دوال مثلثية

علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة

ومن ناحية أخرى، يمكن كتابة بعض الدوال الخاصة بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.

• متعدد الحدود لتشيبيشيف: هو الحل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:
• مع n ممثلةً للمرتبة.
• يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من المرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:
• Tn = cos(n.arccos(x))
• تطبيقات

كذلك، دالة بيسل من المرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

من جانب آخر، حيث يمثل a المرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) بدلالة الدوال المثلثية على النحو التالي:

متطابقات ضعف الزاوية

ومن ناحية أخرى، عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.

وعلى صعيد آخر، بوضع θ = 2x وt = tan(x) هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ θ كدالة كسرية لـ

إضافةً إلى ذلك، يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء.

البصريات

وفي هذا السياق، إلى جانب انكسار الضوء، تُستعمل الدوال المثلثية في مجالات أخرى من البصريات، مثل تحليل تداخل الموجات والاستقطاب والحيود.

ومن ناحية أخرى، التطبيق الأساسي للدوال المثلثية في علم البصريات هو قانون سنيل. ينص هذا القانون، الذي ينطبق على ظاهرة انكسار الضوء، على العلاقة بين زوايا السقوط والانكسار:

• حيث:
• θ1: زاوية سقوط الموجة، θ2: زاوية انكسار الموجة.
• v1: سرعة الضوء في الوسط الأول، v2: سرعة الضوء في الوسط الثاني.
• n1: معامل الانكسار للوسط الأول، n2: معامل الانكسار للوسط الثاني

الصينيون

علاوةً على ذلك، لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كوا وغوا شوجينغ الدوال المثلثية. مثلًا، في القرن الحادي عشر، وجد شين كوا علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c:

قانون ظل التمام

(نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث)

في هذا الإطار، ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:

وحدات قياس الزوايا

الدورة: تعادل 360° أو 2π راديان.

وفي هذا السياق، الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يشار إليها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير أعلى.

وفي السياق ذاته، الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءاً متساوياً، يشار إليها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة عليا.

علاوةً على ذلك، ثانية القوس: تساوي 1/3600 درجة أي ، يشار إليها بقيمة متبوعة بعلامتي التنصيص (").

ومن ناحية أخرى، الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان. هناك وحدة مشتقة من الراديان وهي الميليراديان، تُعرَّف على أنها جزء من الألف من 1 راديان؛ تُستَخدَم الميليراديان في ضبط الرؤية عند استخدام السلاح الناري.

كذلك، دقيقة القوس: تساوي 1/60 درجة أي ، يشار إليها بقيمة متبوعة بفاصلة عليا (').

إضافةً إلى ذلك، دقيقة القوس وثانيته: هي وحدات فرعية للدرجة، تستعمل على مدًى واسع في نظام الإحداثيات الجغرافية.

(S = (1/2).ab.sin(θ

ومن جهة أخرى، متوازي أضلاع: يمكن ايجاد مساحته من خلال معرفة أطوال أضلاعه a وb وإحدى زواياه θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه بتطبيق هذا القانون:

sin (90°) = cos (0°) =1

إضافةً إلى ذلك، المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° كذلك، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي 2√ مرة طول كل من الساقين، إذن:

sin (45°) = cos (45°) =(√2)/2

تحويلا لابلاس وفورييه

من جهة ثانية، تحويل لابلاس هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:

• تحويل الجيب:
• تحويل جيب التمام:
• تحويلا فورييه لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:
• الجيب:
• جيب التمام:

علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد العقدية

وفي هذا الصدد، يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية العقدية. رياضيا:

• يمكن كتابة أي عدد عقدي على الشكل المثلثي:
• يطلق على العلاقة بين الدالة الأسية والدوال المثلثية اسم صيغة أويلر:
• إثبات: لتكن متسلسلة تايلور للدالة الأسية:
• بوضع: x=iθ، تصبح المتسلسلة:
• من متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام:
• فيُبصح:

ومن ناحية أخرى، قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

ومن جهة أخرى، كذلك، باستخدام تعريف بواسطة متسلسلة ماكلورين للدوال الزائدية والمثلثية، يمكن الحصول على العلاقات بين تلك الدوال:

يعرف الشكل المعمم لصيغة أويلر باستعمال صيغة دي موافر:

مبرهنة الساندويتش

ومن ناحية أخرى، تساعد هذه المبرهنة في حساب النهايات الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال ، هي كما يلي:

• تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية:
• . تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية، طالع تفاضل الدوال المثلثية.
• المتباينات المشابهة هي كما يلي:

القبلة

كذلك، القبلة هي وجهة المصلي عند الصلاة وهي عند المسلمين الكعبة المشرفة في مدينة مكة.

