دالة مستمرة

تعريفات وأمثلة

ومن ناحية أخرى، لننظر مجددًا إلى دالّة بمتغيّر واحد حقيقي قيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العدد هو أحد عناصر نطاق الدالّة . تكون الدالّة هي دالة مستمرة في النقطة إذا تحقّق أنّ: لكل ، مهما كان صغيرًا، يوجد عدد ، بحيث أنّ لكل في نطاق الدالّة الذي يحقّق ، يتحقّق التالي بالنسبة لـ:

في هذا الإطار، بدون اللجوء إلى الحديث عن النقاط الحدوديّة، بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي:

تعريف الاستمراريّة بحسب كوشي (إبسيلون-دلتا)

وفي هذا الصدد، هنالك أكثر من تعريف رياضي واحد لاستمراريّة الدالة، وبالإمكان إثبات تكافئ هذه التعاريف، أي أنّه إذا فرضنا أنّ الدالة مستمرّة وفق أحد التعريفات فبالإمكان برهنة استمراريتها وفق التعريفات الأخرى.

إضافةً إلى ذلك، إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضي أوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوار ، مهما كان صغيرًا، لـ، فبالإمكان إيجاد جوار لـ بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.

من جهة ثانية، وبتدوين بديل: إذا كانت المجموعات ، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة، ، فإنّ استمراريّة الدالّة في النقطة تعني أنّه لكل ، هنالك يحقّق لكل :

أمثلة

بالمقابل، بعض الدوال، كالدالّة الآتية:

وفي هذا السياق، هي دوال مستمرّة في نقطة واحدة فقط. في هذه الحالة فإنّ الدالة مستمرّة في النقطة ؛

إضافةً إلى ذلك، هنالك بعض الدوال التي هي غير مستمرّة في أيّة نقطة في نطاقها.أشهرها تسمّى دالة ديريخليه، على اسم العالم الألماني يوهان ديريخليه، وتعريفها كالتالي:

وفي السياق ذاته، جميع الدوال النسبية والدوال الأسّيّة والدوال اللوغاريتميّة ودوال الجذر التربيعي والدوال المثلثية ودوال القيمة المطلقة جميعها دوال مستمرّة؛

كل الدوال متعددة الحدود هي دوال مستمرّة؛

إضافةً إلى ذلك، أي أنّ الدالة تحصل على القيمة 1 لكل ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية (أي التي بالإمكان كتابتها على شكل كسر عادي أو عدد كسري)، وعلى القيمة لكل لا ينتمي إلى تلك المجموعة، أي لكل عدد غير نسبي. بالإمكان برهان أنّه على محور الأعداد الحقيقية، يوجد بين كل عددين نسبيين عدد غير نسبي، وبين كل عددين غير نسبيين عدد نسبي. بالاعتماد على هذا، فإنّ دالة ديريخليه هي دالّة غير مستمرّة في أيّة نقطة؛

الدالّة الآتية:

وعلى صعيد آخر، هي دالّة مستمرّة في كل نقاط نطاقها، ما عدا النقطة ، لذا فإنّها دالّة غير مستمرّة. فبالإمكان برهنة عدم استمراريتها بحسب تعريف كوشي أعلاه: إذا اخترنا ، فلا يمكن أن نجد أيّ جوار حول النقطة تكون فيها قيم الدالة بين وبين ، إذ أنّ لكل .

دوال مستمرّة بقيم حقيقيّة

إضافةً إلى ذلك، وتدعى الدالّة دالة مستمرّة إذا تحقّق الشرطان أعلاه لكل نقطة في نطاق الدالّة. بشكل عام، نقول أنّ الدالة مستمرة على مجموعة جزئية من نطاق الدالّة، إذا كانت مستمرّة في كل نقطة في هذه المجموعة. تسمية الدالة بدالة مستمرة تعني بشكل عام أنّ الدالة مستمرة لكل الأعداد الحقيقيّة.

من جهة ثانية، لنفرض دالّة معيّنة بمتغيّر واحد تحوّل أعدادًا حقيقية إلى أعداد حقيقية، وأنّ نطاقها هو مجال فاصل ما (كفترة زمنيّة مثلاً)، مثل الدوال و. بالإمكان رسم دالة كهذه في نظام إحداثي ديكارتي؛ وتكون هذه الدالّة دالة مستمرة إذا ما كان رسمها البياني منحنًى واحدًا غير منقطعًا، بدون «ثغرات» أو «قفزات».

أن تكون القيمة معرّفة، أي أنّ هو عنصر تابع لنطاق الدالّة ؛

من جانب آخر، كثيرًا ما يستعمل التدوين أو للدلالة على مجموعة كل الدوال المستمرّة في النطاق . على هذا النمط، فينوّه التدوين إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة والتي مشتقّاتها هي دوال مستمرّة، والتدوين إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة مرّتين والتي مشتّقاتها الثانية هي دوال مستمرّة، وهكذا دواليك.

وفي هذا الصدد، التعريف الأدق هو أنّ الدالة هي دالة مستمرة في نقطة معيّنة، ، إذا تحقّقت الشروط التالية:

كذلك، هنالك نهاية للدالة عند اقترابها من العدد إمّا من اليمين أو من اليسار وهي تساوي .

تعريف الاستمراريّة بحسب نهايته

أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضي الألماني إدوارد هاينه.

في هذا الإطار، ويقضي التعريف بأنّ الدالّة الحقيقيّة تدعى مستمرّة إذا كانت كلّ متتالية تحقّق:

من جهة ثانية، أي أنّ نهاية الدالة عند اقترابها من نهاية المتتالية تساوي قيمة الدالة في نهاية المتتالية ، أي . هذا وقد افترضنا في التعريف أعلاه أنّ كل حدود المتتالية، ونهايتها كذلك، كلّها موجودة في نطاق الدالة .

أي أنّه إذا كانت نهايتها هي العدد ، يتحقّق كذلك:

،

،

أمثلة

ومن ناحية أخرى، على أنّها دالّة غير مستمرّة بسبب عدم استمراريّتها في النقطة . مع هذا، فإنّ هذه الدالّة هي دالّة مستمرّة من اليسار لكل : لكل نقطة في النطاق، بامكان اختيار جوارًا من جهة اليسار لا نلاحظ فيه أي عدم استمراريّة عند التقدم نحو النقطة فيه. أمّا بالنسبة لاستمراريّة من اليمين فهي لا تتحقّق، لنفس السبب الذي يجعل الدالّة غير مستمرّة.

في بند الأمثلة السابق، ذكرت الدالّة الآتية:

إضافةً إلى ذلك، إنّ دالة التوزيع التراكمي في نظرية الاحتمالات هي دالّة مستمرّة من اليمين دائمًا.

خواص الدوال المستمرّة

علاوةً على ذلك، مثال توضيحي: إذا ازداد طول طفل من 1 متر إلى 1.5 مترًا من جيل سنتين حتّى جيل 6 سنوات، فبالتأكيد كان طول الطفل 1.25 مترًا في نقطة ما من الزمن بين جيل سنتين وجيل 6 سنوات، لأنّ طول الطفل كدالة من الزمن هي دالّة مستمرّة؛

من جانب آخر، إذا كانت الدالّة قابلة للمفاضلة في النقطة ، فهي بالضرورة مستمرّة في هذه النقطة. أمّا العكس فليس صحيحًا، فمثلًا: الدالّة هي دالّة مستمرّة في النقطة ولكنّها ليست قابلة للمفاضلة في تلك النقطة؛

وفي السياق ذاته، إذا كانت الدالّة الحقيقية مستمرّة على المجال الفاصل المغلق ، وإذا كان عددًا حقيقيًا بين و، فيوجد بالضرورة عدد في المجال الفاصل يحقّق: .

ومن جهة أخرى، إذا كانت الدالّة الحقيقية مستمرّة على المجال الفاصل المغلق ، وكانت القيمتان و تختلفان بالإشارة، فتوجد بالضرورة نقطة في المجال الفاصل تحقّق: ، أي هنالك بالتأكيد نقطة صفرية للدالة f في المجال الفاصل.

إحدى النتائج المهمّة من النظرية السابقة:

مبرهنة القيمة الوسطية:

خواص أخرى:

• لنفرض دالّتين مستمرّتين، و، إذًا:
• الدالّتان و وأي تركيب خطّي لهاتين الدالتين كلّها دوال مستمرّة؛
• الدالّة هي دالّة مستمرّة؛
• إذا كانت الدالّة g تحقّق أنّ لكل في نطاقها، فإنّ الدالّة هي دالّة مستمرّة؛

من جهة ثانية، إنّ تركيب الدالتين و هو دالّة مستمرّة، أي أنّ الدالّة المركّبة هي دالّة مستمرّة.

استمرارية أحادية الجهة

كذلك، أي أنّ الشرط يتحقّق فقط لجميع النقاط في جوار الذي يقع إلى يمين النقطة . وتعرّف الاستمراريّة من اليسار بطريقة مشابهة، مع تعديل الشرط إلى الشرط التالي:

في هذا الإطار، وتكون الدالة مستمرّة إذا وفقط إذا كانت مستمرّة من اليمين وكذلك من اليسار.

وفي هذا السياق، تكون الدالة مستمرّة في النقطة إذا تحقٌق الآتي: لكل ، يوجد بحيث:

وفي هذا السياق، قد تكون بعض الدوال مستمرّة من جهّة واحدة فقط، أي من جهّة اليسار أو من جهّة اليمين. وتعرّف الدالّة المستمرّة من اليمين بهذا الشكل: لكل نقطة في نطاق الدالّة، إذا اقتربنا من هذه النقطة من جهّة اليمين فقط، نرى أنّها مستمرّة. من ناحية تعريف كوشي، فإنّه يشبه التعريف الأصلي مع تعديلات بسيطة: