دالة تربيعية

رسم الدالة التربيعية وحيدة المتغير

إذا كان ، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأعلى

علاوةً على ذلك، يتحكَّم المعامل بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً.

كذلك، يتحكَّم المعاملان و معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (كذلك إحداثيات لذروة المنحني) والذي

وعلى صعيد آخر، بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). وبالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات .

بينما يتحكَّم المعامل بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور .

إذا كان ، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأسفل

القيمتين الكبرى والصغرى

• هي جذر إذا كانت وبالتالي
• وبالتعويض في الدالة نجد
• وبالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة بالصيغة
• جذور الدالة وحيدة المتغير

كذلك، باستخدام التفاضل والتكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة والتمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، وذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق:

الحد الأعلى لحد الجذور

ومن ناحية أخرى، لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية) أن تكون أكبر من حيث النسبة الذهبيّة وهي

التكرار

• مثلًا، للمعادلة التكرارايّة الآتية
• وعندما يكون
• حيث
• and

وفي السياق ذاته، لتكرار دالة يتم تطبيق الدالة مراراً وتكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي.

وفي السياق ذاته، لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ والذي يعني أن nth تكراراً لِـ.(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس إذا كان العكس موجوداً) ولكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق.

أخيراً لدينا

وهو الحل.

المعاملات

وعلى صعيد آخر، تكون عادةً معاملات كثيرات الحدود أرقام حقيقية أو مركّبة، ولكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي حلقة.

يُدعى الشكل المعياريّ

وفي هذا الصدد، يُدعى الشَّكل المُفَكَّك (المُحلَّل إلى عوامل)، حيث و جذور للدالة التربيعيّة وحلول للمعادلة التربيعيّة (من الدرجة الثانية) الموافقة لهذه الدالة.

وفي هذا الصدد، للمعامل القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. وللتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين و. وللتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى إكمال المربع. وللتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.

وفي هذا السياق، يُدعى الشكل المُتَّجِهيّ وو و هي إحداثيّات المتجه على التوالي.

إلى الشكل

لذا تكون ذروة القطع المكافئ في الشكل المعياريّ

علاوةً على ذلك، وإذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله)

الجذور

• إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر و
• هي قيم التي تجعل .
• وعندما تكون المعاملات و و أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور

دالة تربيعية ثنائية المتغيرات

وفي هذا الصدد، تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). وإن الإعداد يُعادل الصفر ويصف تقاطع السطح مع المستوى ، وهو موضع من النقاط مُعادل للقطع الناقص.

حيث A و B و C و D و E معاملات ثابتة و F حدٌ ثابت.

ومن ناحية أخرى، يشير مصطلح الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل

أشكال الدالة التربيعيّة ذات المتغير الواحد

يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ:

المتغيرات

ومن جهة أخرى، يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على متغيّر (متحوِّل) مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات).

حل المتتالية اللوجيستية عندما تكون r=2

وفي هذا الصدد، من أجل . وإذا لأي قيمة من ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح يسعى إلى 0 كما تسعى n إلى اللانهاية، لذا فإن تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرة.

الحل:

اشتقاق الاسم

المصطلح

علاوةً على ذلك، يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم باللغة الإنجليزيّة، وتُشتقُّ من الكلمة اللاتينيّة quadrātum والتي تعني «مُرَبَّع». كما يُطلَق اسم مُربَّع كذلك في الجبر على الرمز وذلك بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.

وإن الخط العمدي التالي

والذي يم من الذروة هو كذلك محور تناظر القطع المكافئ.

حالة متغيران

قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي

إضافةً إلى ذلك، حيث x و y متغيِّرات، بينما a و b و c و d و e و f معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـلقطوع المخروطيّة، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة f (x, y) إلى الصفر. وبشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع السطوح التربيعيّة والسطوح الفائقة. في الجبر الخطيّ، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على الفضاء المتجهيّ.

الدرجة

كذلك، أحياناً تُستعمل كلمة «مرتبة» أو «رتبة» بمعنى «درجة»، مثلاً كثير حدود أو متعدد حدود من المرتبة الثانية أو الرتبة الثانية.

علاوةً على ذلك، عند استخدام مصطلح كثير حدود أو متعدد حدود من الدرجة الثانية، يقصد الكتاب أحياناً «أن كثير الحدود الدرجة 2 بالضبط»، وأحياناً «أن كثير الحدود من الدرجة 2 على الأكثر» وإذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها «حالة تدهور». وغالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق.

حالة متغير واحد

قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي

وفي السياق ذاته، حيث x هو المتغيِّر، و aو b و c تُمثِّل المعاملات. وفي الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية وتُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، وقد يكون من الممكن إيجادها من خلال تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة أو إكمال المربع أو من خلال رسم بياني للدالة أو من خلال طريقة نيوتن أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ قطعاً مكافئاً.

الذروة

وعلى صعيد آخر، تقابل ذروة القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. وإذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي . ويمكن باستخدام طريقة إكمال المربع، تحويل الشكل المعياريّ

فإن متوسط الجذرين

هو إحداثية الموافقة لذروة القطع، وتكون إحداثيات الذروة

إضافةً إلى ذلك، كما أن الذروة كذلك هي أكبر نقطة إذا كانت أو أصغر نقطة إذا كانت

الجذر التربيعي لدالة تربيعية وحيدة المتغير

كذلك، يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد.

وفي السياق ذاته، إذا كانت فإن المعادلة تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور ) من القطع المكافئ المقابل . إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً.

وفي السياق ذاته، إذا كانت فإن المعادلة تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، ولكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط.

يمكن حل المتتالية اللوجستية

وعلى صعيد آخر، بالمعلمة 2<r و r<4 في حالات محددة، إحداها الحالة الفوضويّة وإحداها ليست. في الحالات الفوضويّة r=4 الحل هو

في هذا الإطار، حيث تُعطى معلمة الحالة البدئية بواسطة . ولقيمة عقلانية لِـ، بعد عدد منتهي من التكرارات متتالية إلى سلسلة دوريّة. ولكن على وجه التقريب جميع غير منطقيّة، ومن أجل منطقية لا تُكرِّر نفسها أبداً، وهي غير دوريّة وتعتمد على الحالة البدئية، لذا يُقال أنها فوضويّة.

النقاط الصغرى والكبرى

علاوةً على ذلك، إذا كانت فإن الدالة ليس لها قيم صغرى أو كبرى، ورسمها البيانيّ سطح مكافئ زائدي

علاوةً على ذلك، إذا كانت فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان A>0 وقيمة كبرى إذا كان A<0، ويكون الرسم البياني للدالة سطح مكافئ إهليلجيّ. في هذه الحالة تقع القيم الصغرى أو الكبرى عند حيث:

كذلك، و إذا كانت و لا يكون للدالة قيم صغرى أو كبرى، ويكون الرسم البيانيّ بشكل أسطوانة مكافئة.

• انظر كذلك
• شكل تربيعي
• معادلة تربيعية
• قائمة الدوال الرياضية
• سطح درجة ثانية
• قائمة الدوال الرياضية
• التكامل الوظيفي

وفي السياق ذاته، إذا كانت و فإن الدالة تحقق قيم صغرى وكبرى عند حد أدنى إذا كانت A>0 وأعلى إذا كانت A<0، ويكون رسمها البياني بشكل أسطوانة مكافئة

و بالاستقراء نجد

يمكن الحصول عليه، حيث يمكن حسابه بسهولة كـ