حقل (رياضيات)

نظرية غالوا

تعتبر من أهم نظريات الجبر. انظر إلى امتداد جبري.

الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة

وعلى صعيد آخر، مجموعة الأعداد الحقيقية مزودةً بعمليتي الجمع والضرب المعتادتين تمثل حقلا.

الحقول الجزئية والحقول الأولية

وفي هذا الصدد، إذا كان مميز الحقل هو عدد أولي فإن الحقل الأولي له يمثل تشاكل للحقل المنتهي (الذي سيعرف لاحقا)، ويكون الحقل الأولي تشاكل لحقل الأعداد النسبية فيما عدا ذلك.

وعلى صعيد آخر، يقال لأي حقل أنه حقل أولي (prime field) إذا كان لايحتوي على أي حقل جزئي فعلي منه. أي حقل يحتوي على حقل أولي.

ومن جهة أخرى، جميع تشاكلات الحقل هي دوال متباينة. وإذا كانت الدالة شامله فإنها تكون متماثلة ونقول في هذه الحالة أن الحقلين و متماثلين.

• بصيغة أخرى، فإن ولكل فإن العناصر و و و هم عناصر في .
• يعرف تشاكل الحقل بإنه دالة بين حقلين تحقق الشروط التالية لكل عنصرين اختياريين
• .

من جانب آخر، نعرف حقل جزئي من الحقل بأنه مجموعة جزئية من والذي يمثل حقل بالنسبة للعمليات المعرفة بالحقل . وهذا يعني أن المجموعة الجزئية من تحتوي على وتحقق خاصية الانغلاق بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب وتحتوي على المعكوس الجمعي والمعكوس الضرب لجميع العناصر الغير صفرية.

حقل ذو أربع عناصر

في هذا الإطار، فضلًا عن جمع أنظمة الأعداد المعروفه كالأعداد النسبية، يوجد نوع آخر ويمكن أثبات أنه يمثل حقل. المثال التالي يتكون من أربع عناصر هي . تم أختيار هذه الرموز بحيث أن العنصر يلعب دور المحايد الجمعي و يمثل المحايد الضربي. يمكن التحقق من مسلمات الحقل باستخدام بعض نظريات الحقل أو مباشرة ببعض الحسابات. مثلا

والتي تكافئ كما هو مطلوب بخاصية التوزيع.

كذلك، يسمى هذا الحقل بحقل منتهي بأربع عناصر ويرمز بالرمز أو . المجموعة الجزئية المكونه من و (المضلله بالأحمر في الجدول المرفق) تمثل كذلك حقل والذي يعرف بالحقل الثنائي أو . في علوم الحاسب وجبر بولياني غالبا مايستعمل الرمزين و للدلالة على الخطأ والصواب على التوالي.

(F,+ , .) هو حلقة تبديلية

وفي هذا الصدد، افرض ان a+ b 3 F حييث a , b ليس كلاهما صفر كذلك a,b Q تحت هذا الشرط وبخلافه يكون 3 نسبيا

وفي هذا الصدد، (. , + , F) كل عنصر غير صفري ينتمي إلى F له معكوس ينتمي إلى F

حلقة لها محايد ضربي هو " 3 0 + 1 = 1 ومحايد جمعي هو 3 +0 =0

وعلى صعيد آخر، بما أن و كليهما عددان نسبيان فإن المعكوس الناتج ينتمي إلى F.

تاريخ

كذلك، استعمل مفهوم الحقل بصفة ضمنية (أي بصفة غير مباشرة) عالما الرياضيات نيلس هنريك أبيل وإيفاريست غالوا في عملهما حول قابلية حلحلة معادلات متعددات الحدود بمعاملات جذرية وبدرجات تساوي الخمسة أو تفوقها.

وفي هذا السياق، في سنة 1857، نشر كارل فون شتاوت عملا له احتوى على نموذج هندسي يحقق الموضوعات اللائي يعرفن حقلا في شكله العصري.

إستنتاجات من تعريف الحقل

ومن ناحية أخرى، من التعريف لدينا و . أي أنه من الممكن اختصار رمز المعكوس الجمعي لأي عنصر باستخدام الرقم . إذا كان فإنه إما أو . وفي حالة و نستنتج أن

وهذا يعني أن كل حقل هو مجال متكامل.

انظر عدد قابل للإنشاء وإلى مبرهنة طاليس

في هذا الإطار، ليست كل الأعداد الحقيقية قابلة للإنشاء. فمثلا العدد هو غير قابل للإنشاء، بمعنى أنه لايمكن تمثيل ضلع بمكعب حجمه يساوي استخدام الفرجار والمسطرة.

