حساب التفاضل هو فرع من فروع الرياضيات يندرج تحت حساب

على سبيل التعريف، حساب التفاضل هو فرع من فروع الرياضيات يندرج تحت حساب التفاضل التكامل (Calculus)، يختص بدراسة معدل تغير دالة ما (y = ƒ(x بالنسبة للمتغير المستقل (x). أول المسائل التي يعنى هذا الفرع الرياضي بدراستها هو الاشتقاق. مشتقة الدالة (y = ƒ(x عند نقطة ما تصف السلوك الرياضي والهندسي للدالة عند هذه النقطة أوعند النقاط القريبة جدًا منها، والمشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تساوي قيمة ميل المماس للدالة عند هذه النقطة، وبصفة عامة فإن المشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تمثل أفضل "تقريب خطي" للدالة عند هذه النقطة. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.

وفي السياق ذاته، تستعمل المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة. المعادلات التي تتضمن تفاضلات (مشتقات) تسمى المعادلات التفاضلية، وهي من المعادلات الأساسية والهامة في توصيف الظواهر الطبيعية. تظهر المشتقات في الكثير من مجالات الرياضيات كالتحليل العقدي، والتحليل الدالي، والهندسة التفاضلية، ونظرية القياس، والجبر المجرد.

إضافةً إلى ذلك، للتفاضل تطبيقات متعددة، ففي الفيزياء مثلا: المعدل الزمني للتغير في إزاحة جسيم متحرك هي سرعة الجسيم والمعدل الزمني للتغير في الإزاحة هو تفاضلها بالنسبة للزمن، أما تفاضل السرعة بالنسبة للزمن فيعطي العجلة، وللتفاضل أهمية كذلك في قوانين نيوتن فالقانون الثاني ينص على أن القوة هي المعدل الزمني للتغير في كمية التحرك (أي تفاضل كمية التحرك بالنسبة للزمن)، كذلك من تطبيقاته إيجاد معدل التفاعل لتفاعل كيميائي، وفي بحوث العمليات تحدد المشتقات أوالتفاضلات الطرق المثلى لتصميم المصانع ونقل المواد أو الخامات أو المنتجات.

من جانب آخر، عملية إيجاد المشتقات تسمى "التفاضل"، والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل تنص على أن التفاضل هو العملية العكسية للتكامل، تماماً كما تعد عمليتا القسمة والطرح عمليتين عكسيتين للضرب والجمع على التوالي.

طريقة الحل

نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلًا:
كمتغيرات:
Δس = س2 - س1
س1 = س2 - Δس
س2 = Δس + س1
ونفرض Δس = هـ

النهايات

مراجع

علاوةً على ذلك، إن المبدأ الأساسي لحساب التفاضل وكذلك لحساب التكامل المحدد يعتمد اعتمادا كبيرا على فكرة النهايات ولقد ابتدع كل من إسحاق نيوتن وجوتفريد ليبنتز العلاقة بين التفاضل والتكامل ومن ثم فإليهما يرجع الأساس في اكتشاف علم التفاضل والتكامل وتجدر الإشارة إلى أن جهودهما كانتا منفصلتان كل عن الآخر لذلك فقد ساهم كل منهما مساهمة كبيرة في اكتشاف وتطور هذا العلم.

ق(س2) - ق(س1)\س2 - س1 : س2---->س1

ق(س + هـ) - ق(س)\هـ : هـ----> صفر
ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج----> س1
مثال

أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س

وإذا أخذنا الاشتقاق (دس\دص) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير بحسب ص
أي أن س = أصع+وصك+...
إذن دص\دس تعبر عن ق(س)
وكذلك دس\دص يعبر عن ق(ص)
ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا.
..
مثال
إذا أردنا إيجاد دص\دس في الاقتران
ق(س) = س³+3س²-2س+4
قَ(س) = 3س²+6س-2
وهذا بحسب تعميم

أي أن س2---->س1

وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة
أي أن : Δس---->صفر
: س2---->س1

وفعلا مشتقة س² = 2س

وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:
ق(س) = أسع+ب س(ع-1)+...+ج
قَ(س) = (أ×ع)س(ع-1)+(ب(ع-1))س(ع-2)+...+0

المبدأ

من جهة ثانية، يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر على وجه التقريب وهذا هو الاشتقاق

إذ أن قاعدة الميل هي: Δص\Δس
إذن Δس تؤول إلى صفر
أي أن س2-س1---->صفر

أوجد مشتقة س2

وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)\هـ : هـ ----> صفر
ونعوض في المعادلة
س²+2س هـ+هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر
نحل المعادلة
س²-س²+هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر
هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر
2س+هـ : هـ---->صفر
2س

: س2---->س1

ومن جهة أخرى، بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر وتكتب صيغة الإشتقاق كالآتي:

كذلك، ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج كذلك أن المماس ليس مارا

والحل بالطريقة الجديدة

قَ(س) = 3س²(دس\دص)+6س(دس\دص)-2(دس\دص)

إضافةً إلى ذلك، وبما أن دس\دص= 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س²+6س-2

الاشتقاق الضمني

من جانب آخر، فتمثيل الاشتقاق يكون ب (دص\دس) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أسع+وسك+...

وفي هذا الصدد، هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في العلاقات التي لا تمثل اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.

أو يمكننا فرض س2 = ج

ونقوم بدلًا من كتابة ص بكتابة ق(س)

أي أن المعادلة النهائية هي:

حساب التفاضل