جبر شامل

مقدمة

ومن ناحية أخرى، لذلك فإن المجموعة الصفرية 0-ary operation (أو nullary operation) يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من A أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل a.

x * (y * z) = (x * y) * z.

جبر تجريدي

وعلى صعيد آخر، يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج model theory نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات relationship)، يتم فيها الحديث عن بنى تستعمل معادلات فقط. من جهة أخرى البنى هي مثل البنى التي يتم تعريفها في التصانيف التي تملك جداء (نظرية التصنيف) محدد.

وفي هذا الصدد، العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين : (f(x،y،z أو

• f(x1،...،xn).
• يعمد بعض الرياضيين كذلك إلى تعريف عمليات لامنتهية infinitary مثل :
• ، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة complete lattice.

كذلك، أحد أمثلة البدهية التوزيعية للعملية الثنائية، هي التي تعطى بالمعادلة :

كذلك، بالمقابل العملية الأحادية 1-ary operation (unary operation) ببساطة عبارة عن دالة من A إلى A يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول ~x. العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية : x * y.

وفي السياق ذاته، من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة A مزودة بجموعة من العمليات على A. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على A تمثل دالة رياضية تأخذ n عنصر من المجموعة A وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من A.

وفي السياق ذاته، يقصد بكل بدهية أن تنطبق على جميع القيم التي يمكن ل x، y، وz أن تأخذها من ضمن المجموعة التي تم التعريف عليها : A.

كذلك، بعد تعريف العمليات، يمكن أن تحدد طبيعة الجبر عن طريق بدهيات axiom، وهي تأخذ في الجيبر الشامل شكل قوانين مساواة equational laws.

اقرأ كذلك