من جانب آخر، في العصور القديمة، تهتم الكثير من المسائل الهندسي بمدى قابلية إنشاء أو تمثيل أعداد معينه باستخدام الفرجار والمسطرة. فمثلًا لم يكن معروفا لدى اليونانيين استحالة إيجاد ثلث زاوية معطاه بهذه الطريقة. لكن تم الآن حل مثل تلك المسائل مع وجود مايسمى بالأعداد قابلة للإنشاء. تعرف الأعداد الحقيقية القابلة للإنشاء بأنها أطوال لقطع مستقيمة بالاستعادة بنقاط الفتة من إلى بعدد من الخطوات المحددة فقط باستخدام الفرجار والمسطرة. وبالإمكان استخدام عمليات حقل الأعداد الحقيقية بحصرها على الأعداد الإنشائية والتي تمثل حقل فعلي جزئي من حقل الأعداد النسبية . بالشكل الموضح هنا مثال يوضح أنه ليس بالضرورة أن عملية إنشاء الجذور التربيعية للأعداد الإنشائية تنتمي للمجموعة . التسمية الموجودة بالشكل تبين القطع المستقيمة و ونصف الدائرة التي مركزها عندي النقطة وقطرها التي يتعامد عليها النقطة بالزاوية القائمة عند وبمسافة قدرها عندما يكون طول الضلع يساوي واحد.

الأعداد المركبة تتكون من أعداد بالصيغة

الأعداد القابلة للإنشاء

ومن جهة أخرى، حيث و أعداد حقيقية و تمثل وحدة الجزء التخيلي وهو عدد غير حقيقي يحقق الشرط . تعرف عمليتي الجمع والضرب للأعداد المركبة بنفس عمليتي الجمع والضرب المعرفتين على الأعداد الحقيقية بشرط تحقيقها لشروط الحقل على مجموعة الأعداد المركبة. مثلا، خاصية التوزيع تحقق التالي:

.

الزمرة الجمعية وزمرة الضرب للحقل

من جانب آخر، يشترط بالحقل أن يكون وذلك لأن العنصر هو عنصر وحدة لزمرة لاتحتوي على . فبالتالي الحلقة التافهه التي تحتوي على عنصر واحد فقط لاتمثل حقل.

كل زمرة جزئية منتهية من زمرة ضربية لحقل هي زمرة دائرية.

وفي السياق ذاته، نسنتنتج من مسلمات الحقل أن الحقل هو زمرة إبدالية مع عملية الجمع. هذه الزمرة تسمى زمرة جمعيه للحقل والتي يرمز لها أحيانا بالرمز للحقل .

وفي هذا السياق، بالمثل، تمثل عناصر الحقل غير الصفرية زمرة إبدالية مع عملية الضرب والتي تسمى زمرة ضربية. يرمز لهذه الزمرة بالرمز أو اختصارا بالرمز .

تعريف آخر

من جهة ثانية، يمكن تعريف الحقل بطريقة أخرى لكن له نفس المعنى. فمن الممكن تعريف الحقل بواسطة أربع عمليات ثنائية: الجمع والطرح والضرب والقسمة بخواصها المطلوبة. مستبعد من هذا التعريف القسمة على الصفر. من أجل تجنب مشكلة الوجود، يمكن تعريف الحقول بواسطة عمليتين ثنائيتين (الجمع والضرب) وعمليتين أحاديتين (وهما العمليات المعاكسة للجمع والضرب) وأيضا عمليتي المحايد (nullary ) للعنصرين الثابتين و . هذه العمليات تخضع كذلك للشروط المذكوره أعلاه. تجنب معايير الوجود مهمه في الرياضيات البنائية والحوسبة. ممكن كذلك تعريف الحقل باستخدام نفس العمليتين الثنائيتين وعملية أحادية واحدة (المعكوس الضربي) وعنصرين ثابتين هما و لأن و .

أمثلة

تعريف

من جهة ثانية، المعكوس الضربي: لكل عنصر غير صفري في يوجد عنصر في يرمز له بالرمز (أو ) يسمى بالمعكوس الضربي بشرط أن .

من جهة ثانية، يمكن تلخيص ذلك كما يلي: الحقل هو مجموعة مزودة بعمليتين الجمع و الضرب ،(ليس بالضرورة الجمع و الضرب الاعتياديين ) وهو زمرة تبادلية بالنسبة لعملية الجمع والعنصر هو المحايد الجمعي وكل العناصر غير المنعدمة تمثل زمرة تبادلية بالنسبة لعملية الضرب وله العنصر المحايد الضربي . وأيضا يحقق خاصية توزيعية الضرب على الجمع.

