دائرة

مركز القوة

في هذا الإطار، وبرهان ذلك: من خواص خط القوة لزوج دوائرَ، أن المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين A وB مع محور الأساسي الدائرتين C وD في نقطة M فإن المماسات المنطلقة من M لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أن: Pow(M, A) = Pow(M, B) وأيضاً Pow(M, B) = Pow(M, C) فبالتعدي: Pow(M, A) = Pow(M, C)، وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإن النقطة M تقع على خط القوة للدائرتين A وC وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة M. من البرهان السابق، تَصير النقطة M مركزاً لدائرة تقطع الدوائر الثلاث. وتُعد هذه الدائرة دائرة وحيدة لكل 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدة عليهم جميعًا.

ومن جهة أخرى، لتكن A وB وC دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنص على أن الثلاث خطوط القوة لكل زوج دوائر إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنيًا كذلك عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنها تلتقي في نقطة في اللانهاية.

طاليس

علاوةً على ذلك، يرجع أول تعريف وُضِع للدائرة إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره برمانيدس:

وفي هذا الصدد، يُعد طاليس (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص المبرهنة المنسوبة إليه على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.

مبرهنة مونج

علاوةً على ذلك، تنصُّ مبرهنة مونج ، نسبةً إلى غاسبار مونج، على أنَّ لأيِّ 3 دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائر لها متسامتة. بالإمكان إثبات مبرهنة مونج بمبرهنة ديزارغ وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة بدلالة أشعة الدوائر.

أزواج الدوائر

كذلك، بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.

إضافةً إلى ذلك، تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به θ بالراديان ونصف قطر الدائرتين R بالصيغة الآتية:

وفي السياق ذاته، الدائرتان المتقاطعتان دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار r1 نصف قطر الدائرة الأولى وr2 نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم l الواصل بين المركزين يحقق المعادلة:

الأوتار والمستقيمات

ومن جهة أخرى، الدائرتان متحدتا المركز: التي نصف قطرها و التي نصف قطرها دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة بأنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: .

النتائج التحليلية

في هذا الإطار، يرتبط نصف القطر مع القطر بالعلاقة r = d/2. يُعد القطر حالة خاصة من الوتر يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف كذلك بأنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة. وتُصنّف جميعُ الدوائرَ بأنها مُتشابهة.

إقليدس

وفي هذا السياق، لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا أن أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه العناصر. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم، يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:

علاوةً على ذلك، كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أهم أعماله ومن الكتب الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها مقالاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

النقاط

وعلى صعيد آخر، يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة بأنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.

كذلك، ثمة ثلاث حالات ممكنة لموقع نقطة ما بالنسبة إلى دائرة معطاة في المستوى نفسه تصنف حسب بعدها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:

ومن ناحية أخرى، يُعبَّر التعريف الرياضي المقابل للجدول السابق بمبرهنة المجموعات: لتكن الدائرة التي مركزها O والنقطة المتغيِّرة P، إن مجموعة النقاط P في المستوى E تُعرَّف على أنها:

علاوةً على ذلك، تُصنَّف مجموعة النقاط الداخلية على أنها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.

العمق وطول الوتر

كذلك، عمق القوس قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره. تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية θ في الدائرة التي نصف قطرها r بالصيغة:

كذلك، بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته θ بالصيغة 2rsinθ. أما إذا أُعطي وترٌ طوله y وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـx فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:

التعريف

وعلى صعيد آخر، يُمكِنُ إعادة صياغة التّعريف الذي يقول أن: الدائرة مجموعة نقاط على مستوى واحد تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، إلى الشكل التالي: الدائرة منحنى مغلق أحادي البعد، أي هي منحنى ترسمه نّقطة متحرّكة تبعد بعدًا ثابتًا عن نقطة ثابتة أخرى. وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.

علاوةً على ذلك، تعود تسمية الدائرة وتعريفها في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو صنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات. تعود لفظة «دائرة» في اللّغة العربيّةِ إلى الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشيء وتعني كذلك «الحلقة». جاء في لسان العرب لابن منظور: . يضيف ابن منظور: . وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».

التحاكي

علاوةً على ذلك، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي نتيجة للتحاكي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول قطعة التماس لهما مُساوٍ لوسط شعاعيهما التوافقي. تربط مبرهنة مونج بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها 1، فإنّ هذه المراكز متسامتة.

كذلك، التحاكي تحويل هندسي ينقل الخطوط المُستقيمة المتوازية إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أو تحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أو تحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ بالمتوسط الموزون لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن مركَزَيْ الدائرتين و هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي يُحسَب عبر الصيغة:

كذلك، بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.

تعريف إقليدس

عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:

ومن جهة أخرى، يُعبِّر الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة كذلك باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:

إنشاءات المسطرة والفرجار

في هذا الإطار، ارسم الدائرتين وافرض أن نقطة تقاطعهما مع أحد نصفي الدائرة Γ هما C وD على الترتيب.

إضافةً إلى ذلك، إنشاء عمود منصف لقطعة مُستقيمة: بافتراض أن قطعة مستقيمة، ارسم الدائرتين وافترض أنهما يتقاطعان في X وY. إن XY هو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة .

وفي هذا الصدد، الإنشاء بمسطرة وفرجار هو إنشاء أضلاع، زوايا، وأشكال هندسية أخرى عبر استعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي الهندسةِ الإقليدية، هاتان الأداتان هُما الوحيدتان المسموح باستخدامهما. وهو ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار». تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ. إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.

مُنصِّف الزاوية ∠ABC هو BT.

وعلى صعيد آخر، إنشاء مماس من نقطة خارج الدائرة: إذا كانت C(O, r) دائرة، وP نُقطةً خارجَها، فإنّ إنشاء مماس من النقطة P إلى الدائرة يكون كالآتي:

صِل وارسم الدائرة ذات القطر ولتكن Γ.

في هذا الإطار، أنشئ الدائرة C(B, r) وافترض أنها تقطع شعاعا الزاوية في A' وC' على الترتيب.

• صِلْ OP ولتكن M نقطة تقاطعه مع الدائرة.
• خُذ نقطة منتصف OM ولتكن N.
• ارسم الدائرة Ω التي قطرها أو بترميز الدائرة: .

وفي هذا الصدد، لإنشاء المنصف الخارجي للزاوية، طبق الخطوات السابقة لكن مع أخذ الشعاعين: .

