حساب المثلثات

تعريف الدالة المثلثية بالأعداد المركبة

أنظر صيغة أويلر وصيغة دي موافر.

كذلك، يمكن تعريف الدوال المثلثية بطريقة أخرى غير طريقة حساب المثلثات، وهي طريقة باستخدام الحساب والمتتاليات اللانهائية . ومع تلك التعريفات يمكن صياغة الدوال المثلثية بالأعداد المركبة . ومن مميزات الدوال الأسية المركبة أنها تستعمل كثيرا في الهندسة الكهربائية وحسابات التيار المتردد والمحركات الكهربائية وكذلك في علم الفلك.

قانون الجيب

قانون الجيب من أجل مثلث معين ما ينص على ما يلي:

حيث هي مساحة المثلث و R هو شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث.

التاريخ

إضافةً إلى ذلك، كان عالم الرياضيات الهولندي جيما فريزيوس هو أول من وصف طريقة التثليث و التي ما زالت مستعملة في الوقت الحالي في علم المساحة.

وفي السياق ذاته، كان لعمل عالمي الرياضيات جيمس جريجوري وكولين ماكلورين الاسكتلنديين تأثيراً كبيراً في تطور المتسلسلات المثلثية. الأول منهما عاش في القرن السابع عشر والثاني في الثامن عشر.

وعلى صعيد آخر، يعتبر العلامة الفارسي نصير الدين الطوسي أول من اعتبر الحساب المثلثي فرعا مستقلا عن علم النجوم.

في هذا الإطار، كان عالم الرياضيات السويسري ليونهارت أويلر أول من أقحم الأعداد المركبة في علم المثلثات.

علاوةً على ذلك، وصلت معرفة الدوال المثلثية إلى أوروبا الغربية من خلال الترجمات إلى اللاتينية لأعمال كل من بطليموس وأعمال علماء الفلك الفرس والعرب من أمثال نصير الدين الطوسي والبتاني.

في هذا الإطار، يعتبر القدماء المصريين أول من عمل بقواعد حساب المثلثات، إذ استعملوها في بناء الأهرامات وبناء معابدهم. لكن قليل من الموروث عنهم في هيئة مخطوطات، ومنها أن عرّّفوا مساحة الدائرة بكونها مساوية لتسعة أعشار مساحة المربع المحيط بها المماس لها من أربع أضلاع. وترجع معرفتنا بحساب المثلثات إلى الإغريق الذين وضعوا قوانينها، ومن أهمها هي القائمة والحادة والمنفرجة.

نظرة عامة

من جهة ثانية، تنطبق التعريفات السابقة على الزوايا بين 0 و 90 درجة (بين صفر و π/2 راديان). وباستخدام دائرة الوحدة يمكن حساب الدوال المثلثية للزوايا الدائرية بين 0 و 360 درجة . في تلك الحالات يمكن أن يكون الضلع a موجباً أو سالباً (انظر دالة مثلثية). الدوال المثلثية هي دوال دورية (تتكرر بانتظام)، ولها دورة مقدارها 360 درجة أو 2π راديان. أي أن احداثياتها تتكرر من دورة لدورة . ويمكن لظل الزاوية أو ظل تمام الزاوية أن يصل إلى الصفر عند 180 درجة أو عند 360 درجة.

ومن ناحية أخرى، في المثلث القائم المبين في الشكل، يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز h. فيكون تعريف خواص الزاوية A كالآتي:

• sin ، جا : جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(h/a)
• cos ، جتا: جيب تمام الزاوية A = طول الضلع المجاور / الوتر (h/b)
• tan ، ظا : ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).

ظل تمام الزاوية A

قا (قاطع) الزاوية = (مقلوب الجتا)

قاطع تمام (قتا) = (مقلوب الجا)

في هذا الإطار، هذا بخصوص حساب المثلثات المستوية. وهناك فرع لا يقل أهمية عنه وهو حساب المثلثات على السطح الكروي، وهذا الفرع مهم بصفة خاصة في الفلك وفي الملاحة.

من جانب آخر، بهذا نكون قد عرفنا التوابع(الاقترانات) المثلثية للزوايا من 0 إلى 90، من الممكن توسيع هذا التعريف ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام دائرة الوحدة.

من جانب آخر، عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من الجداول أو الآلة الحاسبة) ومعرفة قيم ضلع وزاويتين أو ضلعين وزاوية أو ثلاثة أضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام أو قانون ظل الزاوية .

صيغة أويلر

• صيغة أويلر بما أنها تنص على أن ، تعطي النتائج التالية:
• انظر كذلك
• دوال مثلثية
• موجة جيبية
• قائمة المتطابقات المثلثية
• دائرة وحدة
• استعمالات حساب المثلثات

صيغ عامة للدوال المثلثية

هناك حالة خاصة في حالة حساب جيب تمام الزاوية إذا كان 1 و0.

تطبيقات

وفي السياق ذاته، لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة؛ منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق، وفي صناعة المحركات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب المسافات الجغرافية والفلك، وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.

انظر إلى التثليث.

.

تمثيل تيار متناوب بدائرة وحدة

في هذا الإطار، هذا الشكل المتحرك يوضح حساب موجة جيبية بواسطة دائرة وحدة. الموجة الجيبية يمكن أن تمثل تيارًا مترددًا.

قانون الجيب التمام

وفي السياق ذاته، قانون جيب التمام هو امتداد لمبرهنة فيتاغورس حيث تبقى هذه المبرهنة صحيحة مهما كانت طبيعة هذا المثلث على عكس مبرهنة فيتاغورس التي تكتفي بالمثلثات قائمة الزاوية. تنص هذه المبرهنة على مايلي: