دلالة موضعية

مسائل متعلقة بذلك

من جانب آخر، كانت الحجة الرئيسية ضد النظام الموضعي هي قابليته للتزوير بسهولة عن طريق وضع رقم في بداية أو نهاية العدد، وبالتالي تغيير (مثلًا) 100 إلى 5100 بإضافة القم 5 إلى اليسار، أو 100 إلى 1000 بإضافة الرقم 0 إلى اليمين. ولمنع التزوير تتطلب الشيكات الحديثة كتابة العدد بالحروف، إلى جانب العدد العشري نفسه. وللسبب نفسه، يستعمل الصينيون كذلك الأرقام باللغات الطبيعية، مثلًا 100 مكتوبة على أنها 壹佰 ، والتي لا يمكن أبدًا تزويرها بـ 壹仟 (1000) أو 伍仟 壹佰 (5100).

الرياضيات

oooooooo oooooooo

كذلك، يمكن زيادة الترميز من خلال السماح بعلامة السالب. وهذا يسمح بتمثيل الأرقام السالبة. بالنسبة لأساس معين، فإن كل تمثيل يتوافق مع رقم حقيقي واحد بالضبط، وكل رقم حقيقي له تمثيل واحد على الأقل. تمثل الأرقام الكسرية باستخدام البسط والمقام وبينهما خط أفقي، أو ربما بدورة أرقام متكررة بشكل لا نهائي. فمثلا الرقم (1/3) يمكن تمثيله على الصورة (0.3333333).

تاريخيا

وفي السياق ذاته، اخترع أرخميدس (ca. 287-212 قبل الميلاد) نظامًا موضعيًا عشريًا في كتابه " Recogner Sand" الذي استند إلى 10 8 وقاد لاحقًا عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريك غاوس للتعبير عن ارتياح ما كان يمكن أن يصل إليه العلم في أيامه إذا كان أرخميدس قد أدرك تماما إمكانات اكتشافه البارع.

وعلى صعيد آخر، قبل أن يصبح الترميز الموضعي قياسيًا، تم استخدام أنظمة مضافة بسيطة (تدوين علامة القيمة) مثل الأرقام الرومانية، واستعمل المحاسبون في روما القديمة وأثناء العصور الوسطى المعدادات (أباكوس) أو العدادات الحجرية للقيام بالعمليات الحسابية.

من جانب آخر، تم استخدام قضبان العد وأغلب العدادات (أباكوس) لتمثيل الأعداد في نظام الأرقام الموضعية. مع وجود قضبان العد أو المعداد للقيام بعمليات حسابية، يمكن بسهولة كتابة قيم البدء والقيمة المتوسطة والنهائية للحساب من خلال نظام إضافة بسيط في كل موضع أو عمود. لم يتطلب هذا النهج أي حفظ للجداول (كما هو الحال في التدوين الموضعي) ويمكن أن يعطي نتائج عملية بسرعة. على مدى أربعة قرون (من القرن الثالث عشر إلى السادس عشر) كان هناك خلاف قوي بين أولئك الذين كانوا يؤمنون بتبني النظام الموضعي في كتابة الأرقام وأولئك الذين أرادوا البقاء مع نظام المضاف-مع-المعداد. على الرغم من أن الآلات الحاسبة الإلكترونية قد حلت بدرجة كبيرة محل المعداد، إلا أن الأخير لا يزال يستعمل في اليابان ودول آسيوية أخرى لتعليم الأطفال.

كذلك، بعد الثورة الفرنسية (1789-1799)، روجت الحكومة الفرنسية الجديدة لتمديد النظام العشري. بعض هذه الجهود المؤيدة للنظام العشري - مثل الوقت العشري والتقويم العشري - لم تنجح.ابينما جهود تحويل العملات decimalisation والنظام المتري من الأوزان والمقاييس فقد انتشرت على نطاق واسع من فرنسا إلى العالم كله على وجه التقريب.

وعلى صعيد آخر، يستعمل نظام القاعدة 10 (العشري) في الوقت الحالي في كل مكان. وقد استعملت قواعد أخرى في الماضي، وبعضها لا يزال يستعمل حتى اليوم. مثلًا، كان نظام الأرقام البابلية، المعتمد كأول نظام يستعمل دلالة الموضع، يستعمل الأساس 60 ، ولكنه افتقر إلى قيمة حقيقية للعدد 0. تمت الإشارة إلى الصفر بواسطة مسافة بين الأرقام. بحلول سنة 300 قبل الميلاد، تم ترميز رمز الترقيم (اثنين من الأسافين المائلة) لحفظ المكان في نفس النظام. وفي أحد الاكتشافات في كيش (التي يرجع تاريخها إلى نحو 700 قبل الميلاد) كتب الكاتب Bêl-bân-aplu أصفاره بثلاثة خطافات، بدلاً من الأسافين المائلة. لم يكن العنصر النائب البابلي صفراً حقيقياً لأنه لم يتم استخدامه وحده. كما أنه لم يستعمل في نهاية الرقم. وهكذا بدت الأرقام مثل 2 و 120 (2 × 60)، 3 و 180 (3 × 60)، 4 و 240 (4 × 60) متشابهة، لأن الأعداد الكبيرة كانت تفتقر إلى عنصر نائب في نهايتها. وكان يمكن تمييزها فقط من السياق.

الأعداد والأرقام

وفي هذا السياق، يمكن توسيع استخدام الموضع إلى الأس السالب للأساس b . في هذه الحالة، تُستعمل النقطة "radix"، ويُرمز لها "."، كفاصل للمواقع ذات الأس الموجب عن تلك ذات الأس السالب.

في هذا الإطار، تستعمل الأعداد غير الصحيحة أماكن على يمين نقطة الجذر . لكل موضع خلف هذه النقطة (وبالتالي بعد رقم الآحاد)، يتناقص الأس n للقيمة b n بمقدار 1 . مثلًا، العدد 2.35 يساوي:

في هذا الإطار، الرقم (digit) هو ما يستعمل كموضع في تدوين قيمة المكان، والعدد (numeral) هو واحد أو أكثر من الأرقام. الأرقام الأكثر شيوعًا اليوم هي الأرقام العشرية "0" و "1" و "2" و "3" و "4" و "5" و "6" و "7" و "8" و "9".

وفي هذا السياق، العدد غير الصفري الذي به أكثر من رقم واحد يُمثل عددا مختلفا وفق نظم العد ذات الأساسات المختلفة، ولكن بصفة عامة، فإن الأرقام تعني نفس الشيء. فالعدد 23 8 في النظام الثماني يحتوي على رقمين، "2" و "3"، ويساوي 19 في النظام العشري، بينما العدد 23 5 يساوي 13 في النظام العشري. وهنا يتضح أهمية كتابة أساس النظام. فلو تخيلنا العدد "23" غير معروف الأساس، فمن المحتمل أن يكون "23" للأساس-4 وبالتالي يساوي 11، أو للأساس-60 وبالتالي يساوي 123. أي أن الرقم "23" يمكن قراءته على أنه "2" من الأساس و "3".

نقطة الجذر (فاصلة الكسر)

ooooo ooooo

• العدد 241 في نظام الأساس 8:
• به مجموعتين من 82 (64) و 4 مجموعات من 8 ومجموعة واحدة من 1
• oooooooo oooooooo
• oooooooo oooooooo
• oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo
• oooooooo oooooooo + + o
• oooooooo oooooooo
• oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo
• oooooooo oooooooo

الرموز

إضافةً إلى ذلك، عند وصف «الأساس» في الترقيم الرياضي، يتم استخدام الحرف b عمومًا كرمز (اختصارا لكلمة base)، لذلك، بالنسبة للنظام الثنائي، يكون الأساس b=2. هناك طريقة أخرى شائعة للتعبير عن الأساس وذلك بكتابته على هيئة علامة عشرية (سفلية) بعد الرقم الذي يتم تمثيله (يتم استخدام هذا الترميز في هذه المقالة). فمثلا 1111011 2 يعني أن الرقم 1111011 هو رقم أساس 2، وهو يساوي 123 10 (وفق النظام العشري)، وكذلك يساوي 173 8 (بنظام العد الثماني).

إضافةً إلى ذلك، يمكن كذلك الإشارة إلى الأساس b بعبارة «أساس-b». إذن الأرقام الثنائية هي «أساس-2»؛ الأرقام الثمانية هي «أساس-8»؛ الأرقام العشرية هي «أساس-10» وهكذا.

من جهة ثانية، عند استخدام أساس b نستعمل مجموعة من الأرقام {0، 1... b-2، b-1} وتسمى مجموعة الأرقام القياسية. وبالتالي تحتوي الأرقام الثنائية على أرقام {0، 1} ؛ في حين تحتوي الأرقام العشرية على أرقام وهكذا. ولذلك فالأرقام التالية بها أخطاء: لأنها تستعمل أرقاما أكبر من الأساس 52 2 ، 2 2 ، 1A 9 .

تاريخ الكسور الموضعية

ومن ناحية أخرى، يلاحظ لينارت بيرغرين (J. Lennart Berggren) أن الكسور العشرية الموضعية استعملت لأول مرة من قبل عالم الرياضيات العربي أبو الحسن الإقليدسي في القرن العاشر. استعمل عالم الرياضيات اليهودي إيمانويل بونفيس الكسور العشرية في قرابة عام 1350، لكنه لم يطور أي تدوين لتمثيلهم. ادعى عالم الرياضيات الفارسي جمشيد الكاشي أنه اكتشف الكسور العشرية بنفسه في القرن الخامس عشر. قدم الخوارزمي الكسور إلى البلدان الإسلامية في أوائل القرن التاسع. هذا الشكل من الكسر بصورة البسط في الأعلى والمقام في الأسفل بدون خط أفقي كان يستعمله أبو الحسن الإقليدسي كذلك في القرن العاشر من القرن الماضي، وواستعمله جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر في مؤلفه «مفتاح الحساب». ملف:Stevin-decimal_notation.svg يُعدُ سيمون ستيفين في القرن السادس عشر رائد العلامة العشرية الأوروبية الحديثة.

