حساب القضايا
المحتويات
تعريفًا بالموضوع، في الرياضيات والمنطق، حساب القضايا هو نظام تُمثِّل القضايا بربط قضايا ذرية بواسطة روابط منطقية، إضافة إلى نظام للاستدلال والبرهان تُبرهَن به نظريات منطقية. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
التركيب
وفي هذا السياق، الروابط المنطقية: هناك الكثير من الروابط المنطقية المحتملة حسب الحاجة، نذكر منها أشهرها:
الأقواس: "(" و")".
من جانب آخر، يشير التركيب إلى جملة الرموز والتراكيب التي تُبنى بها القضية المنطقية، فضلًا عن مجموعة القواعد التي تحكم تسلسل وسلامة تركيب هذه الرموز. يشار إلى الرموز على أنها ذرية لأنها أساس بناء القضايا. مجموعة الرموز تسمى كذلك أبجدية النظام. تحتوي هذه الأبجدية على الرموز الآتية:
- ¬ : النفي.
- ∧ : الوصل.
- ∨ : الفصل.
- → (أو ← بالعربية): الاستلزام.
- ↔ : التكافؤ المنطقي.
- الرموز المنطقية: أي رمز، عادة:
- س
ع
ص1، ص2...
- أمثلة
- ¬ س
- س ∧ ع
- (س ∨ ع) ∧ ص
- س ← ع ∧ ص
كذلك، تربط الروابط المنطقية بين مختلف الرموز المنطقية، كما يمكن الفصل بين القضايا المركبة باستعمال الأقواس لإيضاح أو تغيير المعنى.
...
مثال: نظام الاستنتاج الطبيعي
المجموعة ج = ج1 ∪ ج2، و:
إضافةً إلى ذلك، المجموعة أ تحتوي على عدد محدود من الرموز التي يمكننا بها كتابة مثالنا، مثلا: أ = {س، ع، ص، د، م، ن}.
ج1 = {¬}
علاوةً على ذلك، نظام الاستنتاج الطبيعي من أشهر أنظمة حساب القضايا لبساطته وسهولة الاستنتاج به. نفرض أن ل = {أ، ج، ز، ي} حيث:
(س ← ع) ∧ ص
...
ج2 = {∧، ∨، ←، ↔}
مجموعة البديهيات الأولية ي فارغة.
وفي هذا السياق، مجموعة قواعد الاستنتاج تحتوي على عشر قواعد، كلها لا تتطلب افتراضات ما عدا القاعدة العاشرة. القواعد هي:
- قاعدة التضاد (Reductio ad absurdum): من س ← ع، س ← ¬ ع نستنتج ¬ س.
- قاعدة ازالة النفي المضاعف (Double negative elimination): من ¬¬ س نستنتج س.
- قاعدة الوصل (Conjunction introduction): من س وع نستنتج س ∧ ع.
- قاعدة ازالة الوصل (Conjunction elimination): من س ∧ ع نستنتج س.
- قاعدة الفصل (Conjunction introduction): من س نستنتج أن س ∨ ع.
- قاعدة ازالة الفصل (Conjunction elimination): من س ∨ ع، س ← ص وع ← ص نستنتج ص.
- قاعدة التكافؤ (Biconditional introduction): من س ← ع وع ← س نستنتج س ↔ ع.
- قاعدة إزالة التكافؤ (Biconditional elimination): من س ↔ ع نستنتج س ← ع وع ← س.
- قاعدة الاستلزام (Modus ponens): من س وس ← ع نستنتج ع.
في هذا الإطار، قاعدة البرهان الشرطي (Conditional proof): إذا أمكننا برهان ع بفرض س، نستنتج أن س ← ع.
وصف رياضي عام لحساب قضايا
ج = ج0 ∪ ج1 ∪ ج2 ∪..
ج1 = {¬}
حساب القضايا هو نظام ل حيث ل = {أ، ج، ز، ي} و:
ومن ناحية أخرى، عادة تحتوي كل مجموعة على الروابط المنطقية التي تأخذ عددا معينا من الرموز المنطقية، فيكون:
علاوةً على ذلك، ج هي مجموعة من الروابط المنطقية. يتمّ أحيانا تقسيم المجموعة ج إلى مجموعات جزئية بحيث يكون:
ج0 = {1، 0} (تعتبر الصحة والخطأ روابطا منطقية).
ومن ناحية أخرى، أ هي مجموعة منتهية من الرموز المنطقية (أو المتغيرات المنطقية). تمثل هذه المجموعة القضايا الذرية ويرمز لها عادة بـ: س، ع، ص...
قضايا ذات تركيب صحيح
))
س ع
كذلك، القضايا ذات التركيب الصحيح هي قضايا مركّبة بطريقة موافقة لقواعد التركيب. كل القضايا السابقة هي قضايا ذات تركيب صحيح، لكن القضايا التالية لها تركيب خاطئ ولذا لا يمكن استعمالها في حساب القضايا والبرهنة:
ج2 = {∧، ∨، ←، ↔}
ز هي مجموعة قواعد التحويل أو قواعد الاستنتاج.
ي هي مجموعة النقاط الأساسية التي تسمى بديهيات.
الروابط المنطقية
ومن ناحية أخرى، الرابط 1 و 16 هما تمام الصحة وتمام الخطأ على الترتيب مهما كان س وع وهما بذلك غير مفيدان.
وفي السياق ذاته، بناء على كل جداول الحقيقة الممكنة بين قضيتين يمكن تركيب 16 رابطا منطقيا ممكنا، وهي كلها موضحة في الجدول التالي:
من جانب آخر، يظهر من هذه القائمة ان الروابط 1، 4، 6، 11، 13 و 26 غير مفيدة. تبقى الروابط العشر الأخرى التي تأخذ معناها من معنى س وع معا، ولأنه يمكن كتابة هذه الروابط بطرق مختلفة فإنه يتم عادة اعتبار مجموعة أقل من الروابط كما تمّ مسبقا (النفي، الوصل، الفصل، الاستلزام والتكافؤ المنطقي). يمكن اعتبار أي رابط آخر برمز مناسب عند الحاجة (مثلا: س + ع كرمز للفصل الحصري، وهو الرابط 10).
كذلك، الرابط 7 هو الاستلزام المزدوج س ↔ ع والرابط 10 هو نفيه ¬(س ↔ ع)، وأحيانا يسمّى هذا بالفصل الحصري (Exclusive or أو XOR).
ومن جهة أخرى، بناء على كل جداول الحقيقة الممكنة بين قضيتين يمكن تركيب 16 رابطا منطقيا ممكنا، وهي كلها موضحة في الجدول التالي:
الرابط 8 هو الوصل س ∧ ع والرابط 9 هو نفيه ¬(س ∧ ع).
- الرابط 4 هو س، والرابط 13 هو نفي س، كذلك الأمر مع ع والرابطين 6 و 11.
- الرابط 2 هو الفصل: س ∨ ع، والرابط 15 هو نفيه.
- الرابط 5 هو الاستلزام س ← ع والرابط 3 هو معاكسه أي س → ع (لاحظ اتجاه السهم).
- الرابط 12 هو نفي الاستلزام ¬(س ← ع) والرابط 14 هو نفي معاكسه ¬(س → ع).
المعاني
ومن جهة أخرى، بالمعاني (semantics) يلصق حساب القضايا معان للتراكيب المختلفة. في حساب القضايا كل قضية تشير إلى جملة تكون صحيحة أو خاطئة. فمثلا لنفرض القضايا التالية:
- «الشيوعية نظام معقول»: نفرضها أنها غير صحيحة، ونرمز لها بالرمز س، أي س خاطئة.
- «يعمل إداريوا الموسوعة بجد»: نفرض أنها صحيحة، ونرمز لها بالرمز ع، أي ع صحيحة.
- «الحياد المطلق هدف مستحيل»: نفرض أنها صحيحة، ونرمز لها بالرمز ص، أي ص صحيحة.
وفي السياق ذاته، و كذلك القضية ص ∧ ع هي قضية صحيحة، بناء على معنى القضيتين ورابط الوصل.
وعلى صعيد آخر، تكون إذن القضية ¬ س قضية صحيحة، فقد ألصقنا معنى لهذه القضية بناء على معنى القضية س الخاطئة ومعنى رابط النفي ¬.
س ←
....
) س ← ع)
البرهنة في نظام القضايا
ومن ناحية أخرى، يوضح الجدول التالي برهانا للقضية س ← س، حيث تظهر خطوات البرهان سطرا بسطر:
وفي هذا السياق، يمكن برهنة صحة أو عدم صحة القضايا باستعمال حساب القضايا، حيث يتم استنتاج ذلك حسب تعريف حساب القضايا وباستعمال قواعد التحويل في خطوات تسمى استنتاجات أو تحويلات.
إضافةً إلى ذلك، تُقرأ س ┤ س ك: «لنفرض س، إذن س»، وتُقرأ ┤ س ← س ك: «لنفرض لاشيئ، إذن س تستلزم س».
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