في هذا الإطار، يتم تطبيق نموذج الدائرة العظمى لحساب القبلة باستخدام حساب المثلثات الكروية، وهو العلم الذي برع فيه العلماء المسلمين قديمًا واستقر العمل في تحديد القبلة عليه. في الشكل التالي، يشكل موقع المصلي O والكعبة Q والقطب الشمالي N مثلثًا على الكرة الأرضية. يُشار إلى القبلة بـ OQ، وهي اتجاه الدائرة العظمى التي تشمل النقطتين O و Q. يمكن كذلك التعبير عن القبلة كالزاوية ∠NOQ (أو ∠q للقبلة بالنسبة للشمال، وتسمى كذلك «إنحراف القبلة». يمكن حساب هذه الزاوية كدالة رياضية لخط عرض موقع المصلي Φ، وخط عرض الكعبة ΦQ، والفرق بين خطي طول الموقعين المذكورين سابقًا ΔL، هذه الدالة مستمدة من قاعدة ظل التمام التي تنطبق على أي مثلث كروي ذات الزوايا A وB وC والجوانب a وb وc:

كذلك، بتطبيق هذه الصيغة على المثلث الكروي NOQ (بتعويض B = ∠q = ∠NOQ) وبتطبيق المتطابقات المثلثية، يكون:

، ومنه يكون:

المحيطات

2nb.sin(π/2)

ومن جهة أخرى، يتم الحصول على هذا القانون باستخدام صيغة حساب طول القوس والإحداثيات القطبية.

ومن ناحية أخرى، قطع ناقص: يمكن إيجاد محيطه إنطلاقًا من نصف محوره الأكبر a والأصغر b باستخدام إحدى الدوال المثلثية:

وفي هذا الصدد، مع هو معامل التباعد المركزي، وE هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني:

وعلى صعيد آخر، مضلع منتظم: يمكن إيجاد محيطه بدلالة عدد أضلاعه n والمسافة بين مركز المضلع وأحد رؤوسه b ودالة الجيب:

متطابقات ثلاثية الزاوية

ويُحسب كما يأتي:

الفرق

ويُحسب كما يأتي:

متطابقات نصف الزاوية

وتُحسب كما يأتي:

الخرائط والمساحة

وفي السياق ذاته، في الحالة المبينة في الشكل، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:

في هذا الإطار، حساب المثلثات هو أساس أغلب ممارسات الخرائط والمساحة. قياس زاوية باستخدام الجهاز أو دون استخدامه، إسقاط الخرائط (تحويل سطح ناقصي إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب الاتجاه الزاوي، والمسح الاجتيازي المفتوح والمغلق، وتصميم الأقواس في إنشاء الطرقات، وتحويل ثنائي الأبعاد في المسح الجوي.

ومن جهة أخرى، قياس ارتفاع جبل أو مبنى مرتفع، ليكن h، هو مثال آخر عن التثليث الزاوي، وعندها تُحدد الزوايا α و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى. لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط، يحسب الارتفاع بتطبيق هذا القانون:

وفي السياق ذاته، مثلًا، في التثليث الزاوي، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستعمل هذا المبدأ في الوقت الحالي في القياس البصري الثلاثي الأبعاد. يُستخدَم في التثليث الزاوي قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.

ثابت

على المحور y:

ثابت

ملخص العلاقات

• تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:
• sin (A)
• cos (A)
• tan (A)
• cot (A)
• sec (A)
• csc (A)

بالإضافة إلى

وفي هذا السياق، هذا هو تعويض ظل نصف الزاوية، ويسمى كذلك تعويض فايرشتراس، وهو يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.

التعريف بالمثلث قائم الزاوية

تعرف الدوال المثلثية الرئيسة للزاوية A كما يأتي:

وفي السياق ذاته، عند اعتبار الزاوية A، يسمى الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة بالضلع المجاور للزاوية A (الضلع AC) والضلع المقابل للزاوية A (الضلع BC).

وعلى صعيد آخر، يسمى الضلع المقابل للزاوية C الوتر (كما هو موضح في الشكل المقابل).

علاوةً على ذلك، يوضح الشكل المقابل مثلثًا قائماً يتكون من ثلاثة أضلاع a و b و c وزوايا A و B و C. الزاوية C قياسها 90° وزاويتان أخريان حادتان ومتتامتان، بمعنى آخر، مجموع قياس الزاويتين يساوي 90° أو π/2 راديان.

وفي هذا الصدد، جيب الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر:

علم الفلك

وفي هذا الصدد، في العصر الحديث، تستعمل التثليث الزاوي في علم الفلك لقياس مسافة النجوم القريبة، وكذلك في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية.

كذلك، استعملت حساب المثلثات الكروية لعدة قرون لتحديد موقع الشمس والاقمار والنجوم، والتنبؤ بالكسوف والخسوف، ووصف مدارات الكواكب.

متسلسلات القوى لباقي الدوال

من جهة ثانية، لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى (0,n/4)، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى (0, n/2). بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.

من جانب آخر، عدد الحدود في متسلسلة القوة المستعملة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستعمل عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من المرتبة n لمتسلسلة بواسطة:

وفي هذا السياق، يمكن كذلك حساب العلاقات العودية لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافيقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.

في هذا الإطار، الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين π/2- وπ/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. كذلك بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 وπ وبين π- و0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة متسلسلة لوران، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود المرفوعة لِأُس سالب).

إضافةً إلى ذلك، تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى دوال جزئية التشكل، والتي هي دوال تامة التشكل في كامل المستوي العقدي، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.

وفي السياق ذاته، مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. فضلًا عن ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.

علاوةً على ذلك، بتعبير أدق،Un هو تبديل متناوب من المرتبة n. وBn هو عدد برنولي من المرتبة n، وEn، هو عدد أويلر من المرتبة n.

دالة ذاتية

من جانب آخر، دالتا الجيب وجيب التمام ذاتيتان لمؤثر لابلاس. مثلًا، إذا كان : Δ=∇2 يُمثِّل مؤثر لابلاس وحيد البعد، فإن دالتا الجيب وجيب التمام تحققان : ، مع λ تمثل قيمة ذاتية؛ ويمكن التحقق من هذه المساواة انطلاقا من التعريف باستعمال المعادلة التفاضلية للدالتين.

الدوال الدورية

وعلى صعيد آخر، نشير إلى الدالة التي تتضمن الجيب أو جيب التمام بـ ، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:

من جهة ثانية، تثبت الدوال المثلثية كذلك على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية.

وعلى صعيد آخر، في الصورة المتحركة لموجة مربعية، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج على وجه التقريب جيدًا إلى حد ما.

ومن ناحية أخرى، الدوال المثلثية مهمة كذلك في الفيزياء. مثلًا، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة، التي تنمذج الكثير من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بنابض ، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، حركة كتلة معلقة بواسطة خيط (نواس بسيط)؛ وفي الكهرباء والإلكترونيات، تستعمل الدالتان الأخيرتان لدراسة الدارات الكهربائية مثل دارة مقاومة وملف ومكثف المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة.

مثلًا، يمكن كتابة الموجة المربعية كمتسلسلة فورييه:

وفي هذا الصدد، يمكن عموماً التعبير عن دالة دورية f(x) بصفتها مجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في متسلسلات فورييه مثل موجة مربعة أو موجة سن المنشار.

حيث هو معامل المتسلسلة.

الملاحة

ومن ناحية أخرى، تاريخيا، استعملت حساب المثلثات لتحديد إحداثيات خطوط الطول والعرض لسفن الإبحار، ورسم المسارات القائم على الكائنات المختلفة مثل المنارات، وحساب المسافات في أثناء الملاحة.

• تُستعمل هذه المعادلة لتحديد المسافة بين نقطتين على الأرض:
• مع:
• λA وλB هما العرضان الجغرافيان للنقطتين المرغوبتين.
• LA وLB هما الطولان الجغرافيان للنقطتين المرغوبتين.
• R هو نصف قطر الأرض.
• يمكن إثبات ذلك من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.

من جانب آخر، لا يزال حساب المثلثات مستعملًا في الملاحة من خلال وسائل مثل نظام التموضع العالمي (GPS) والذكاء الاصطناعي للمركبات الذاتية القيادة.

(S = ab.sin(θ

مضلع منتظم: يمكن ايجاد مساحته من خلال تلك الصيغ:

مع n عدد الأضلاع وl هو طول أحد الأضلاع وp هو محيط المضلع.

من جانب آخر، إذا كان المضلع محاط بدائرة نصف قطرها R ومحيط بدائرة نصف قطرها r (يُغدُّ كذلك عامد المضلع):

دورية

الظل والقاطع: kπ + {π/2}

استمرارية (اتصال)

ظل التمام وقاطع التمام: kπ

إضافةً إلى ذلك، تستعمل خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية في تحويل فورييه والمعادلات الموجية.

ومن جهة أخرى، الدوال المثلثية كلها دوالٌ دوريةٌ أصغر دور لها هو 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دور لها هو π، أي، من أجل عدد صحيح k، يكون:

من جانب آخر، الجيب وجيب التمام دالتان مستمرتان دومٌا ويمكن اشتقاقهما ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف باستعمال المثلث القائم وباستعمال دائرة الوحدة. إن الدوال الأخرى، التي مقامها =دالتا الجيب أو جيب التمام، ليست دائمًا مستمرة، لأن قيمة كل من دالة الجيب وجيب التمام في بعض من الحالات تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هو عدد صحيح كيفي):

التعريف بواسطة التكامل

وتنتمي الزاوية θ إلى المجال [0، π/2].

من جهة ثانية، يمكن الحصول على تعريف آخر استناداً إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف الأعلى لدائرة الوحدة ، يمكن إيجاد العلاقة بين الزاوية θ وsinθ بحسب المعادلة التالية:

العصر القديم

وعلى صعيد آخر، عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في الكثير من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في بلاد الرافدين.

إضافةً إلى ذلك، استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (قرابة 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.

كذلك، تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس كذلك أنها حجر الأساس لحساب المثلثات. أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم «أبي حساب المثلثات». وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية. في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.

متطابقات مجموع وفرق زاويتين

وفي هذا السياق، تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها.

tan (45°) = cot (45°) = 1

إضافةً إلى ذلك، باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:

أو

ويمكن تمثيل القطع الزائد العمودي وسيطيًا كما يأتي:

في المستوى العقدي

علاوةً على ذلك، عند تمثيل الدوال في المستوى العقدي، تُمثَّل العمدة بالألوان، والمعيار بوسائل أخرى، مثل السطوع أو الإشباع اللوني.

الخصائص

علاوةً على ذلك، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد عقدي باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع الدوال الزائدية:

ومن ناحية أخرى، من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم العقدية بيانياً عن طريق التمثيل بتلوين المجال. يمكن مشاهدة الكثير من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية توضح العلاقات بينهما.

متسلسلة فورييه وتحويل فورييه

وعلى صعيد آخر، تُحوّل الدالة الأسية العقدية إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستعمل تحويل فورييه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الموجة والتحليل الطيفي ومعالجة الإشارات.

في هذا الإطار، بالنسبة للدوال الفردية، فقط حدود دالة الجيب، أما الدوال الزوجية، فقط حدود دالة جيب التمام زائد معامل ثابت.

وفي السياق ذاته، دالتا الجيب وجيب التمام مثل كثيرات الحدود المتعامدة مستقلةٌ خطياً. ومنهم يمكن كتابة أي دالة (دورية عمومًا) على أنها العلاقة التالية بدلالة متسلسلة من تلك الدوال، والتي تسمى متسلسلة فورييه:

إضافةً إلى ذلك، يستعمل تحويل جيب التمام المتقطع القريب من تحويل فورييه لتقليل حجم ملف JPEG في أثناء التخزين مع الحفاظ على الجودة النسبية (ضغط الصور)، هذا التحويل هو تقنية تمثل البيانات على شكل مجاميع دوال جيب التمام.

وفي السياق ذاته، تحويل فورييه هو نوع من التحويل التكاملي وهو عبارة عن امتداد لمتسلسلة فورييه. يُعرف هذا التحويل بـ:

مبرهنة بطليموس

وفي السياق ذاته، مبرهنة بطليموس هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا الرباعي الدائري (رباعي محاط بدائرة تشمل جميع رؤوسه).

ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان θ1+θ2+θ3+θ4=180°، فإن:

التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية

إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:

ومن ناحية أخرى، جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:

من جانب آخر، إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور عقدية، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية العقدية:

نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

وفي السياق ذاته، كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية: y = -y (معادلتها المميزة هي m2+1 = 0، جذرها هي وحدة تخيلية موجبة أو سالبة i±) بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

ومن جهة أخرى، حيث α هو الجزء الحقيقي وβ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية العقدية إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور العقدية، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:

وفي السياق ذاته، الجيب هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:

ومن جهة أخرى، الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:

علاوةً على ذلك، بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:

ومن ناحية أخرى، إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل ، حيث و هما جذور المعادلة المميزة للمعادلة . كذلك و هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.

cos(20°).cos(40°).cos(80°) = 1/8

مع n=3 وα=20°.

• بما أن:
• sin(180°-x) = sin(x)
• توجد متطابقة مشابهة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:

من جانب آخر، هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n و α للحد الثاني بتلك القيم، تكون النتيجة:

وهي حالة خاصة للمتطابقة العامة:

حساب القيم

وفي السياق ذاته، تستعمل الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالِجات الراقية ذات وحدات الفاصلة العائمة، في جمع بين تقريب بواسطة كثير الحدود أو بواسطة الدوال الكسرية (مثل تقريبَيْ تشيبيشيف وبادي، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، متسلسلات تايلور ومتسلسلة لوران) وتقليص المدى والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستعمل كثير الحدود لحساب التصحيح. على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى مضاعف العتاد، توجد خوارزمية تسمى CORDIC عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.

علاوةً على ذلك، يلزم لحساب قيمة دالة مثلثية لأي زاوية تقليص مجال الزاوية، مثلاً من الصفر إلى π/2، باستخدام خاصيتي الدورية والتناظر للدوال المثلثية.

من جانب آخر، حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال الاستكمال الداخلي للجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.

وفي هذا السياق، حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر صعب ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على القيم الجبرية الدقيقة لدوالِّها المثلثية دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. مثلًا، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد 3 دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب الخماسي المنتظم.

ومن جهة أخرى، يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة المتوسط الحسابي الهندسي عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة تكامل إهليلجي (عقدي).

متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام

وفي هذا الصدد، يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

جيب الزاوية:

الدوال العكسية

إضافةً إلى ذلك، يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع إبراز المنطلقات والمستقرات والمشتقات.

يمكن كذلك التعبير عنها بدلالة اللغارتمات العقدية.

ومن جهة أخرى، يمنع التدوين بالبادئة "arc" مثل هذا اللبس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و لـ "arcsecond" (التي تعني «ثانية القوس»).

وفي هذا الصدد، يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. مثلًا،

إضافةً إلى ذلك، الدوال المثلثية دورية، ومن ثمّ، هي ليست متباينة، وعلى هذه ليس لديها دالة عكسية. ومع ذلك، في كل مجال تكون فيه الدالة المثلثية رتيبة، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية كدوال متعددة القيم. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم «مجموعة القيم الرئيسية» في الجدول التالي. عادة ما يشار إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم الدالة أو اختصارها.

وفي هذا الصدد، غالبًا ما تستعمل التدوينات sin−1 وcos−1... إلخ للتعبير عن arcsin وarccos ،... وهكذا. عند استخدام هذا التدوين، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين الدوال العكسية والمعاكيس الضربية.

متسلسلات أخرى

علاوةً على ذلك، يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا، وفيه تُجمَع دوال المقلوب المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:

علاوةً على ذلك، ويمكن بالطريقة نفسها إيجاد المفكوكات الكسرية الجزئية لكل من القاطع وقاطع التمام والظل:

يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة حيلة .

و

(نصف محيط المثلث)،

ثم كل ما يلي يشكل قانون ظل التمام:

نستنتج أن:

الهنود

وفي هذا الصدد، خطا مادهافا السانغماغرامي، قرابة العام 1400، خطوات أولى ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية، ويُعتقد أنه وضع متسلسلات مادهافا، التي سميت باسمه، قبل قرنين من وضعها في أوروبا.

وعلى صعيد آخر، كان باسكارا الثاني، الذي عاش في القرن الثاني عشر، من أوائل الذين حسبوا جيب مجموع زاويتين (sin (a+b)) أو طرحهما (sin (a-b))، كما يأتي:

وعلى صعيد آخر، كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة كذلك في الهند. مثلًا، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب «سوريا سِدْهانْتا»، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل في الوقت الحالي دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية «سِدْهانْتا» أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت كذلك جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية. يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" التي استعملها الهنود في علم الفلك في الحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية.

