حل المثلثات

العلاقات المثلثية

• الطريقة الأساسية لحل المعضلة هي استخدام العلاقات الأساسية.
• قانون جيب التمام
• قانون الجيب
• مجموع الزوايا

أو

• .
• ضلع وزاويتان مجاورتان معطاة (ASA)
• الخصائص المعلومة هي الضلع والزوايا . الزاوية الثالثة .
• يمكن حساب ضلعين مجهولين بتطبيق قانون الجيب:

والنقطة B: خط العرض ، خط الطول

.

• نعتبر المثلث الكروي ، حيث هو القطب الشمالي. بعض الخصائص هي:
• إذا أعطيت قوسين وزاوية محصورة (حالة المثلث الكروي SAS)، نحصل من تلك الصيغ:
• هنا، هو نصف قطر الأرض.

هوامش وملاحظات

إضافةً إلى ذلك، والقانون السَّابِق يخصُّ نظام راديان أمَّا في حالة استخدام نظام الدرجات فيكون بدلًا مِن الضرب في المقدار R فقط، الضرب في قِيمَة الدَّرجة القوسية فيكون بالصُّورة التَّالية :

من جانب آخر، والسبب في هذا التغيير عن صيغة قانون جيب التمام لحساب المثلثات الكروية هو أنَّ جيب الزاوية = جيب تمام ( 90 - نفس الزاوية ) والعكس صحيح ؛

قانون الظل

وفي السياق ذاته، هناك علاقات عامة أخرى (مفيدة عمليًا في بعض الأحيان): قانون ظل التمام وصيغة مولفيده.

حل المُثَلَّثات الكُرَوِيَّة

من جهة ثانية، المعلومة: الأقواس a ، و b ، والزاوية المحصورة بينهما γ أو C وهي المقابلة للقوس c فَتُحسَبُ قِيْمَتُهُ باستخدام قانون جيب التمام للمثلثات الكروية:

قوسان وزاوية محصورة معطاة (SAS كروي)

أي هكذا :

ثلاث أقواس معطاة (SSS كروي)

قوسان وزاوية غير محصورة معطاة (SSA كروي)

• يمكن ايجاد قوسين مجهولين مِن قانون جيب التمام (باستعمال الزاوية المحسوبة ):
• أو باستخدام صيغ نابير:
• قوس وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة (AAS كروي)
• المعلومة: القوس والزوايا . يمكن ايجاد القوس قانون الجيب لـ م.م:
• إذا كانت الزاوية المركزية المقابلة للقوس حادة و ، هناك حل آخر:
• يمكننا ايجاد خصائص أخرى باستخدام صيغ نابير:
• ثلاث زوايا معلومة (AAA كروي)
• المعلومة: الزوايا . من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية، نستنتج:

وعلى صعيد آخر، يحدَّد المثلث الكروي العام بالكامل من قبل ثلاث من خصائصه السِتَّة (3 أقواستسمى مجازًا "أضلاع"، وتسمى كذلك "جوانب المثلث الكروي" و 3 زوايا). أطوال الأقواس a ، و b ، و c للمثلث الكروي هي زواياها المركزية، تقاس بوحدات الزَّاوية بدلاً مِن وحدات الطُّول. (في كُرة الوِحدة، كرة نصف قطرها يساوي الواحد الصحيح من وِحدات الطُّول، تكون الزاوية (بالرَّاديان) والطول حول الكرة متماثلة عدديًّا. وفي الكُرات الأُخرى، تكون الزَّاوية (بالرَّاديان) مُساوية للطول حول الكرة مقسومًا على نصف القطر. ويُشْتَقُّ عادً من جنس رموز أقواس أو جوانب المُثَلَّث الكُرَوِيّ رُموزًا لزواياهُ بِحيثُ تَكُوْنُ الحروف كبيرة هكذا A ، و B ، و C وهي نفسها بالرموز اللاتينية ألفا α ، بيتا β ، جاما γ ، بحيث يقابُل كلُّ رمزٍ في تِلْكَ الأقواس نَظِيْرَهُ مِن الزَّوايا المُقابِلة وهي الزَّوايا على السَّطح الخارجي للمُثَلَّثِ الكُرَوِيّ.

