دالة W للامبرت
في البداية، في الرياضيات ، دالة W لِلامبرت أو دالة أوميغا، هي دالة متعددة القيم، والتي تساوي مجموعة فروع الدالة العكسية للدالة ، حيث أن هو عدد مركب و هي الدالة الأسية. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
يحدث إذا وفقط إذا :
من جانب آخر، لهذه المعادلة حل فقط لكل ; نحصل على اذا كان ، والقيمتين و كذلك اذا كان (كما ترون في الصورة).
ومن ناحية أخرى، لكل عدد صحيح يوجد فرع واحد، يُرمز له بِـ . يعرف بالفرع الرئيسي. لهذه الدوال توجد خاصيّة: إذا كان و- عددان مركبان، ينتج أن:
وعلى صعيد آخر، هذه الدالة (أو عائلة الدوال) مفيدة في التوافقيات، مثلًا، في عد الأشجار. يمكن استخدامها لحل المعادلات التي تحتوي على أس (مثلًا الحد الأقصى لمعادلة بلانك، ومعادلة توزيع بوز-آينشتاين، ومعادلة توزيع فيرمي-ديراك).
لـ صحيح.
التكامل المحدود
في هذا الإطار، المعادلة الثالثة تنبع من المعادلة الثانية مع تعويض وفضلًا عن ذلك فإن المعادلة الأولى تنبع كذلك من المعادلة الثالثة بتعويض .
- هناك بعض التكاملات المحدودة المفيدة للفرع الرئيسي من الدالة W للامبرت. مثل:
- يمكن إيجاد المعادلة الأولى عن طريق كتابة التكامل الغوسي في الإحداثيات القطبية.
- ويمكن إيجاد المعادلة الثانية باستخدام التعويض ، فيمكنك كذلك:
الأصل وسبب التسمية
وفي هذا الصدد، في بعض الأحيان الفرع الرئيسي يرمز له كذلك بـ والفرع يرمز له كذلك بـ .
وفي هذا السياق، في بعض الأحيان تسمى الدالة كذلك " لوغاريتم المضروب" (product logarithm) لأنه إذا كانت الدالة العكسية لـ تسمى اللوغاريتم، لذا فمن المنطقي تسمية الدالة العكسية للمضروب بالاسم "لوغاريتم المضروب"
التفاضل والتكامل
من جانب آخر، تمت تسمية دالة W لِلامبرت على اسم عالم الرياضيات يوهان هاينريش لامبرت.
في الفرع الرئيسي سوف نتلقى .
المشتقة
- ( ليست قابلة للاشتقاق لـ ) ولذلك، نحصل على الصيغة التالية:
- وباستخدام المتطابِقَة نحصل على التالي:
- في الفرع الرئيسي سوف نحصل على .
إضافةً إلى ذلك، بحسب طريقة إيجاد مشتقة دالة مغلقة، يمكن إثبات أنه بالنسبة لجميع فروع توجد معادلة تفاضلية عادية:
التكامل
إذا استعملنا أن سنحصل على:
المعادلة الثانية هي الأكثر استخداما، ولكنها غير معرفة لـ .
وفي هذا الصدد، يمكن تكامل الدالة والكثير من الدوال الأخرى التي تحتوي على الدالة W فيها باستخدام التكامل من خلال طريقة التعويض:
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