صيغة مولفيده

وفي هذا السياق، لتكن a و b و c أطوال أضلاع للمثلث، و α و β و γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:

الدوال الزائدية

الدوال الزائدية هي:

إضافةً إلى ذلك، في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:

من جانب آخر، هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام الأعداد العقدية تُعْرَف بالدالة الغودرمانية، وهي معرّفة في ℝ نحو بـ:

وsgn (x) هي دالة الإشارة.

وفي هذا الصدد، بما أن مساحة القطاع الدائري الذي نصف قطره r وزاويته u هي ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون r=√2. في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتقالي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.

وفي هذا الصدد، في حالة القطع الزائد الذي معادلته x2 - y2 =1، مقدار الزاوية الزائدية هو ضعف المساحة الزرقاء المحددة بنصف المستقيم ومحور السينات والقطع الزائد، تماما كما يكون مقدار الزاوية الدائرية هو ضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها: x2 + y2 =1.

ومن ناحية أخرى، الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos(t), sin(t)) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh(t), sinh(t)) النصف الأيمن للقطع الزائد.

وفي هذا الصدد، سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما عبارة عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.

وعلى صعيد آخر، يعتمد كلا النوعين على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.

متسلسلة الجداء اللانهائي

علاوةً على ذلك، الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:

باستخدام المعادلات الدالية

ومن جهة أخرى، يمكن كذلك تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.

cos(x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y

ومن جهة أخرى، مثلاً،الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:

بشرط أن تكون 0 < x > sin(x) > x.cos(x) من أجل 0 < x > 1.

تعامد

كذلك، دالتا الجيب وجيب التمام متعامدتان مع بعضهما البعض وصالحتان في .

تستعمل هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.

زوجية وفردية

كذلك، الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطاً محدداً يتعلق بالتناظر.

وعلى صعيد آخر، جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي فردية، أي:

sin(20°).sin(40°).sin(80°) = √3/8

علاوةً على ذلك، زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:

tan(20°).tan(40°).tan(80°) = √3 = tan(60°)

الاشتقاق والمكاملة

في هذا الإطار، المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:

راديان مقابل درجات

وفي السياق ذاته، لا يكون المتغير زاويةً عند حساب التفاضل والتكامل باستعمال الدوال المثلثية، ولكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية رأسها مركز الدائرة. لذلك، يُستعمل الراديان وحدةً للزاوية.

من جهة ثانية، تكون الصيغ المستعملة عند حساب المشتقات والتكاملات أبسط عند استعمال الراديان، لذلك فهو المُستعمل عادةً اصطلاحاً، أي إذا وحدة الزاوية غير مُذكورة، فيُفترض أن تكون الراديان.

إضافةً إلى ذلك، في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، وتقاس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.

sin(A) = a/c

في هذا الإطار، جيب تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى وتر المثلث، بتعبير آخر:

الهندسة الكهربائية والاتصالات

من جهة ثانية، في أنظمة الاتصالات، عادة ما تدعم كل قناة الاتصال نقل إشاراتٍ فقط في نطاق ترددي معين، ويتعذر إرسال الإشارة عبر القناة إذا كان ترددها خارج هذا النطاق. ولذلك، من أجل إرسال إشارة لها تردد خارج النطاق، عادة ما يتم تثبيتها على موجة أخرى لها تردد متوافق مع نطاق القناة، تُسمَّى هذه التقنية التضمين. في الإشارات التماثلية تكون الموجة الحاملة موجة جيبية. مثلًا، في تضمين السعة، تُضرب الإشارة التي تحتوي على المعلومات في الموجة الحاملة للموجة الجيبية.

ومن جهة أخرى، تولد محطات الكهرباء تيارات ثلاثية الطور في الغالب. يمكن وصف تغير التيار المتناوب بتلك المعادلات: و ، ومن ثمّ تُحسب وتُحدد علاقات مختلفة مثل القدرة اللحظية، القدرة الفعالة، القدرة غير الفعالة، ... إلخ، أو مفاهيم مثل تقدم الطور، وتأخر الطور وزاوية القدرة ومعامل القدرة، ...، من خلال تحليل الدوال المثلثية. الكهرباء التي تُغذى بها المنازل هي موجة جيبية ترددها غالباً ما يكون 50 أو 60 هرتز.

