حلقة قسمة

بدايةً، حلقة قسمة، وتسمى كذلك حقل متخالفمعجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 651 (رابط) ، في الجبر هي حلقة يمكن فيها إجراء عملية القسمة. بشكل أكثر تحديدًا، هي حلقة غير صفرية فيها كل عنصر غير صفري يوجد له مقلوب يرمز له بـ بحيث أن حاصل ضرب العنصر في مقلوبه يساوي واحد على النحو التالي . لذا يمكن تعريف القسمة على الشكل التالي ، ولكن بشكل عام لا يحبذ استخدامه حيث قد نرى أن . وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.

إضافةً إلى ذلك، حلقة القسمة بشكل عام هي حلقة لا تبادلية. تكون تبادلية إذا وفقط إذا كانت حقلاً، وفي هذه الحالة نادرًا ما يستعمل مصطلح «حلقة القسمة»، لكن خصائص حلقات القسمة تظل صحيحة حتى لو كانت تبادلية أو في إثبات أن «حلقة قسمة» معينة هي تبادلية. مثلًا، تؤكد نظرية ويديربورن الصغرى "Wedderburn's little theorem" أن جميع حلقات القسمة المنتهية هي حلقات تبادلية وبالتالي حقول منتهية.

في هذا الإطار، جميع حلقات القسمة هي حلقات بسيطة. وهذا يعني عدم وجود مثالي ذي وجهين بجانب ونفسها.

إضافةً إلى ذلك، تاريخيًا كان يشار لحلقات القسمة أحيانًا باسم الحقول، بينما كانت الحقول تسمى «الحقول التبادلية». في بعض اللغات، كالفرنسية، تُستعمل الكلمة المكافئة لكلمة حقل ("corps") لكل من الحالات التبادلية وغير التبادلية، ويتم التمييز بين الحالتين عن طريق إضافة صفات مثل "corps commutatif" (حقل تبادلي) أو "corps gauche" (حقل متخالف).