وفي هذا السياق، بصيغة عامة، الحقل هو مجموعة ما وعمليتان معرفتان على هذه المجموعة. هاتان العمليتان هما عملية الجمع والتي يمكن أن تكتب على الشكل وعملية الضرب والتي يمكن كتابتها على الشكل . ولكليهما نفس خواص عمليتي الجمع والضرب المعتادة على الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية. من هذه الخواص وجود المعكوس الجمعي لكل العناصر والمعكوس الضربي لكل عنصر غير منعدم . هذا يسمح كذلك بتعريف ما يسمى العمليات العكسية وهما الطرح والقسمة كالتالي:

• خاصية التجميعية لعملية الجمع وعملية الضرب .
• خاصية التبادلية لعملية الجمع وعملية الضرب .
• العنصر المحايد الجمعي والمحايد الضربي: يوجد عنصرين مختلفين و في بحيث أن و .

من جانب آخر، المعكوس الجمعي: لكل عنصر في ، يوجد عنصر آخر في يرمز له بالرمز والذي يسمى بالمعكوس الجمعي لـ بحيث أن .

من جانب آخر، بصيغة رياضية، الحقل هو عبارة عن مجموعة مزودة بعمليتين داخلييتين ، الأولى يرمز لها بعملية الجمع و الثانية بعملية الضرب . نعرف عملية ما على بالتطبيق ، أو بصيغة أخرى: هي دالة تربط كل عنصر من بكل بزوج ثنائي مرتب من عناصر نفس المجموعة المعرفة عليها. نتيجة إضافة العنصرين و يسمى جمع ووالذي يرمز له بالرمز . بالمثل، ماينتج عن ضرب العنصرين و يسمى بحاصل ضرب العنصرين و ويرمز لهذه العملية بالرمز أو . لابد لهاتين العمليتين أن تحقق الخصائص التالية والتي تسمى مسلمات الحقل.(موضوعات الحقل) في هذه المسلمات العناصر و و هي عناصر اختيارية من الحقل .

خاصية توزيعية الضرب على الجمع: .

تعريف تقليدي (عام)

الأعداد النسبية

علاوةً على ذلك، الخصائص المطلوبة لأي حقل تنطبق كذلك على الأعداد النسبية. فمثلًا خاصية التوزيع يمكن إثباتها كالتالي:

إضافةً إلى ذلك، أستعملت الأعداد النسبية بشكل أوسع قبل ظهور مفهوم الحقل بوقت طويل. وتعرف الأعداد النسبية بالأعداد التي يمكن كتابتها بشكل كسور حيث أن و هما أعداد صحيحة و. المعكوس الجمعي لهذا الكسر هو والمعكوس الضرب في حالة يساوي والذي يحقق

.

مثال

الاختبار الثلاثي

ومن ناحية أخرى، لتكن F مجموعة الاعداد الحقيقة التي بصيغة 3a+b حيث a,b عددان نسبيان {F = { a+b 3 l a,b Q

مميز

ومن ناحية أخرى، إذا كان لايوجد عدد صحيح موجب بحيث أن ، فإننا هنا نقول أن الحقل به مميز (Characteristic) في. فمثلا يحتوي حقل الأعداد النسبية على مميز لأنه لايوجد عدد صحيح موجب يساوي صفر.

من جهة ثانية، وكما عرفنا عملية ضرب عنصرين من عناصر ، فإنه من الممكن تعريف حاصل ضرب لأي عنصر اختياري من وعدد صحيح موجب حيث أن الضرب يتم بالطريقة التالية

من جانب آخر، من جهة أخرى، إذا أمكن إيجاد عدد صحيح موجب يحقق هذه المعادلة فإن أصغر قيمة لهذا العدد يمثل عدد أولي. وعادة مايرمز لهذا العدد بالرمز ونقول في هذه الحالة أن الحقل يحتوي على مميز. مثال على ذلك الحقل به مميز2 لأن (كما هو واضح بجدول الجمع المرفق هنا).

كذلك، وذلك لأن جميع معاملات ذات الحدين في معادلة ذات الحدين قابلة للقسمة على .

. ينتمي هذا الناتج كذلك إلى .

إضافةً إلى ذلك، فبالتالي إذا كان الحقل يحتوي على مميز فإن لكل . وهذا يعني أن

بعض المفاهيم

علاوةً على ذلك، في هذا القسم سيتم استخدام الرمز للدلالة على أي حقل عشوائي و و عنصران من .