ومن جهة أخرى، إنشاء مركز مُحيطة المثلث: لتكن A وB وC ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين AB وBC غير متوازيين لانعدام تَسامُتِ النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي O، وبما أن OA=OB=OC، فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها O. بالإمكان تعميم هذه الطريقة لأي مُضلَّع دائري، وذلك بأخذ ضلعين منه وإنشاء العمودين المنصفين له.

ومن ناحية أخرى، إنشاء المماس المشترك الداخلي لدائرتين: لتكن A وB دائرتين معلومتين مركزاهما على الترتيب. إنشاء المماس المشترك لهما من الداخل، يكون كالآتي:

كذلك، تستعرض القائمة الآتية أهم الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار التي تدخل فيها الدائرة:

من جهة ثانية، الفرجار من أكثر الأدوات شيوعاً التي تُستعمل لرسم دوائرَ أو أقواس دائرية، وأداة هندسية تقنية بالإمكان استعمالها كذلك لقياس المسافات على الخرائط والمخططات المعمارية. غالباً ما يُصنع الفرجار من لدائن أو معدن، ويتَكوَّنُ من طرفين: أحدُهما رأس إبرة مدببة والآخر قلم رصاصٍ أو حبر. لكن مع تطور تقنيات التصوير والتصميم الحاسوبي، اختُزِل اقتصر استعمال الفرجار والمرسام على المدارس والجامعات لتعليم التصميم والهندسة الرياضية. تُرسَم الدائرة بتثبيت رأس الفرجار المدبب على الورقة ووضع رأس القلم على الورقة وتدويره حول القطعة المثبتة. كما يُتَحكَّمُ بقياسٍ نصف قطر الدائرة عن طريق تعديل قياس الفتحة بين القطعتين: الرأس المدبب والقلم، باستخدام المفصل العلوي للفرجار.

وفي هذا الصدد، تقاطع الدائرة Ω مع الدائرة الأصلية C(O, r) هما نقطتا تماس النقطة P مع الدائرة C(O, r).

إنشاء مُنصِّف لزاوية: يُنشئ منصف الزاوية ∠ABC كالآتي:

• صل وليقطعا الدائرتين A وB في E وF على الترتيب.
• كرِّر العملية مع نصف الدائرة Γ الآخر ولتكن نقاط التقاطع هي E' وF'.
• المستقيمان EE' وFF' مماسان مشتركان داخليان للدائرتين A وB.
• إنشاءات مستحيلة

وفي هذا السياق، ارسم الدائرتين C(A', r) وC(C', r) بأي نصف قطر r، وافترض أن إحدى نقطتي تقاطعهما هي T.

دائرة الوحدة والدوال المثلثية

ومن ناحية أخرى، بما أن دورانًا بزاوية 2π± لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمه، فإن النقاط F وA وE ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقهما مضاعف صحيح لـ 2π. وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ sinθ = sin(θ + 2kπ) وcosθ = cos(θ + 2kπ) صالحةٌ لأي زاوية θ ولأي عدد صحيح k. تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

علاوةً على ذلك، يمكنُ تعريف الدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيم إحداثيات النقاط على المستوى الإقليدي المرتبطة بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدة واحدة ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ و راديان فقط، إلا أنَّ تعريفات دائرة الوحدة تُعمّم ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمح بجميع الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة.

إضافةً إلى ذلك، تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعة على نقطة الأصل. إذا قطع نصفُ القطر المنطلق من نقطة الأصل بزاوية θ دائرةَ الوحدة في النقطة A=(x, y) فإنّ الدالةُ cosθ تُعرّف بأنها الإحداثي x والدالة sinθ هي الإحداثي y لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ: (x, y) = (cosθ, sinθ). وبرسم مماس من النقطة (x, y) يقطع محورَي السينات والصادات في النقطتين E = (a, 0), F=(0 ,b) على الترتيب، فإنَّa = secθ, b = cscθ.

من جانب آخر، يتطابق هذا التعريف مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة (0,π/2) باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة OA = r هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم . فإنَّ تعريف الدوال المثلثية بأنها الإحداثيات يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: . وأخيراً فإنَّ المسافات تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:

قوة النقطة

OP2 - OT2 = PT2 = OP2 - r2.

وعلى صعيد آخر، كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن T نقطة تماس المماس الخارج من P إلى الدائرة O. من مبرهنة التعامد: OT ⟂ PT، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: OTP△، فإن OT2 + PT2 = OP2 أو:

ومن ناحية أخرى، تُعرَّف قوة نقطة P بالنسبة لدائرة C(O, r) بأنها مربع المسافة بين النقطة ومركز الدائرة مطروحًا من مربع نصف قطر الدائرة، رياضيًا: Pow(P) = OP2-r2. نتيجة لذلك، إن قوة النقطة P تكون مقدارًا سالبًا عندما OP <r أي أنها نقطة داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهر في جميعها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمَّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أن Pow(P) هو مقدار ثابت لكل نقطة ودائرة محددتين، وأن أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي Pow(P).

مبرهنة الفراشة

في هذا الإطار، تنص مبرهنة الفراشة على أن الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يقطعان الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة M منتصف الوتر PQ في دائرة، وُرسم وتران آخران AB وCD يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان AD وBC يقطعان الوتر PQ في نقطتين متماثلتين X وY حول M، أي أن النقطة M منتصف القطعة المستقيمة XY.

مُضلَّعاتٌ مماسيَّة

وعلى صعيد آخر، للمُضلَّع المُحدَّب دائرة داخلية إذا وفقط إذا التقت منصفات زواياه كلها في نقطة واحدة. تُعرف هذه النقطة بأنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو n رأس هي ومساحته K ونصف محيطه فإن نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:

إضافةً إلى ذلك، المُضلَّع المماسي مُضلَّع فيه دائرة تمس أضلاعه كلها. تُسمَّى هذه الدائرة (الدائرةَ الداخلية للمضلَّع). يختص الرباعي المحيط بدائرة بأن مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً كذلك سُميَّ رباعيّاً ثُنائي المركز ، ويَختص بأنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أن مجموع أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ. أما الرباعي ثنائي المركز الخارجي فهو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.

الكرة الفائقة

وفي هذا الصدد، في الهندسة الرياضية متعددة الأبعاد، الكرة الفائقة مجموعة نقاط تبعد مسافةً ثابتةً عن نقطة مُعطاة تُسمى المركز. تُعد الكرة الفائقة متنوعة. ومع زيادة نصف قطرها، يزداد انحناؤها. المستويات الفائقة والكرات الفائقة هي مثال على السطوح الفائقة.

