دالة أسية

N = 64

وفي هذا الصدد، أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

(x = exp(n

• حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828
• وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.
• أو بالتفصيل:

N = 8

N = 26

وفي السياق ذاته، فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:

امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e

نكتب المعادلة الآتي:

التزايد السكاني:

ومن جهة أخرى، يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

المجموع الثاني

أمثلة

نهاية هذا المجموع:

دوال أسية أخرى

• أو: أو:
• مثال آخر للدالة الأسية:
• y = ل مرفوعة للقوة x ، وتكتب رياضيا كالآتي:

وذلك لجميع

من جانب آخر، وجميع الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

وفي السياق ذاته، للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

من جهة ثانية، وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = en حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e-t.c.

علاوةً على ذلك، يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

كذلك، ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي مثلًا يكون n = t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.

مثال للدالة الأسية بصفة عامة

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:

N = 23

وفي هذا السياق، تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e

أقل شيوعا يمكن تعريف ex كحل للمعادلة التالية:

في هذا الإطار، يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:

هي كذلك تساوي النهاية التالية:

x = en

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

مشتقة الدالة الأسية للأساس e

علاوةً على ذلك، وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).

من جانب آخر، تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:

في هذا الإطار، وتعتمد: على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.

المعادلة التفاضلية من النوع حيث a و b عددان حقيقيان

المجاميع أسية

من جهة ثانية، وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد e في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.

وعندما نختار لها الشرط:

قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:

مثال:

وفي السياق ذاته، تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون

حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:

ينتج:

ومن جهة أخرى، إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث حيث ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

ليكن عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث

N = 4. e0,025.6

أو:

a1 = a

ومن جهة أخرى، الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:

• حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.
• يمكن تحويل الدالة الأسية إلى أي أساس آخر :
• وتنطبق القوانين التالية عليها:
• ...و...

وفي هذا السياق، من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز ln ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».

أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:

كذلك، وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة و وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة .

y = لx

أي أن الدالة الأسية بصفة عامة:

حيث ل> صفر.

خواص الأسس

• التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.
• من خواص الدالة الأسية:
• a0 = 1

المجموع الأول

نهاية هذا المجموع:

X = yn

من جهة ثانية، تستعمل في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستعمل «هـ» بدلا عن e.

الدالة الأسية للثابت الطبيعي e

وتكتب باللغة الإنجليزية:

إضافةً إلى ذلك، هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستعمل بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).

N = 1. e0,34

• باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.
• مثال 4:
• تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:
• حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض .
• (أنظر تغير الضغط بالارتفاع)
• اقرأ كذلك
• الدوال الإبتدائية
• تغير الضغط بالارتفاع
• توزيع بولتزمان
• احصاء ماكسويل-بولتزمان
• تجانس
• اختبار الوحدات

(N = 4. Exp(0,025.6

من جانب آخر، تكوّن النجوم: تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.

• والنتيجة:
• مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات.
• مثال 3 :

N = 1. e0,002.170