دالة

الدوال الشمولية والدوال التباينية والدوال التقابلية

إضافةً إلى ذلك، تكون دالة ما تقابلًا، وقد يقال دالة تقابلية إذا كانت في آن واحد شمولية وتباينية. أما الدالة الشمولية فهي دالة تضمن وجود سابق لكل عنصر من عناصر مجموعة الوصول. وأما الدالة التباينية فهي كل دالة تضمن الاختلاف عند اختلاف المداخل.

من جانب آخر، إذا كانت الدالة تقابلًا، فإن لها دالة الدالة العكسية مجموعة انطلاقها هي مجموعة وصول الدالة ، ومجموعة وصولها هي مجموعة انطلاق .

أنواع الدوال

هناك أنواع عديدة من الدوال.

أي أن

من جهة ثانية، عندئذ نجد أن العنصر من المنطلق يرتبط بالعنصر من المستقر فقط. العنصر من المنطلق (أو المجال) يرتبط بالعنصر فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر من المستقر أن يرتبط بعنصرين و من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية.

كذلك، بأخذ نجد ، هنا بالتعريف أعلاه اختُصرت الدالة التربيعية بالحرف .

الدوال الذاتية الاستدعاء

كذلك، هي دوال يُحتاج في تعريفها إلى استدعاء الدالة ذاتها، دالة العاملي مثالًا.

المتتاليات

وعلى صعيد آخر، إذا كانت مجموعة انطلاق دالة ما هو مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية، فإن هذا الدالة تسمى متتالية.

الدوال الزوجية والدوال الفردية

ومن ناحية أخرى، إذا كانت دالة ما تعطي نفس النتيجة عندما تطبق على العدد وعلى مقابله، فإن هذه الدالة تسمى دالة زوجية. وإذا كانت تعطي قيمةً ما عندما تُطبق على عدد ما وتعطي مقابل هذه القيمة عندما تطبق على مقابل هذا العدد، فإن هذه الدالة تسمى دالة فردية.

مثال

الدوال الحقيقية والدوال المركبة

وفي هذا السياق، لتكن إذا اشتقاقها هو ، لاحظ أن و إذا الدالة متزايدة في و متناقصة في ، تكون الدالة ثابتة في . وبالتالي فإن هذه الدالة ليست رتيبة (طالع الصورة)

الدالة المركبة والدالة التحليلية

أنواع أخرى

وفي هذا الصدد، الدالة الثابتة والدالة المستمرة والدالة الضمنية والدالة الأسية والدالة الصريحة والدالة المتطابقة.

بالمقابل

مصطلحات

،

وفي هذا السياق، ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد قد يحتمل قيمتين هما و. لهذا، إذا أردنا أن نجعل الجذر التربيعي دالة فيجب أن نحدد أي جذر نختار، السالب أم الموجب. التعريف

وفي السياق ذاته، يعطي لأي مدخل غير سالب مخرجًا واحدًا فقط هو الجذر التربيعي الموجب.

الدوال المتزايدة والدوال المتناقصة والدوال الرتيبة

وفي هذا السياق، لمعرفة ما إذا كانت الدالة ، دالة متزايدة أو متناقصة أو رتيبة، يجب أخذ اشتقاق الدالة ، فإذا كان اشتقاقها أكبر قطعا من الصفر ، إذا الدالة متزايدة، إذا كان إشتقاقها أصغر قطعا من الصفر تكون الدالة متناقصة. إشتقاق الدالة الثابتة يساوي الصفر.

من جانب آخر، الدوال المتزايدة هن دوال تكبر قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها والدوال المتناقصة فهن دوال تنقص قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها. وأما الدوال الرتيبة فهن الدوال اللائي يحافظن على ترتيب ما، أي أنهن إما متزايدة أو متناقصة وليس الصفتين معا.

مجال الدالة

وعلى صعيد آخر، مجال دالة أو مجموعة تعريفها هو مجموعة جزئية من المنطلق حيث الدالةُ معرفةٌ. أي حيث الدالة تربط حتميا العنصر بمجموعة الانطلاق بعنصر من مجموعة الوصول. مثلًا، دالة الجذر التربيعي لا تعرف إلا على الأعداد الموجبة. إذن مجموعة انطلاق هذه الدالة هي ℝ بينما مجالها فهو ℝ+.

مدى الدالة

إضافةً إلى ذلك، عادة ما تسمى الدالة تطبيقًا، ولكن هناك من الكتاب والعلماء من يضع فرقا بينهما. مثلًا، فهناك من يعرف التطبيق دالةً إضافة إلى عدد من البُنى الخاصة.

ما الدالة وما التطبيق ؟

من جهة ثانية، ويجب عدم الخلط بين المدى والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المدى مجرد مجموعة جزئية من المستقر.

وعلى صعيد آخر، مدى الدالة هو مجموعة القيم المحتمل خروجها ناتجًا للدالة بعد التعويض بالقيم الخاصة بمجال الدالة فمثلًا فإن هذه الدالة تتكون من مجال يمثل كل قيم الممكنة أما مدى الدالة فهو يمثل كل قيم المحتمل خروجها ناتجًا للتعويض في هذه الدالة.

مدى دالة هو مجموعة القيم الفعلية للدالة .

انظر إلى نظام تحريكي وإلى تطبيق بوانكاري.

تاريخ

وفي هذا السياق، صاغ مصطلح «function» بالإنكليزية العالم غوتفريد لايبنتز في سنة 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني.

• معرض صور
• انظر كذلك
• قائمة الدوال الرياضية
• تابع كوب-دوغلاس
• تابع الإنتاج
• دالة متعددة التعريف
• دالة متعددة القيم
• دالة تربيعية
• دالة تكعيبية
• دالة رباعية
• التكامل الوظيفي

ومن جهة أخرى، تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.