المُثلَّث

والصيغة المثلثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:

وفي هذا الصدد، تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:

من جانب آخر، يرتبط نصف قطر مُحيطةِ المثلَّث بعلاقة هامة تُسمى قانون الجيوب أو قانون الجيوب المُوسَّع:كما يُعبَّر عنه في علاقات أخرى مُشتقّة من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث:

ومن جهة أخرى، تُعطى الإحداثيات ثلاثية الخطية لمركز دائرة المثلث المحيطة بالصيغة:

من جهة ثانية، تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث بأنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث. ثمة دائرة وحيدة لكل مثلث تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمر خط أويلر بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، فضلًا عن نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخ بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.

كذلك، من تعريفات دائرة النقاط التسع أنها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف، أي إنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلك فإن دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة N) القطعة المستقيمة الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ: .

وفي السياق ذاته، تنص مبرهنة كارنو على أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:

وفي السياق ذاته، تقاس المسافة بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:

• تمر دائرة النقاط التسع في المثلث بتسع نقاط مهمة فيه. تحديداً:
• منتصف كل ضلع المثلث.
• مسقط كل رأس المثلث.
• منتصف كل قطعة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.

خط أويلر

وفي السياق ذاته، خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات ، ملتقى المتوسطات ، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع . تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.

الأسطوانة

من جهة ثانية، مجسم ينتج عن دوران المستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة فتكون قاعدة الاسطوانة دائرة. وبالإمكان تعريفه كذلك بأنه مجسم يتشكل سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة معطاة.

مبرهنة باسكال

وفي السياق ذاته، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال في الهندسةِ الإسقاطية على أن لأي ست نقاط على قطع مخروطي (أي: قطع ناقص أو مكافئ أو زائد) وَصَلَت بينهم قطع مستقيمة بأي ترتيب، لتُشكّل مُسدَّسًا، فإن أزواج الأضلاع المتقابلة من المسدس (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ كذلك في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.

وفي السياق ذاته، الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال: لأي سداسي في الهندسةِ الإسقاطية تقع رؤوسه على قطعٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:

تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع نتيجة لمبرهنة باسكال:

صيغة الثلاث نقاط

وعلى ذلك، تُصبح إحداثيات مركز الدائرة: ونصف قطرها:

من جانب آخر، يُعبَّر عن المعادلة أحياناً بالمصفوفة الصفرية الآتية كذلك:وبالإمكان كتابتها كذلك على صورة المعادلة التربيعية:وبما أنَّ c = a و:

ومن جهة أخرى، بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ: عبر المعادلة الآتية:

تعريف الدائرة المعممة

وفي هذا الصدد، إذا كانت C منتصف القطعة فعندئذ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط P التي تحقق الشرط أعلاه «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضم الخط المستقيم بأنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى مثل الهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة بأنها خط مستقيم. ثمة كذلك إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ متردية. يُستعمَل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.

البابليون

كذلك، بنسبة خطأ نقص قرابة 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة كذلك. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أو عُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ أبرخش. ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي «المجسطي».

في هذا الإطار، استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة. بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:

القطاع

في هذا الإطار، تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقة مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى 360° مع النسبة المئوية للبيانات، وتُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة 100%.

وفي هذا السياق، يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. يُمثِّل القطاع نسبة من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.

مبرهنة كايزي

وفي هذا السياق، مبرهنة كايزي وتُعرَفُ كذلك بأنها تعميم مبرهنة بطليموس، مبرهنة في الهندسة الإقليدية سُمِّيت نسبة إلى الرياضياتي جون كايزي. تعريفها الرياضي: لتكن دائرة شعاعها . ولتكن أربع دوائر غير متقاطعة تقع داخل وتمسها على الترتيب. وليرمز إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين ، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:

وعلى صعيد آخر، الحالة المنعدمة لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكس المبرهنة صحيح كذلك، أي إذا وجدت 4 دوائر تحقق العلاقة السابقة فثمة دائرة تمسهم كلها.

دوائر بإعادة تعريف المسافة

في هذا الإطار، تعريفُ دائرةٍ بأنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار- ، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:

وفي السياق ذاته، في هندسة سيارة الأجرة، تكون . دوائر سيارة الأجرة تُعرّف بأنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع في المستوى هي كذلك مُربّع ذو ضلع . لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.

وعلى صعيد آخر، بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون ، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:

مبرهنات

من جهة ثانية، فضلًا عن مبرهنتَيْ خطُّ القوة وقوة النقطة اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرة، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:

الإحداثيات الديكارتية

من جهة ثانية، تُحسَب معادلة دائرة المركز حالةً خاصّةً، وهي دائرة مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل (0,0) تُصبح المُعادلة بتعويض قيم a وb: كالآتيوبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل معادلة وسيطية بالدوال المثلثية: جيب وجيب تمام على الشكل الآتي:

وفي هذا السياق، إذا كانت النقطة (a, b) مركزًا لدائرة C(a, b) نصف قطرها r في النظام الإحداثي الديكارتي، والنُّقطةُ (x, y) مُتغيّرةً على مُحيط الدائرة، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على أن البعد بين النقطتين C وP بعدٌ ثابت مُساوٍ لنصف القطر r، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:

إضافةً إلى ذلك، وفيها t وسيط تتغير قيمته بين العددين 0 و2π. يُمثّل هذا الوسيط هندسيَّاً الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين (a, b) و(x, y) مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل كذلك دائرة:

وفي السياق ذاته، تنبثق هذه المعادلة كذلك من مبرهنة فيثاغورس عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر r. عندئذ، تُصبح المسافتان x-a وy-b طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. ثمة ثلاثة مواضع للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاور الإحداثية: دائرة المركز ودائرة ماسة للمحور الأفقي ودائرة ماسة للمحور الرأسي. تعد معادلة كل منها حالة خاصة من معادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصيلة.

وعلى صعيد آخر، كما أنه بالإمكان كذلك إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين هي بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة على مُحيط الدائرة وبما أن قُطر في الدائرة، فإن وعليه فإن ، ليكن ميل المستقيمين هما على الترتيب، حيث:

في هذا الإطار، ولِكَوْن فإن وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:إذا كانت نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل:

إضافةً إلى ذلك، إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة: . وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة: .

التطابق في الدائرة

من جانب آخر، ليكن وتراً في الدائرة C(O,r). بتطبيقِ متباينة المثلث: OB + OC> AB لكنَّ OA = OB = r، إذن بالتعويض ينتجُ AB <2r. أي أنّ: . وتحصل المساواة عند تردي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون AB قطراً في الدائرة. في الدائرة نفسها أو في الدوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ كذلك، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين لهما الطول نفسه في الدائرة C(O,r)، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: OA=OB=OC=OD=r. وعلى ذلك ، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.

خط سيمسون

وفي هذا السياق، خط سيمسون مستقيم يمُرّ بمساقط نقطة مشتركة مع مثلث في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان △ABC مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ Ω والنّقطةُ P واقعة عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث CA وAB وBC هي L وM وN على الترتيب، فإنّ النقاط L وM وN نقاط متسامتة ويُسمَّى خطّها خط سيمسون. كما أن عكس المبرهنة صحيح كذلك؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطة على أضلاع مثلث، فلا بد أن تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك كذلك بأن نقطة ينعدمُ عندها المثلث القدمي إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.

الكرة

علاوةً على ذلك، إذا قطع المستوى ax + by + cz + d = 0 الكرةَ x+y+z-2hx-2ky-2mz+e=0، فانَّ المقطع الناتج سيكون دائرةً تُسمى دائرة المقطع. تكون دائرة المقطع أكبر ما یمكن عند مرور المستوى القاطع بمركز الكرة. وفي هذه الحالة، یكونُ نصف قطرِ الدائرة مساویاً لنصف قطر الكرة وتُسمَّى دائرة الكرة الكبرى. عدا ذلك، تسمى دائرة المقطع دائرة صغرى، لأن نصف قطرها أصغر من نصف قطر الكرة ومركزها یختلف عن مركز الكرة.

في هذا الإطار، الكرة سطح هندسي تربيعي تام التناظر، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها. تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه كذلك، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.

تثليث الزاوية

في هذا الإطار، مسألة تثليث الزاوية تبحث حول إيجاد إنشاء بالمسطرة والفرجار برسم 3 مستقيمات تقسم الزاوية إلى 3 زوايا مُتساوية القياس. ثبت استحالة إيجاد حل باستعمال المسطرة والفرجار على صورتها العامة لأي زاوية، لكن هناك زوايا خاصة مثل 90 بالإمكان تثليثها عبر إنشاءات المسطرة والفرجار.

القطوع المخروطية

كذلك، تُوصَف الدائرة باعتبارها حالة خاصة من القطع الناقص، تحصل حين تنطبق البؤرتان معاً لتُكوِّنا مركز الدائرة؛ حينئذ، يكون الاختلاف المركزي مساوٍ للصفر (e = 0) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قطري الدائرة. والدائرة كذلك قطع مخروطي ينتج عن تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.

التعاكس

من جانب آخر، ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على محيط الدائرة فإنَّها تبقى كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه كلما قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.

الهندسة التحليلية

ومن جهة أخرى، التعاكس تحويل هندسي يعكسُ كل نُقطةٍ على المُستوى حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة P المُختلفة عن المركز حول الدائرة C(O, r) بأنه نقطة P' تقع على الشّعاع تُحقّق العلاقة: . هُناك اختلاف حول صورة المركز O، هناك من يُعرِّفُه على أن صورة O هي نفسها، لكن في الغالب فإنه يُعرّف بأنه نقطة في اللانهاية. إن التعاكس الذي ينقل النقطةَ P إلى صورتها P' كذلك ينقل الصورة P' إلى الأصل P؛ وبهذا تكون دالة التحويل الهندسي الخاصة بالتعاكس ارتدادية، أي: الأصل يؤدي إلى الصورة والعكس بالعكس.

تعريف أبولونيوس

علاوةً على ذلك، أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها بالمحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ A, B نقطتين ثابتتين على المستوى، فإن الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها A, B هي المحل الهندسي لجميع النقاط P التي تُحقِّقُ أنَّ:

المصريون القدماء

وفي هذا السياق، إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة بأنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق. ففي الألفية الثانية قبل الميلاد، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، وقدّروا مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:

من جهة ثانية، نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.

النسبة التبادلية لدائرة

إضافةً إلى ذلك، تُعرّفُ النقطة D على أنّها المرافق التوافقي للنقطة C بالنسبة لـA وB. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي -1. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان عدها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية. النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ. في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي -1). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها P يقع على الدائرة كذلك يُنتجُ رباعياً توافقياً.

وفي السياق ذاته، تُعرف النسبة التصالبية للقطعتين المستقيمتين أو لرباعية النقاط A, B, C, D المتسامتة على الترتيب: حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: . إذا كانت النقاط A وB وC مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط P التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد، أي |[A,B;C,P]| = 1. بمعنىً آخر: P هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط A وB وC إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية [A,B;C,P] مساوياً للواحد.

استيفاء المساحة

ومن ناحية أخرى، ترتبط هذه المسألة بمفهوم مبدأ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعل الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكِن بأقل جهد ممكن؟» مع أن الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أول محاولة أنَجَزَتْ في السؤال كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقة هندسية سُمِّيت لاحقاً بطريقة شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنه إذا وُجِدَ حل لهذه المسألة فلا بد أن يكون دائرة.

من جانب آخر، تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقة ذات محيط معطى، أيُّها يجعل مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أن هذه المسألةَ مكافئة لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات المساحة المعطاة، أيُّها يجعل محيطها أكبر ما يُمكِن؟». وتختص الدائرة بأنها حل هذا المسألة. إذ توصف بأنها الشكل الذي يحصر أكبر مساحة نسبة إلى طول محيطه.

من جهة ثانية، غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:

وفي السياق ذاته، تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط هي على الأقل لكل منحنى. أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي: . إذا كان منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:

كذلك، وفيها ترمز إلى طول والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان منحنى ثابت العرض.

وفي هذا الصدد، بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ كذلك أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.

كذلك، وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع هو ومُحيطُ الدائرةِ هو بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان . وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استعمل الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز. لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف بأنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:

تأويل لانهائي

في هذا الإطار، بالإمكان تعريف الدائرة بأنها مُضلّع منتظم بنصف قطر مماسي يُرمز إليه بالرمز r أو نصف قطر محيطي يُرمز إليه بالرمز R باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية: والمساحة، عبر العلاقة:والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.

الإغريق

وفي هذا السياق، يعد عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت الكثير من المؤلفات الهامة، ونُسبت الكثير من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.

الإحداثيات القطبية

كذلك، في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها ومركزها عن النقطة يُمكن الحصول عليها بقانون جيب تمام الزاوية للمثلث △ORP>، وفيه النقطة P(a, θ) تُعبر عن أي نقطة على الدائرةِ وذلك على الصورة:

إضافةً إلى ذلك، وفيها (r, θ)الإحداثية القطبية لنقطةٍ ما من الدائرة و هي الإحداثية القطبية لمركزِ الدائرةِ. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة فإن وَ وعندئذٍ تأخذُ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: a=2r. cos θ. وعند موقوع مركز الدائرة على النقطة تأخذ المعادلة الصورة: a=2r.sin θ.

العصور الوسطى

ومن ناحية أخرى، ترجم بنو موسى «كتاب أبلونيوس في المخروطات» من اليونانية إلى العربية في أثناء حكم المأمون في خراسان. كان بحوزة بني موسى نسخة غير مكتملة من الكتب، لذا فإن القطوع المخروطية لم تنقل كاملةً وقد واجهوا صعوبةً في ترجمة العبارات. بعدئذٍ بفترةٍ، قدّم الحسن ابن موسى نظرية القطوع المخروطية التي وصف فيها بدايات وأساسيات للقطوع المخروطية. مهّد فيها مقدمةً لفهمها. بعد وفاته، أكمل أخوه أحمد الذي كان يعيش في المشرق نسخة مكتملةً من أعماله. سلم أحمد وأخوه محمد النسخة المترجمة من أول 4 فصول من كتاب أبلونيوس في المخروطات إلى هلال حمصي، ومن الفصل الخامس حتى السابع إلى ثابت بن قرة. النسخة الوحيدة التي تبقت من الترجمة هي التي كانت بحوزة بني موسى واحتوت على الفصول الخامسة والسادسة والسابعة.

وفي هذا السياق، قدّم بنو موسى حلاً اعتمادًا على القطوع المخروطية لمسألة تثليث الزاوية. كما قدّم أبو جعفر الخازن وأبو سهل القوهي والسجزي وأبو الريحان البيروني ثلاثَ مسائلَ مُبرهنين بأنه بحل هذه المسائل، ستحل مسألة تثليث الزاوية تباعاً. بطلبٍ من عضد الدولة بن بويه، كتب عبد الرحمن بن عمر الصوفي كتاباً بعنوان: «رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة». والذي وضّح فيه طريقةَ رسمِ مضلع منتظم باستعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي كتابه: «فیما یحتاج إلیه الصانع من الأعمال الهندسية» أو اختصاراً كتاب «الأعمال الهندسية» بحث أبو الوفاء البوزجاني، استكمالاً على أعمال عبد الرحمن الصوفي، في رسم الأشكال الهندسية بالفرجار والمسطرة. حَسَبَ غياثُ الدين الكاشي نسبةَ محيطِ الدائرة إلى قطرها أو π بدقة عالية، وذلك باستعمال حصر مضلعات داخل الدائرة وخارجها. كما كتب في كتابه: «مفتاح الحساب»، رسالةً بعنوان: «رسالة الوتر والجيب»، التي فُقدِت. كما قدّم محاولةً لحل مسألة تثليث الزاوية عن طريق حل المعادلات التكعيبية.

في الثقافة والفن

ومن جهة أخرى، في فنون الحضارات القديمة، حضرت الدائرة، للدلالة على الشمس أو القمر، مثل المنحوتات الجدارية الفرعونية، حيث يعلو الرأس قرص مستدير يرمز إلى الشمس. كما ظهرت الكرة السماوية والكرة الأرضية في عدد كبير من اللوحات الأوروبية ما بين عصر النهضة والقرن التاسع عشر. وفي أغلب الأحيان للدلالة على المكانة العلمية للشخص المرسوم، أو للإشارة إلى عمله كبحار أو كجغرافي. في سنة 1913م، رسم فاسيلي كاندينسكي لوحته «دوائرُ ضمن مربعات»، ليؤسس بها تيار التجريد الهندسي. وحظيت الكرة بدفع كبير في الفن البصري على يد الفنان فيكتور فازاريلي الذي رسم عشرات اللوحات المؤلفة من مربعات هندسية تماماً، تبدأ أضلاعها بالتقوس كلما اقتربت من وسط اللوحة، لتشكِّل ما يبدو كرة أو نصف كرة، ناتئة من اللوحة التي هي في الواقع مسطحة تماماً.كما ظهرت مئات الأعمال الفنية المعاصرة المكوّنة من كرات بسيطة، بعضها معلَّق في سقف إحدى الصالات الفنية كما هو الحال في «مركز هونف فوف» في ميونيخ بألمانيا، وبعضها موضوع في الأماكن العامة كما هو الحال أمام «متحف مارتا» في هيرفورد بألمانيا كذلك، أو كالكرة التي صاغها الفنان إريك بريدي لحديقة الفاتيكان. ونتيجة لتطور فن التصميم الطباعي خلال القرن الماضي بات هناك مئات الفنانين المتخصصين في رسم الكرة الأرضية بأساليب تعبيرية وجمالية، تأتي الدقة الجغرافية في آخر اهتماماتها.

وفي هذا السياق، حين يكون المؤتمِرون من رتبة واحدة، كرؤساء الدول مثلاً، أو الوزراء النظراء من بلدان مختلفة، فلا تُستعمل الطاولة المستطيلة. إذ أن الطاولة المستديرة ترمز إلى المساواة وطلب الصلح ومضادة للطبقية. ويُعتقد أن هذا الترميز يعود إلى الملك البريطاني آرثر حين ساوى بين الفرسان الذين التمّوا حول محيط الطاولة في عاصمته كاميلوت. إلا أن وينستون تشيرشل حاول إبطال هذا المفهوم بقوله: «أينما أجلس يكون رأس الطاولة».

وفي السياق ذاته، في 1655م، استلهم عالِم الرياضيات البريطاني جون وليس رمزاً للإشارة إلى اللانهائية، وهو دائرة منبعجة يحولها إلى دائرتين مرسومتين بخط واحد، يشبه الرقم 8 المقلوب. ومن رمزيته العلمية إلى الأرقام اللامتناهية، استمدَّ هذا الشكل رمزية أخرى، فأصبح اليوم كذلك شكلاً فنياً، اعتمده كثير من المصمِّمين لصياغة حلي مثلًا ترمز إلى ديمومة العلاقات.

وفي هذا الصدد، استعملت الدائرة في خلق التجانس الزخرفي مع الخط العربي بشكل مكثف بين الخطوط والأشكال. تُرسم النجوم في الزخارف العربية مُشتقةً من الدائرة وبأخذ مقاييسها. يذكر أبو حیان التوحیدي: . وقد ابتكر المسلمين العرب الصفر على هيئة الدائرة للدلالة على دورها التولیدي في حساب الأرقام. يرى كثيرون أن في الدائرة عاملُ جذبٍ قويّ للعين، استدلالاً على كثرة استعمالها في علامات السلع التجارية وترويجات التخفيضات وغيرها.

وفي هذا السياق، أخذت الدائرةُ الأساسَ في بناء الكثير من التكوینات الفنیة وارتبطت بالعديد من المفاهيم فيها. إلا أنه مع ذلك، كان للنظرة المجتمعية والعالمية تجاه الدائرةِ تأثيراً على إدراك ونظرة الفنان لها وجعله منحازاً أكثر تجاه مفهوم معين. فثمّة من يرى أنّ شكل الدائرة المُحيط يُمثّل الوِحدَة والإيحاء بالديموقراطية، ولهذا يُوجد في مجالس الشورى والبرلمانات. بينما ترى بعض المعتقدات الروحانية على أنَّ الدائرة ترمز إلى الاستمراریة واللانهائیة والسرمدیة والتي هي طبيعة هذا العالم. في تقاليدٍ دينيةٍ أخرى، الدائرة تُمثل الأجسام السماوية والأرواح الملائكية وترمز إلى الكثير من المفاهيم المُقدّسة، منها الاتحاد، الاكتمال والكون، الألوهية والاتزان، الثبات والمثالية، من بين عديد من المفاهيم. وفي الفن، تُؤوّلُ الدائرة للقدر والمصير، أو الموروث التقليدي للتشاؤم والتفاؤل على حدّ تعبير بعض الفنانيين. كما أن هناك من يربطها بالمفهوم القابع في شعار اليين واليانغ، والذي يربط بين المفاهيم المتضادة: كالخير والشر، الفناء والخلق، الموت والولادة، الفوضى والتناغم، الجمود والحركة. هذا الخليط من المفاهيم أدى إلى انتقالها بين الثقافات، فوُجدت مثلًا في البوصلة، الهالة، الترميز للعين والبصيرة، وقوس القزح والدارما، ونوافذ بعض المعابد والمباني الدينية، والأوربوروس.

• معرض صور
• براهين وعلاقات
• في الأعلام والرموز
• في اللغات والثقافة
• في التقنية والعلوم
• في العمارة والفنون
• في الطَّبيعةِ
• انظر كذلك
• ملاحظات
• المراجع
• المنشورات
• بالعربية
• بالألمانية
• بالإنجليزية
• بالفارسية
• بالفرنسية
• باللاتينية
• الوب
• بالإنجليزية
• ثبت المراجع
• المقالات المُحكَّمة
• بالألمانية
• بالإنجليزية
• بالفارسية
• بالفرنسية
• باللاتينية
• الكتب
• بالعربية
• بالألمانية
• بالإنجليزية
• ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية

مصطلحات رئيسة

إضافةً إلى ذلك، يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة O ونصف قطرها r رياضيَّاً بالرموز: «C(O, r)» و«» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة O» للإشارة إليها. ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «»

الزوايا

وعلى صعيد آخر، المُبرهنة السابقة تُعطي علاقة بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. نتيجة لذلك، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ كذلك، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة كذلك مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.

مضاعفة المكعب

في هذا الإطار، عُرفت مسألة مضاعفة المكعب في الكثير من الأجناس كالمصريين، الإغريق، والهنود. تتمثل المسألة في تحويل أي مُكعّبٍ مُعطى إلى مُكعّب ذي ضعف الحجم. رياضياً، من المكعب ذي طولِ الضلع s والحجم V، المطلوب إنشاء مكعب جديد بحجم 2V. أي أنَّ طول ضلع المكعب الجديد . أثبت استحالة عمل ذلك بإنشاءات الفرجار والمسطرة بعد إثبات استحالة وجود ضلع طوله بالمسطرة والفرجار.

أبولونيوس

علاوةً على ذلك، قدَّم أبولونيوس مسألة عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائرَ باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنة بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربية، أصبحت كتبه أكثر أهمية خلال القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانس كبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.

وفي هذا السياق، فصّل أبلونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي «كونيكي» أن الإهليلج والدائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتي لا زالت حتى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (قرابة سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.

التناظر في الدائرة

من جهة ثانية، في الدائرة ذات المركز O والوتر ، المثلث △ABO متطابق الضلعين. إذا كانت M نقطة منتصف فإنَّ من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ وكذلك OM ⟂ AB. كذلك الزاويتان . إذا كانت P وQ نقطتا تقاطعِ المستقيمِ OM مع الدائرة، فإنَّ من تطابق (SSS) والذي يُنتج . كنتيجة، القوسان AP وBP متطابقان كذلك. بالمثل، (من تطابق SAS) و. وهذا يعني أن الدائرةَ O ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر . إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.

ومن ناحية أخرى، أي مستقيم يمر بمنتصف وتر، يتعامد عليه إذا وفقط إذا نصَّف القوسين اللذين يحصرهما الوتر. وهذا يكافئ أن يمر بمركز الدائرة.

تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:

• يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافةٍ متساويةٍ من مركز الدائرة.
• الوتران في دائرة يتوازيان إذا وفقط إذا حصرا قوسين متساويي القياس.
• المماس عند نقطة التماس يتعامد مع نصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
• المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.

وعلى صعيد آخر، الدائرة أكثر الأشكال تناظرًا بحسب نظرية الزمر. أيُّ مستقيم منصِّف (خط مستقيم يمر بمركز الدائرة) يُحَقِّق خاصية التناظر الانعكاسي وخاصية التناظر الدوراني. زُمرة تناظر الدائرة زمرة متعامدة O(2,R). زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة وتُعرّف بأنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.

علاوةً على ذلك، إذا كانت T تقاطع مماسات الدائرة عند A وB، فمن مبرهنة فيثاغورس، . ما يعني أن TA = TB. أي أن قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ ، إذن، الزاوية TOA = TOB، ومن النتيجة السابقة، فإن T تقع على المنصف العمودي لـAB. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة O> في فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ كذلك، فإن كل شبهِ منحرف متساوي الساقين يُعد رباعي أضلاع دائريًا.

التاريخ

في الرسالة السابعة لأفلاطون، وُجِد تعريف وشرح للدائرة.

من جانب آخر، في سنة 300 ق.م، تحدث الجزء الثالث من كتاب أصول أقليدس عن خصائص الدوائرَ.

من جهة ثانية، عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعية، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند أغلب علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة - جوهريًا - تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملًا مثاليًا». تُلخًّص النقاط الآتية أبرز الأحداث التّاريخية الهامّة في تاريخ الدائرة:

وفي السياق ذاته، في سنة 1880، أثبت فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، ليحل نهائيًا المعضلة المطروحة منذ آلاف السنين والمتمثلة في تربيع الدائرة.

ومن ناحية أخرى، في سنة 1700 ق.م، أعطت ورقة قديمة تعود إلى ذلك الزمان طريقة تمكن من إيجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π وهي 256 / 81 (أي 3.16049...).

الدائرة بوصفها حالة حدية

وفي هذا السياق، تُوصف الدائرة بأنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة بأنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه كذلك بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر. البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: وفيها n, a, b أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» بأنها بيضاوي فائق يكون فيه a = b. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما n=2.

أرخميدس

إضافةً إلى ذلك، أثبت أرخميدس في دراساته «كرسيمس» أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروبًا في نصف القطر. وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: «كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً». وفي عمله قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة π برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: . ومن المتباينة يُستعمل التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن . ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ على وجه التقريب إلى . وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها. وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.

وفي السياق ذاته، في عمل آخر لأرخميدس «على اللوالب» وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ«لولب أرخميدس». بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب بالمسطرة والفرجار فقط.

مبرهنة بطليموس

ومن ناحية أخرى، تربط مبرهنة بطليموس بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبة لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أن مجموع جداء كل من ضلعي رباعي متقابلين مساوٍ لجداء قطرَيه إذا وفقط إذا كان الرباعي دائريًا. يُعبَّر عن العلاقة السابقة رياضياً كالآتي: . كما أن عكس المبرهنة صحيح كذلك.

المِساحة

من جهة ثانية، تتناسب مِساحة الدائرة طرديًا مع مُربَّع نصف القطر بثابت تناسب يُطلَق عليه π. ومِساحة الدائرة أكبر مساحة من بين الأشكال نسبة إلى محيطها. وهذا يربط الدائرة بِمعضلة في مجالِ حساب التغيرات تُسمَّى متباينة المحيط الثابت. استُعمل مفهوم النهايات المتتالية للحصول على قانون مساحة الدائرة. وهذا المفهوم قائم على تقسيم قرص الدائرةِ إلى قطاعاتٍ ثم جمعها. يَنتج بعد التقسيم مستطيل طوله π r وعَرضه r. وعلى هذا، تكون مساحة الدائرة مكافئة لمساحة المستطيل:

تربيع الدائرة

في هذا الإطار، تربيع دائرة معضلة وصفها علماء الهندسة القدامى. تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة. أثبت في سنة 1882 أن هذه المسألة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان وفايرشتراس التي تنص على أن π عدد متسام بدلًا من أن يكون مجرد عدد جبري غير كسري.

مبرهنة ميكيل

وفي السياق ذاته، تخص مبرهنة ميكيل تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما. ورياضياً: إذا كان مثلثاً واختيرت النقاط على أضلاعه فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس مبرهنة ميكيل كذلك، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث.

رباعي الأضلاع الدائري

كذلك، رباعي الأضلاع الدائري مضلَّع رباعي تمر دائرة برؤوسه كلها. الشروط المذكورة لرباعي الأضلاع الدائري شروط تكافؤ، أي أن تَحقُّق أحد الشروط يؤدي إلى تحقُّق سائر الشروط. تُعرَف كذلك الشروط بأنها شروط لازمة وكافية أي أن تحقُّق عكس الشرط المذكور يؤدِّي إلى أن يكون الرباعي دائريًا. يُعد الشكل الرباعي دائريًا إذا وفقط إذا:

ومن جهة أخرى، المربَّعات والمستطيلات وأشباه المنحرف متساوية الساقين والفراشات رباعيات دائرية. أما الحَدَأة فتُعد دائرية إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.

إضافةً إلى ذلك، تُحسَب مساحة رباعي الأضلاع الدائري الذي أطوال أضلاعه: a وb وc وd ونصف محيطه s بالعلاقة S= (a+b+c+d)/2 بحسب صيغة براهماغوبتا الآتية:

ومن ناحية أخرى، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا في القرن الخامس عشر الميلادي صيغة إيجاد نصف قطرِ الدائرة المحيطة بدلالة أطوال الأضلاع ونصف المحيط:

تقاطعت مُنصَِفات أضلاعه العمودية في نقطة واحدة.

انطبقت عليه عكس مبرهنة قوة النقطة.

ومن ناحية أخرى، وُجِدت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرباعي على جهة واحدة من قاعدته. (رياضيًا: )

انطبق عليه عكس مبرهنة بطليموس.

وُجِدت زاويتان متقابلتان فيه متكاملتان.

المحيط والثابت π

من جانب آخر، يتناسب طول محيط الدائرة مع طول قطرها. ويُرمز لهذه النسبة بـ«π» أو «». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة π وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:

وفي السياق ذاته، مع أن تعريف π الأساسي بأنه نسبة المحيط إلى القطر، إلا أن لدى π تعريفات متكافئة أخرى تظهر في الكثير من الصيغ في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء. ويُمَثلُ بالحرف اليوناني π منذ منتصف القرن 18. مع أنه يُنطَق باي، إلا أنه يسمى كذلك ثابت أرخميدس. لا يمكن التعبير عن π بصيغة كسر لأنه عدد غير نسبي، أي لا يمكن كتابته بصورة a/b. بالمقابل، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. مع ذلك، فإن الكسور مثل 22/7 والأرقام الحقيقية الأخرى تستعمل عادة لتقريب π. كما أن π عدد متسامٍ؛ أي ليس جذرًا لأي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. حلت هذه الخاصية المسألة القديمة المتمثلة في تربيع الدائرة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب في القرنين العشرين والواحد والعشرين مقاربات جديدة اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسَّعت التمثيل العشري لـπ إلى الكثير من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية. تعلق الثابت π بالدائرة، جعله يوجد في الكثير من الصيغ في علم المثلثات والهندسة، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر، والقطوع الناقصة، ومجالات التحليل الرياضي.

وفي هذا الصدد، في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة π، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة π:

المحور الأساسي

ومن ناحية أخرى، المحور الأساسي لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشتركَ.

ومن جهة أخرى، لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.

إضافةً إلى ذلك، المحور الأساسي لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف المحور الأساسي بأنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح المحور الأساسي غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. المحور الأساسي عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:

المحور الأساسي لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.

وفي هذا الصدد، المحور الأساسي لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.

ومن ناحية أخرى، المحور الأساسي لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.

القرص

منطقة المستوى التي تحصرها الدائرة. ويُعرَّف رياضيًا:.

الأقواس

إضافةً إلى ذلك، إذا كان طول القوس يساوي l، فإن نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة تساوي نسبة قياس القوس إلى قياس الدائرة كاملة.

وفي هذا الصدد، يُعبِّر مصطلح «قياس القوس» عن قياس الزاوية المركزية التي تَحصِر القوس. وبما أن الدائرة قوس مُتَّصِل الطرفين فإن قياسها بالدرجات 360°. وعلى ذلك، يتساوى قياس الأقواس الناتجة عن قطع زاوية مركزية لدائرتين متحدتي المركز؛ لاشتراكهما في قياسِ الزاوية المركزية. ويتطابق قوسانِ من دائرة واحدة إذا وفقط إذا كان لهما القياس نفسه. وثمة قياسان شهيران للقوسِ:

وفي السياق ذاته، لتكن النقطتان A وB نقطتين مختلفتين على الدائرة C(O,r) فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر ، وقوس أكبر يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر أحياناً بالرمز عِوَضاً عن ذكر « الأكبر». يُعرَّف القوس الأصغر على أنه مجموعة النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية الداخلية ويُعبَّرُ عنه كذلك بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين A وB على الدَّائرة، ويُساوي قياسه قياسَ الزاوية المركزية المقابلة له، ويقل عن 180°. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر هو مجموعةُ النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه كذلك بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين A وB على الدَائرة، ويُساوي قياسه قياسَ الزاوية المركزية المقابلة له، ويزيد عن 180°. تُسمَّى النقطتان A وB طرفا القوس أو طرفا الوتر . في حالِ كَوْن النُّقطتين A وB نقطتين متقابلتين قُطريَّاً، فإن كُلاً من القوسين المقابلين لهما القياس نفسه، ويُسمَّى القوس الواحد نصف دائرة. وكل قطر في دائرة ما يُحدِّد نصفي دائرة.

القطع والجزئيات

مبرهنة فويرباخ

وعلى صعيد آخر، تنص مبرهنة فويرباخ على أنّ دائرةَ النقاط التسع لمثلثٍ ما تمسُّ دوائرَه الخارجية والداخلية. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ. وتُعدُّ نقطة فويرباخ مركزاً للمثلث. أي أن تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أو موضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي الألماني كارل فويرباخ والذي نشر مبرهنته عام 1822م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام مبرهنة كايزي التي نشرها جون كايزي عام 1866م، وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.

المستوى العَقَدي

كذلك، تُمَثَّلُ الدائرة ذات المركز c ونصف قطر r في المستوى العقدي بالمعادلةِ . وقد تُكتب كذلك على الصورة الوسيطية الآتية: . تُستعمل جذور الوحدة أو أعداد دي موافر أو الجذور النونية للعدد 1 من ضمن استعمالات الأعداد العقدية لإيجاد قيم دوال مثلثية وحل المسائل المتعلقة بالدائرة في الهندسة التحليلية. جذر الوحدة النوني هو عدد عقدي يقع على دائرة الوحدة، وعند رفعه للقوة n ينتج واحداً. تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد وحروف الزمر ونظرية الحقول وتحويل فوريي المنقطع.

التفاضل والتكامل

في هذا الإطار، (2πr) وارتفاعه r. فتصبح المساحة الكلية A=πr2. حل طريقة الاستنفاد بالإمكان إعادة صياغته لجعله أكثر رسمية في البراهين الرياضية عبر صيغة التكامل الآتية:

وعلى صعيد آخر، بُنيَت طريقةُ الاستنفادِ بناءً على افتراض أن الدائرة قُسمَّت إلى قطاعات مُتساوية، وأن الشكل الناتج الأخير سيكون قريباً جداً من متوازي الأضلاع. فتكونُ مساحة الدائرةِ مُساوية لمساحة متوازي الأضلاع، والتي يُمكن حسابها بجُداء القاعدة في الارتفاع. قاعدة متوازي الأضلاع ستكون نصف المحيط

علاوةً على ذلك، استعمل أرخميدس طريقة استنفاد لحساب مساحة الدائرة. قطَّع فيها الدائرة إلى أربعة قطاعات متساوية، ثم أعاد ترتيبها وأعاد تقطيها إلى قطاعات مُتساوية مُجددًا، واستمرَّ في ذلك إلى أن وصل إلى شكل مشابه لمتوازي الأضلاع:

وفي السياق ذاته، بالإمكان الوصول إلى هذه النتيجة بصيغة طول القوس بالإحداثيات القطبية في التفاضل والتكامل:

في الدائرة ذات القطر d ونصفه r، يكون محيطها C:

في الأبعاد الأخرى

العلاقات مع المضلعات

إضافةً إلى ذلك، ثمة علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماس. تُعرَف المضلعات المماسية بأنها مُضلَّعات لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو امتداداتها. المثلثات والمُضلَّعات المنتظَمة كلها مُضلَّعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها كذلك.

من جهة ثانية، لكل مثلث ثمة دائرة وحيدة تمر برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصية التي تتمتع بها المُضلَّعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدائرية»، فيقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مشترِكة بدائرة. مع أن جميع المثلثات دائرية، إلا أن المُضلَّعات الأخرى لا تتمتع بهذه الخاصية. فمثلًا، جميع يستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوس المضلعات غير المُحدًّبة، وليست لجميع الرباعيات دوائرَ محيطة. ثمة مُضلَّعات شهيرة تُصنَّف دائمًا بأنها دائرية، منها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين والمُربّع وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.

التحويلات الهندسية

ثمة تحويلان هندسيان رئيسان مرتبطان بالدوائر: