حساب مقاسي
قبل الخوض في التفاصيل، في الرياضيات وبالتحديد في مجال النظرية الجبرية للأعداد، الحساب المقاسي أو الحساب المحدود أو حساب البواقي أو الحسابيات المقاسية هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من القسمة الإقليدية. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
إضافةً إلى ذلك، ترتكز الحسابيات المقاسية أساسا على النظر إلى باقي قسمة الأعداد الطبيعية على عدد طبيعي معين ثابت ما، بدلا من النظر إلى هذه الأعداد ذاتها. يظهر هذا جليا في مثال حسابيات المنبه، الذي يوافق حالة n=12 : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشرة ساعة، وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13.
مبرهنة أويلر
مبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)
مبرهنة فيرما الصغرى، حالة خاصة من مبرهنة أويلر
استعمالات
- التاريخ
- الأصول الأولى
- الظهور في أوروبا
- الطرق المستعملة
- مساهمات كارل فريدريش غاوس
- القرن العشرون
- التعمية
- نظرية المعلومات
- وسائل الحسابيات المقاسية
وفي السياق ذاته، في الرياضيات الأساسية، هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوظيف الأكثر استعمالا هو المبرهنة الجبرية للأعداد، التي تتضمن مجالا أكثر توسعا، تتضمن مثلا مفاهيم الأعداد الجبرية ومبرهنة غالوا.
وفي هذا السياق، في الرياضيات التطبيقية, لهذه العبارة استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات نظرية المعلوميات كالتشفير ونظرية الترميز والمعلوميات. لعدد من الأدوات وخوارزميات داخل هذا المجال نجد اختبار أولية عدد ما والتفكيك إلى جداء عوامل أولية، استعمال مميزات مجموعة مثلا بالنسبة لتحويل فوريي المتقطع أو دراسة الخارج أو الخاصة بالأعداد الطبيعية, كما في الدوال الحدودية.
حروف دركليه
وفي هذا الصدد، درس دركليه الأعداد الأولية اللائي يأخذن الشكل n + λm حيث m و n عددان أوليان فيما بينهما وحيث λ عدد طبيعي ما. فحاول البرهان على أن هناك عددا غير منتهي من هذه الأعداد الأولية.
أساسيات
- حيث الصيغة تعني أكبر عدد صحيح أصغر أو يساوي
- يرمز إلى عملية حساب باقي القسمة ب mod حيث نكتب وبالتالي:
- أمثلة:
- نقول عن عددين صحيحين و بانهما متوافقان بقياس إذا تحقق ونرمز لذلك بـ
- خصائص عملية حساب باقي القسمة
- إذا و إذا كان فقط
- خصائص الحسابيات المقاسية
- انظر كذلك
- حقل منته
- مبرهنة الباقي الصيني
- نظرية الأعداد
- زمرة دائرية
في هذا الإطار، تعتبر الحسابيات المقاسية نظاما حسابيا للأعداد الصحيحة يعتمد على تكرار الأعداد بشكل نمطي لدى بلوغها قيمة نمطية معينة تسمى مقاس، وهي تـُـخـْـتـَـزَل بالتعبير . مرتبط بذلك الرياضياتيون يتكلمون عن «تطابق» (congruency) .
من جهة ثانية، على فرض لدينا عدد صحيح موجب وعدد صحيح فإننا بقسمة على نحصل على عدد صحيح هو ناتج القسمة وعدد صحيح هو باقي القسمة بحيث يحققان العلاقة التالية:
تساوي عددين بتردد عدد ثالث
الأعداد الصحيحة الجبرية
من جهة ثانية، الحسابيات المقاسية، في حالة لم يكن الترديد عددا أوليا ، أكثر تعقيدا. مبرهنة الباقي الصيني تسمح بتنوير البنية. الحلقة غير داخلية, حيث يوجد قواسم الصفر, وهي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة مؤشر أويلر. وهي تتيح مثلا, تعميم مبرهنة فيرما الصغرى.
علاوةً على ذلك، بالنسبة لكارل فريدرش غاوس فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة, والمسماة حلقة ل تقارب ورمزها Z/nZ. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع, الذي يعرف بزمرة دائرية ذات المولد 1 ; ثم عملية الضرب, المستقل عن خصائص التطابق (congruency) . إذا كان هذا عددا أوليا, نحصل على حقل . هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب Disquisitiones arithmeticae تبع الرياضياتي الألماني غاوس هما مبرهنة ويلسون والبرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى.
في هذا الإطار، للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة, علينا التأكد من كون عمليـّـتي الجمع والضرب متكافئة مع تعريفهما.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