ومن جهة أخرى، فَيمكن على سَبيلِ المِثالِ إيجاد الزاوية مِن قانون الجيب للمثلثات الكروية:

في هذا الإطار، حيثَ أنَّ قيمة الزَّاوية β يُحتَمَل كونُها حادة أو مُنْفَرِجة عِنْدَ تَطبيق قانون الجيب للمثلثات الكروية في إيجاد قيمتها كخطوة لازمة لمعرفة بقية عناصر المُثَلَّث؛

من جانب آخر، وأهمية هذه المُعادِلة تَكْمُن في حالة التَّعويض عن مِن نَصِّ المُعادلة بالخطوة الأولى بعد علامة = في نَصِّ المعادلة الثانية فتصير المعادلة مِن خطوة واحدة مُباشرة هكذا :-

وفي هذا الصدد، حَيْثُ قيمة مُضافَة لمنع القِسمة ÷ صفر عند تساوي قيمتي c ، b وهي قِيْمَة مُهْمَلَة وأقل مِن الفروق الطبيعية المُستعملة عادةً والقوسان .... – بهذا الشَّكْل يُمَثِّلان الفَرَق المُطلَق أو الموجب دائمًا بين القيمتين ؛الخطوة الثانية هي صياغة معادلة إيجاد الزَّاوية المُقابِلة للقوس c مع إضافة ناتج الخطوة الأولى حيث المقدار تتغير قيمته بموجب أو سالب حَسَب تطبيق الخطوة الأولى، ويتم ضرب ناتجها في 90 وكذلك في نَصِّ معادلة قانون الجيب للمثلثات وبهذا التَّطبيق تؤول المُعادلة لِلصورة:

وفي هذا السياق، حيث تؤول القيم المُضافة للمُعادلة الأصلية إلى (90 + 90 - المعادلة الأصلية) في حالة ضرورة طرح ناتجها مِن 180؛ وتؤول إلى (90 - 90 + المُعادلة الأصلية) في حالة عَدَم الحاجة إلى الطَّرح، ويمُكِن بالتحقيق الجَبري التَّأكُّد مِن صِحةِ العلاقة؛ وتُطبَّقُ كذلك في حالة وجود احتمالين بقانون الجيب لحل المُثلَّثات المستوية لكن بالنسبة المباشرة بين الضِلعين c و b بلا حساب جيب كل منهما، ولكن هذه المعادلات ليست عامة فهي فقط تنطبق في عدد ليس قليلا من المثلثات والملاحظ أن جانب المثلث الأكبر يقابل زاوية أكبر والعكس صحيح ، والبداية تكون بالنظر للنسبة بين القوسين المعلومين لنعرف من الزاوية المعلومة قيمة الزاوية المجهولة المقابلة لأحد القوسين المعلومين فإن كانت هناك قيمتين محتملتين لتلك الزاوية المجهولة وكلاهما تحقق نفس النسبة التي بين القوسين المعلومين فينظر في هذه الحالة للنسبة بين طول القوس المعلوم والزاوية المعلومة المقابلة له فنبحث عن قيمة للزاوية المجهولة لتحقق نفس العلاقة بينها وبين القوس الآخر المعلوم ،

قوس وزاويتان مجاورتان معطاة (ASA كروي)

من جهة ثانية، حيث يجب استخدام إشارات البسط والمقام في هذه التَّعبيرات لتحديد ربع قوس الظل.

كذلك، فقط في حالة كان ناتج الخطوة الأولى = -1، وذلك عندما تكونُ قيمة القوس c المُقابِل للزَّاوية أصغر مِن قيمة القوس b المُجاوِر لها، وهي التي تُعادِل الصُّورة :-

ومن جهة أخرى، بَعدَها يُمكننا إيجاد العُنصرَين المُتَبِقِّيَيْنِ مِن المُثَلَّثِ الكُرَوِيّ القوس a ، والزَّاوية المُقَابِلَة له A أو ألفا α ، باستخدام صِيَغ نابير:ملاحظة تطبيقيَّة : يمكن صِياغَة مُعادَلة جَبريَّة لِتُطَبَّق بشكلٍ مباشر على غِرار قاعدة (if) في الإكسيل لكن على خطوتين؛الخطوة الأولى إيجاد إشارة موجبة أو سالبة تُعَبِّرُ عَن النسبة بين قيمة القوس c المُقابِل للزاوية المجهولة وبين القوس b المُجاوِر لها ، هكذا:

من جهة ثانية، تختلف الهندسة الكروية عن الهندسة الإقليدية المستوية، لذا فإن حَلَّ المثلثات الكروية مبني على قواعد مختلفة. مثلًا، يعتمد مجموع الزوايا الثلاث α + β + γ على حجم المثلث.

كذلك، ويعتمد المُثَلَّث الكُرويّ على أقواس ضِمْن دوائر مركزها مركز الكُرة فقط وليس مَثلًا كدوائر العَرض شَمال وجنوب الإستواء في الكُرَةِ الأرضيَّة فمركزُ كُلٍّ مِنها يكون نُقطة على المحور الطولي الواصل بين القطبين لِذا مُحيطها أقل من مُحيط دائرة الإستواء.

كذلك، ويُكونُ الحَلُّ مُباشِرًا فقط إذا كان طُول القَوْس b المُجاور للزَّاوية المجهولة γ والقوس الآخر c المُقَابِل لها كلاهما أقَلّ مِن أو يساوي 90 درجة قوسية ؛

وفي هذا الصدد، من بين العلاقات الأخرى التي قد تكون مفيدة هي صيغة نصف القوس وصيغ نابير:Napier's Analogies at MathWorld

ومن جهة أخرى، المعلومة: القوس c والزوايا α, β. أولاً، نحدد الزاوية باستخدام قانون جيب التمام لـ م.ك :

من جانب آخر، علاوةً على ذلك، لا يمكن أن تكون المثلثات المتشابهة غير متساوية، لِذا فإنَّ مشكلة إنشاء مثلث بثلاث زوايا محددة لها حَلٌّ فريد. العلاقات الأساسية المستعملة لِحل مشكلة مماثلة لتلك الموجودة في الحالة المستوية: انظر قوانين الجيب وجيب التمام للمثلثات الكروية.

؛

كذلك، فإن كان للزاوية احتمالان كلاهما يحقق نفس النسبة ففي هذه الحالة يصعب الترجيح بين الإحتمال المباشر للزاوية والإحتمال الغير مباشر إلا إذا علمت الزاوية الثالثة في المثلث فغالبًا إن كانت أقل من 90 درجة تطبق الحالتين السابقتين من طرق الترجيح بين الزاوية الحادة والزاوية المنفرجة كإحتمالين للزاوية المجهولة من قانون الجيب للمثلثات ، وهذا واضح من دراسة الأحوال المختلفة للمثلثات الكروية عمليًّا .

وفي هذا الصدد، يمكن حساب الزوايا على النَّحوِ الوارد أعلاه، أو باستخدام صيغ نابير:

في هذا الإطار، أمَّا فيما سِوَى ذَلِكَ فيكون الحَلُّ غير مُبَاشِر كما في حالة المُثلثات المُستوية، إذا كانت فالحَلُّ يكون : ؛ وليس أي ؛

من جانب آخر، في المِلاحة تنشأ مُعضِلة في إيجاد الدَّائرة العُظْمَى بين نقطتين على الأرض يحددها خط العرض وخط الطول (حيث يعتمد المُثَلَّث الكُروي على أقواس ضِمْن دوائر مركزها مركز الكُرة فقط )؛ في هذا التَّطبيق باستخدام دالة الظِّلّ tan، لِذا فمن المهم استخدام صيغ ليست عُرضةً لأخطاء التَّقريب ، وَلِهذا الغَرَض يُمكن استخدام الصَّيغ التَّالية (التي يمكن اشتقاقها باستخدام الجبر المتجهي):

وعلى صعيد آخر، المعلومة: الجوانب b ، وc والزَّاوية β ليست محصورة بينهما. هذه المشكلة قَد لا تَكُونُ قابلةً لِلحَلِّ بِشَكْلٍ مُباشِرٍ؛

كذلك، المعلومة: الأقواس a ، و b ، و c (بوحدات الزاوية). تحسب زوايا المثلث A ، و B ، و C وهي نفسها بالرُّمُوز اللاتينية ألفا α ، بيتا β ، جاما γ ، باستخدام قانون جيب التَّمام للمثلثات الكروية:

فيوجد حَلٌّ مُباشِرٌ إذا تحقَّقَ الشَّرط التَّالي:

أو

كذلك، إجراء حل مثلث AAS هو نفس الإجراء الخاص بمثلث ASA: أولاً، نبحث عن الزاوية الثالثة باستخدام خاصية مجموع زوايا المثلث، ثم نبحث عن الضلعين الآخرين باستخدام قانون الجيب.

ضلع وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة (AAS)

أطوال أخرى معطاة

وفي السياق ذاته، في كثير من الحالات، يمكن حل المثلثات انطلاقًا من بعض المعلومات ، بعضها أطوال متوسطات المثلث أو الارتفاعات أو منصفات الزوايا. يسرد الكتاب "The Secrets of Triangles" للعالمين بوسامنتيير وليمانAlfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012: pp. 201–203. نتائج مسألة قابلية الحل فقط باستخدام الجذور التربيعية (أي قابلية الإنشاء) لعدد 95 حالة متميزة؛ 63 مِن تلك الحالات قابلة للإنشاء.

حل المثلثات الكروية قائمة الزاوية

إضافةً إلى ذلك، تصبح الخوارزميات أعلاه أبسط بكثير إذا كانت إحدى زوايا المثلث (مثلًا ، الزاوية C) هي زاوية قائمة. يتم تعريف مثل هذا المثلث الكروي بالكامل بواسطة عنصريه، ويمكن حساب العناصر الثلاثة الأخرى باستخدام العلاقات التالية:

• (من قانون الجيب لـ م.ك)
• (من قانون جيب التمام لـ م.ك)
• (من قانون جيب التمام لـ م.ك)
• بعض التطبيقات

طريقة التثليث

إضافةً إلى ذلك، وإدراج هذا في صيغة AAS للمثلث الفرعي الذي يحتوي على الزاوية α والقوسين b و d:

كذلك، إذا رغب المرء في قياس المسافة من ضفة البحر إلى سفينة بعيدة عن طريق التثليث، تُعَلَّم على ضفة البحر نقطتين بمسافة معلومة بينهما (خط الأساس). لتكن α، وβ زوايا بين خط الأساس والاتجاه إلى السفينة.

من جهة ثانية، مثال آخر في التثليث، إذا أراد المرء قياس ارتفاع h لجبل أو مبنى مرتفع، تحدد الزوايا α، و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى. لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط. من نفس صيغ حالة ASA، نتحصل على:

كذلك، من الصيغ أعلاه (حالة ASA، بافتراض الهندسة المستوية) يمكن للمرء حساب المسافة كارتفاع المثلث:

وفي هذا الصدد، بالنسبة لحالة المثلث الكروي، يمكن للمرء أولاً حساب طول القوس من النقطة عند α إلى السفينة (أي القوس المقابل لـ β) باستخدام صيغة ASA:

ومن ناحية أخرى، تستعمل هذه الطريقة في الملاحة الساحلية. تحدد الزوايا α، و β بملاحظة المعالم المألوفة من السفينة.

المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية

النقطة A: خط العرض ، خط الطول ،

لحساب المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية،

حل المُثَلَّثات المُسْتَوِية

ضلع والزاوية المقابلة له والزاوية المجاورة له (AAS).

ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS)

وفي السياق ذاته، ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما (SSA)، إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر.

ضلع وزاويتان مجاورتان له (ASA)

ثلاث أضلاع (SSS)

وفي هذا الصدد، النسبة لجميع الحالات في المستوي، يجب تحديد واحد على الأقل من أطوال الأضلاع. إذا أعطيت الزوايا فقط، فلا يمكن تحديد أطوال الأضلاع، لأن أي مثلث مشابه هو الحل.

وفي هذا الصدد، مثلث الشكل العام له ست مميزات رئيسية (انظر الصورة): أطوال الأضلاع a ، و b ، و c وثلاثة زوايا . تتمثل معضلة حساب المثلثات الكلاسيكي في تحديد ثلاث من الخصائص الست وتحديد الثلاث الأخرى. يمكن تحديد المثلث بصورة فريدة بهذا المعنى عند إعطاء أي مما يلي: