حدسية غولدباخ

نتائج متحقق منها

من جانب آخر، لقد تم فحص حدسية غولدباخ لإيجاد مثال مضاد ولكن عبثا إذ أن ديسبوفيس (1855) فحص الحدسية لكل عدد أصغر من 10,000، وفي عام 1940 فحص بيبينغ الحدسية حتى العدد 100,000 بواسطة الحاسوب وعام 1964 بواسطة العالمين ستين وستين وصل الفحص حتى العدد وفي الأعوام التي تلت نجح جرانفيل ولون ورايلي بالوصول إلى وذلك كان عام 1989. وفي سنة 1998 توصل ديشوليرس رايلي وساوتر بالوصول إلى أما ريتشستاين وصل بفحصه حتى: .

حدسيات مماثلة

من جهة ثانية، حدسية غولدباخ الضعيفة: كل عدد فردي أكبر من 9 يساوي حاصل مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية. وكما تم ذكر هذا سابقا فإنه يمكن اشتقاق هذه الحدسية من الأولى، وقد تم برهنة هذه الحدسية عام 2013 .

مسائل معممة

ومن ناحية أخرى، طور العلمان هاردي وليتل-وود طريقة الدائرة للتعامل مع هذا النوع من المسائل وقد لاقت هذه الطريقة نجاحا باهرا حيث تم برهنة نظرية فينوجرادوف إذ أنها تعتبر تقدم هائل نحو برهنة الحدسية وذلك للتقارب بينهما.

علاوةً على ذلك، يمكن تعميم حدسية غولدباخ بشكل يسمح بدراسة مسألة أكثر شمولية بحيث هذه المسألة يمكن أن يتفرع منها مسائل أخرى هي كذلك مهمة:

إضافةً إلى ذلك، نظرية فينوجرادوف: إذا اخترنا أي أننا اخترنا مجموعة الأعداد الأولية الموجبة واخترنا حينها المسألة 1 تكون كالتالي: وهي تضم حسب نظرية فينوجرادوف كل الأعداد الفردية الكبيرة كفاية.

• مسألة 1: فلتكن مجموعة جزئية ل- وليكن عدد صحيح، ما هي المجموعة: .
• مسألة 2: فلتكن مجموعة جزئية ل- ، ما هي المجموعة: .
• يمكن اشتقاق مسائل مهمة من هذه المسائل وهي كالتالي:

علاوةً على ذلك، حدسية غولدباخ: إذا اخترنا أي أننا اخترنا مجموعة الأعداد الأولية الموجبة واخترنا حينها المسألة 1 تكون كالتالي: والتي حسب حدسية غولدباخ تضم كل الأعداد الزوجية أكبر من 2.

في الثقافة الشعبية

إضافةً إلى ذلك، وفي الدراما التلفزيونية "Lewis" حصل عالم رياضيات على جائزة فيلدز لعمله على حدسية غولدباخ.

علاوةً على ذلك، حتى يكتسب الكتاب Uncle Petros وحدسية غولدباخ الشهرة والذي كتبه أبوستولوس دوكسيادس، عرض الناشر البريطاني طوني فابر جائزة بقيمة 1000000 دولار لمن يبرهن الحدسية قبل أبريل 2002، الجائزة لم يحصل عليها أحد.

علاوةً على ذلك، وفي الكارتون «مغامرات جيمي نيوترون» قال جيمي في إحدى الحلقات أنه كان في وسط إيجاد برهان لحدسية غولدباخ.

• انظر كذلك
• كريستيان غولدباخ
• ايفان ماتفييفيتش فينوغرادوف
• غودفري هارولد هاردي
• صيغة كوشي التكاملية
• جون إيدنسور ليتلوود
• فيغو برون

من جانب آخر، وفي الفلم الإسباني " (La habitación de Fermat (2007" أعلن رياضياتي شاب أنه وجد برهان الحدسية.

كذلك، وفي الفيلم "(The Calculus of Love (2011" كان هناك أستاذ مهووس بإيجاد برهان للحدسية.

علاوةً على ذلك، وفي القصة القصيرة لإسحاق إسيموف "Sixty Million Trillion Combinations" يذكر فيها أن عالم رياضيات شك أن أعماله على حدسية غولدباخ قد سُرقت.

في هذا الإطار، وفي الفيلم الكوري "Perfect Number" أستاذ رياضيات كان مهووسا بإيجاد برهان للحدسية.

طريقة الدائرة

كذلك، الفكرة العامة لهذه الطريقة هي كالتالي: ل- عرف الدالة المنتجة التالية:

وبواسطة صيغة كوشي التكاملية:

وفي هذا الصدد، حيث أن منحنى طوله نهائي. والفكرة هي إيجاد طريقة بديلة لحساب التكامل وذلك لتقريب قيمة . وعندما يكون المنحنى دائري التكامل يمكن اختصاره لتكامل مجاميع أسية وهي الطريقة التي استعملها فينوجرادوف عام 1929.

من جهة ثانية، ولاحظ أن معامل في الدالة هو عدد طرق طرق كتابة بشكل حاصل جمع أعداد من المجموعة . ولكن من جهة أخرى هذا المعامل هو:

من جهة ثانية، هاردي وليتل وود (1921) في الأصل استعملا الطريقة لحلّ مسألة كتابة الأعداد الصحيحة بشكل مجموع أعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. لنفرض أن عدد الطرق لكتابة n بواسطة d أعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. وهذه الطريقة هي لتقريب قيمة عندما و- k كبير جدا بالنسبة ل-d.

• أمثلة
• 4=2+2
• 6=3+3
• 8=3+5
• 10=5+5=3+7
• 12=5+7
• 14=7+7=3+11
• 16=5+11=3+13
• 18=7+11=5+13
• 20=3+17=7+13
• 22=3+19=5+17
• 24=5+19=7+17
• 26=7+19=13+13

تاريخ

من جانب آخر، في عام 1995 نجح راميري ببرهنة نظرية أضعف من حدسية غولدباخ وهي تنص على أن كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع ستة أعداد أولية على الأكثر. وفي نفس العام نجح كانيكي بالتوصل لنظرية اقوى: إذا افترضنا نظرية ريمان حينها كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع خمسة أعداد أولية على الأكثر. ويمكن تقوية نظرية كانيكي للوصول حتى أربعة أعداد أولية بربطها مع مسألة فحص حسابية.

من جانب آخر، وبشكل واضح الحدسية الثانية يمكن اشتقاقها من الأولى وذلك لأنه يمكن كتابة كل عدد فردي بالشكل التالي: ، وقد عبّر أويلر عن إيمانه بصحة هذه الحدسية ولكنه لم يستطع أن يقدم برهانا، وقد تم فحص هاتين الحدسيتين على مر السنين بالطرق العددية مثال: شين موك كونج فحص الحدسية حتى العدد وقد وصل كل من لايت وفوريس وهاموند وروي إلى وفي عام 1998 وصل الحد إلى .

كذلك، وفي الخطاب المشهور في اجتماع كونغرس الرياضيات الذي أقيم في باريس عام 1900، أعلن هيلبرت 23 مسألة غير محلولة والتي يجب أن يعمل عليها الرياضياتيون في القرن ال-20 وقد تم ذكر هذه المسألة من ضمن المسائل، وفي سنة 1912 أعلن لاندو عن أربعة مسائل في نظرية الأعداد الأولية من ضمنها حدسية غولدباخ والتي لا يوجد لها حل وذلك ضمن خطابه في اجتماع كونغرس الرياضيات الخامس والذي عقد في كامبريج. في عام 1921 أعلن هاردي في خطابه أمام المجتمع الرياضياتي في كوبنهاغن أن المسألة ليست فقط من أصعب المسائل في نظرية الأعداد ولكن في كل الرياضيات.

كذلك، وفي عام 1937 نجح العالم الروسي فينوغرادوف في إزالة العلاقة مع نظرية ريمان الموسعة وذلك بواسطة «طريقة الدائرة» وأيضا بواسطة طريقته المبتكرة لتقريب المجموع الأسي على الأعداد الاولية (وهو ) ونجح ببرهنة ما تم سابقا بواسطة ليتيل-وود وهاردي ولكن دون الحاجة لنظريات ريمان.

في هذا الإطار، كل عدد فردي أكبر من 9 يساوي حاصل مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية.

كل عدد زوجي أكبر من 6 يساوي حاصل مجموع عددين أوليين فرديين.

من جانب آخر، وفي عشرينيات القرن العشرين حدث تقدم ملحوظ على المسألة حيث أن قبلها لم تكن هناك وسائل البتة لحل المسألة وقد تركز البحث على فحص الأعداد أوفي بعض الأحيان كتابة حدسيات جديدة مشتقة من الحدسية. وقد كانت الوسيلة الجديدة تسمى «طريقة الدائرة» وقد استعملها الرياضياتيان هاردي وليتل-وود في عام 1923 أن كل عدد فردي كبير هو مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية وتقريبا كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين فرديين وتم ذلك بافتراض أن حدسية ريمان الموسعة صحيحة. وقد كان الرياضياتي النرويجي برون بواسطة وسيلة الغربال عام 1919 قد توصّل إلى أن كل عدد زوجي كبير هو مجموع عددين بحيث أن كل منها يمكن تفكيكه ل-9 عوامل أولية على الأكثر، وفي 1930 نجح العالم الروسي لييف شنايرلمان بالتوصل إلى نظرية مهمة في نظرية الأعداد المتطرقة إلى المجاميع وهي: يوجد عدد c صحيح حيث كل عدد صحيح أكبر من 2 هو مجموع c أعداد أولية على الأكثر.

علاوةً على ذلك، وبعد تطورات عديدة على «وسيلة الغربال» التي طورها برون نجح العالم الصيني تشين جن رن في عام 1966 نجح بالتوصل إلى أن كل عدد زوجي هو مجموع عدد أولي وعدد آخر لديه عاملان أوليان على الأكثر.

ومن ناحية أخرى، في السابع من يوليو، عام 1742، كتب عالم الرياضيات ذو الأصل الألماني غولدباخ رسالة إلى أويلر جاء فيها: