جذر نوني

تعريف وتدوين

بالنسبة لأغلب الأعداد، الجذر النوني هو عدد غير نسبي. مثلًا،

في هذا الإطار، كل عدد x ما عدا الصفر، إن كان حقيقيًا أو مركبًا، له عدد n من الجذور النونية المختلفة في مجال الأعداد المركّبة، وقد يكون من بين تلك الجذور جذور حقيقية موجبة أو سالبة، انظر الجذور المركبة في الأسفل. الجذر النوني للعدد 0 هو الـ 0.

وفي هذا الصدد، الجذر النوني لعدد ما x، حيث أن n هو عدد صحيح موجب، هو عدد r إذا رفعناه للقوة n نحصل على x:

وعلى صعيد آخر، لكل قيم n الزوجية يكون هنالك جذر نوني سالب لأي عدد موجب، بينما الأعداد السالبة ليس لها جذر نوني حقيقي. أما لقيم n الفردية فهنالك جذر نوني سالب لأي عدد سالب. مثلاً، العدد 2- له جذر خامس حقيقي، ، ولكن العدد 2- ليس له أي جذر سادس حقيقي.

من جانب آخر، كل عدد حقيقي موجب x له جذر نوني موجب واحد، ويكتب بالشكل التالي: . إذا كان n مساويًا لـ 2 يسمى هذا الجذر جذرًا تربيعيًا، ولا يكتب العدد 2 فوق علامة الجذر. يمكن كذلك كتابة الجذر النوني بالطريقة الأسية بالشكل الآتي: .

جذور تربيعية

علاوةً على ذلك، الجذران التربيعيان لعدد مركب هما دائمًا مضادان. مثلاً، الجذران التربيعيان للعدد 4- هما 2i و 2i-، والجذران التربيعيان للعدد i هما

وفي هذا السياق، تقابلنا الكميات التخيلية مرة أخرى عندما نبحث عن أكثر من جذر تكعيبي (أو من درجة أعلى) لعدد حقيقي موجب، فالعدد الحقيقي له جذر تكعيبي واحد في الأعداد الحقيقية (هو 1 نفسه) لكن العددان المركبان

كذلك، من الممكن كذلك التعامل مع الجذور المركبة للأعداد الحقيقية، فيرمز للجذر التربيعي للعدد بالرمز ، ويصبح

وفي السياق ذاته، هو الجذر التربيعي للعدد ، وهكذا، اصطلح على تسمية الكميات التي على الصورة حيث عدد حقيقي بالكميات التخيلية، وهي جذور الأعداد الحقيقية السالبة.

• هما كذلك جذران تكعيبيان للواحد، بوجه عام الأعداد
• هي جميعا جذور للواحد الصحيح من الدرجة
• انظر كذلك
• عدد جبري
• عدد لا كسري
• جذر أصم
• جذر عدد صحيح

الجذور المركبة

من جانب آخر، كل عدد معرّف فوق حقل الأعداد المركبة له n جذور نونية مختلفة.

مطابقات وخواص

وفي هذا السياق، لكل عدد موجب حقيقي يوجد جذر نوني موجب، وتنطبق عليه الخواص التالية:

إضافةً إلى ذلك، وعندما ننظر إلى الصيغة الأسية للجذور، يمكن أن نفهم الخواص التالية كذلك:

تاريخ

من جانب آخر، هناك تضارب في المعلومات حول أصل الرمز لعملية الجذر. بعض المصادر تشير أن الرمز استُعمل للمرة الأولى على يد الرياضياتيين العرب. أحد هؤلاء الرياضياتيين العرب هو أبو الحسن علي القلصادي (1421-1486) في الأندلس. يُقال أن رمز الجذر مستمدّ من الحرف ج، الحرف الأول من الكلمة جذر في اللغة العربية. بالرغم من ذلك، يؤمن بعض العلماء، ومن ضمنهم ليونهارد أويلر، أن أصل رمز الجذر هو الحرف r، الحرف الأول من الكلمة radix، «جذر» في اللغة اللاتينية والتي ترمز لنفس العملية الحسابية. وجد رمز الجذر للمرة الأولى في المواد المطبوعة وذلك بدون الخط العلوي (الخط الأفقي الذي فوق العدد داخل رمز الجذر) في كتابات بعنوان Die Coss من سنة 1525 للرياضياتي الألماني كريستوف رودولف.

الجذور من درجات أعلى

بالمثل يقال أن y هو جذر تكعيبي للعدد إذا كان

ويرمز للجذر التكعيبي بالرمز

في هذا الإطار، من السهل ملاحظة أن هي الجذر التكعيبي ل وأن هي الجذر التكعيبي ل و هي الجذر التكعيبي ل .

الجذور التربيعية

وفي هذا الصدد، الجذر التربيعي لعدد ما x هو العدد r الذي إذا ربّعناه نحصل على x.

في هذا الإطار، ولما كان مربع أي عدد حقيقي هو عدد حقيقي موجب فإن الأعداد السالبة لا توجد لها جذور تربيعية حقيقية. ومع ذلك لكل عدد سالب جذران تربيعيان مركبان. فمثلاً الجذران التربيعيان للعدد 25- هما 5i و 5i-، حيث أن i هو الجذر التربيعي للعدد 1-.

ومن جهة أخرى، لكل عدد حقيقي موجب يوجد جذران تربيعيان، أحدهما موجب والآخر سالب. مثلًا، الجذران التربيعيان للعدد 25 هما 5 و 5-.

الجذور التكعيبية

ومن ناحية أخرى، الجذر التكعيبي لعدد ما x هو العدد r الذي إذا كعّبناه نحصل على x.

علاوةً على ذلك، لكل عدد حقيقي x يوجد جذر تكعيبي واحد، ويكتب بالطريقة التالية: . مثلًا،

وفي هذا السياق، كل عدد حقيقي له جذرين تكعيبيين إضافيين مركبين (انظر الجذور المركبة في الأسفل).