الإشارة

وعلى صعيد آخر، إذا كان الأساس وكافة الأرقام أرقاما «غير سالبة» فلا يمكن التعبير عن الأعداد السالبة. وللتغلب على هذا، نستعمل علامة ناقص، هنا (-).

• تحويل الأساس
• الكسور المنتهية
• الكسور غير المنتهية
• تطبيقات
• النظام العشري
• الحوسبة
• الأساسات الأخرى في لغة البشر
• انظر كذلك
• قائمة أنظمة الأعداد
• نظام العد
• نظام العد الهندي العربي
• المصادر

الأس

ومن جهة أخرى، يمكن إثبات هذا المفهوم باستخدام رسم بياني. كائن واحد يمثل وحدة واحدة. عندما يكون عدد الكائنات مساويًا أو أكبر من الأساس b ، يتم إنشاء مجموعة من الكائنات بعدد b من الكائنات. عندما يتجاوز عدد هذه المجموعات b، ثم يتم إنشاء مجموعة من هذه المجموعات من الكائنات مع b من المجموعات وb من الكائنات؛ وهكذا. وبالتالي فإن العدد نفسه في أنظمة ذات أساسات مختلفة سيكون له قيم مختلفة:

• العدد 241 في نظام الأساس 5:
• به مجموعتين من 52 (25) و 4 مجموعات من 5 ومجموعة واحدة من 1
• ooooo ooooo
• ooooo ooooo ooooo ooooo
• ooooo ooooo + + o
• ooooo ooooo ooooo ooooo

كذلك، وكمثال على الاستخدام، فإن الرقم 465 يتم تمثيله في الأساس b (والتي يجب أن تكون على الأقل في الأساس 7 لأن الرقم الأعلى فيها هو 6) يساوي:

• إذا كان الرقم 465 في الأساس 10، فسوف يساوي:
• (46510 = 46510)
• إذا كان الرقم موجودًا في الأساس 7، فسوف يساوي:
• (4657 = 24310)

علاوةً على ذلك، تعمل أنظمة الأرقام الموضعية باستخدام الأس لرقم الأساس. فقيمة الرقم هي الرقم المضروب في قيمة مكانه. وقيمة المكان هي رقم الأساس الذي يتم رفعه إلى الأس n ، حيث n هو عدد الأرقام الأخرى بين رقم معين ونقطة الجذر. إذا كان رقم معين على الجانب الأيسر من نقطة الجذر (أي أن قيمته عبارة عن عدد صحيح)، تكون n موجبة أو صفرية؛ إذا كان الرقم على الجانب الأيمن من نقطة الجذر (أي أن قيمته عبارة عن كسور)، يكون n سالبا.

وفي هذا الصدد، الرقم 10b دائما يساوي b لأي أساس b، وذلك لأن 10b = 1×b1 + 0×b0. مثلًا:, 102 = 2; 103 = 3; 1016 = 1610. بينما إذا كان الرقم من خانة واحدة فقيمته هي نفسها لا تتغير.

قاعدة نظام الأرقام

من جانب آخر، في نظام الأساس 16 (النظام السداسي عشري)، هناك 16 رقمًا سداسيًا عشريًا (0–9 و A – F) والرقم

من جهة ثانية، «الأساس» هو عدد صحيح أكبر من 1 (أو أقل من -1). ونادرا ما يستعمل "أساس سالب لأنه في النظام ذو أساس سالب، يمكن تمثيل الأرقام بالعديد من التمثيلات المختلفة.

وعلى صعيد آخر، في نظم العد الرياضية، يكون الأساس هو عادة عدد الأرقام الفريدة بما في ذلك الصفر، التي يستعملها نظام الأرقام الموضعية لتمثيل الأعداد. مثلًا، النظام العشري يكون أساسه هو 10، لأنه يستعمل 10 أرقام 10 من 0 إلى 9. فبعد الرقم "9" لن يكون الرقم التالي رمزًا مختلفًا، بل هو "1" متبوعًا بـ "0" أي "10" ويليه "11" وهكذا. وفي النظام الثنائي، يكون الأساس هو 2، لأنه بعد الرقم "1" نستعمل الرقم "10" ثم "11" ويليه "100" وهكذا.

في هذا الإطار، في الترميز الموضعي للأساس 10 (النظام العشري)، هناك 10 أرقام عشرية والرقم

• (حيث B هي رمز يمثل الرقم 11)
• بشكل عام، في نظام الأساس b ، يكون هناك b من الأرقام والعدد
• (لاحظ أن تمثل أرقام)

من جانب آخر، (في بعض أنظمة الأرقام الموضعية غير القياسية، فإن تعريف الأساس أو الأرقام المسموح بها يختلف عن ما سبق.))

.

وفي هذا الصدد، عادة ما يكون أعلى رمز لنظام الأرقام الموضعية هو القيمة الأقل من قيمة أساس هذا النظام الرقمي. تختلف أنظمة الأرقام الموضعية القياسية عن بعضها البعض فقط في «الأساس» الذي تستعمله.