- إذا كان و إذن
خواص عملية الضرب
كذلك، المحايد الضربى (الواحد) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الضرب.
كذلك، الضرب عملية توزيعية على الجمع. وهذا يعنى أن إجراء عملية ضرب على مجموع رقمين يساوى مجموع حاصل ضرب العدد مع كل من هذين العددين.
وفي السياق ذاته، الضرب عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الضرب يساوى نفس النتيجة.
كذلك، وهذا يعنى أن قسمة الرقم على نفسه لابد أن يساوى المحايد الضربى (الواحد).
من جهة ثانية، الضرب عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الضرب لا يؤثر على النتيجة.
وعلى صعيد آخر، القسمة عملية معاكسة للضرب.أي أن قسمة أي رقم على رقم آخر يساوى الفرق في تكرار الجمع بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