وفي السياق ذاته، تُنمذج محددات خط نقل الطاقة الكهربائية باستعمال دوال زائدية.

وعلى صعيد آخر، تستعمل التيارات المتناوبة في تزويد المنازل والمصانع بالطاقة الكهربائية، ويُعبَّر عنها بشكل موجة جيبية. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتناوب على التيار المستمر في الصناعة هو إمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام المحولات، وهذا يُقلل من الطاقة الضائعة عند النقل لمسافات طويلة ويجعلها ذات ربح عالٍ، بالإضافة لإمكانية عدم استعمال المباديل في المولدات.

الحجوم

متوازي السطوح: يمكن تعبير عن حجمه بدلالة جيب التمام:

مع وa,b,c هي أطوال الأحرف.

متطابقة فيثاغورس

وعلى صعيد آخر، تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما ومربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:

cos(A) = b/c

في هذا الإطار، ظل الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور لها، أي:

وفي هذا السياق، بالنسبة للزاوية B، يمكننا كذلك حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو كذلك الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح. علاقة الجيب وجيب التمام بالزوايا المتتامة رياضيا هي كما يلي:

• ظل تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل، أي:
• cot (A) = b/a = cos(A)/sin(A) = 1/tan(A)
• قاطع الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المجاور، أي:
• sec (A) = c/b = 1/cos(A)
• قاطع تمام الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المقابل، أي:
• csc (A) = c/a = 1/sin(A)

وفي السياق ذاته، بحسب التشابه الهندسي، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني أن الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.

cos(A) = sin(B) = sin((π/2) - A) = sin(90° - A)

tan(A) = a/b = (a/c) x (c/b) = (a/c)/(b/c) = sin(A)/cos(A)

ومن جهة أخرى، يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها مقاليب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:

في هذا الإطار، كلما ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع المقابل. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع المقابل يكون مطابقا للوتر (بحسب مبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند قرابة 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، ومن ثمّ، فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).

sin(A) = cos(B) = cos((π/2) - A) = cos(90° - A)

في هذا الإطار، نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هو مذكور أعلاه في حالة الجيب وجيب التمام، كذلك على الدوال المثلثية الأخرى:

• tan(A) = cot(B) = cot((π/2) - A) = cot(90° - A)
• cot(A) = tan(B) = tan((π/2) - A) = tan(90° - A)
• sec(A) = csc(B) = csc((π/2) - A) = csc(90° - A)
• csc(A) = sec(B) = sec((π/2) - A) = sec(90° - A)

التعريف باستعمال دائرة الوحدة

من جانب آخر، تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدور الأساسي لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصيل ، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دور أساسي π.

في هذا الإطار، يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. مع أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 وπ/2 راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.

من جانب آخر، تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ θ دائرةَ الوحدةِ في النقطة A=(x,y) فإنّ الدالةُ cos(θ) تُعرّف على أنها الإحداثي x والدالة sin(θ) هي الإحداثي y لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: (x, y) = (cos(θ), sin(θ)). وبرسم مماسٍ من النقطة (x, y) يقطعُ محورَي السينات والصادات في النقطتين E = (a,0), F=(0,b) على الترتيب، فإنَّ a = sec(θ), b = csc(θ).

وفي هذا الصدد، يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في المجال (0, π/2) باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة OA = r هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة P = (x0,y0) على دائرة الوحدة تُحقّق x2 + y2 = 1 من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم OCA، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات x, y يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: cos2θ+sin2θ=1. وأخيراً فإنَّ المسافات AF, AE تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: cot(θ) وtan(θ) على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة OAF وOAE وOEF للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:

وفي السياق ذاته، بما أنَّ دوراناً بزاوية 2π± لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط F, A, E ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ 2π. وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دور 2π. بمعنى آخر، المساواةَ sinθ = sin(θ + 2kπ) وcosθ = cos(θ + 2kπ) محققة أياً كانت قيمة θ زومن أجل أي عدد صحيح k. ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

القيم الجبرية البسيطة

من جهة ثانية، يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية. يمثل الرمز ∞ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

sin (30°)= cos (60°) = 1/2

من جانب آخر، وبالمثل، يُحسب على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي 3/2√، نتيجة لذلك:

الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية

x = r cos(θ), y = r sin(θ)

كذلك، تتشكل كذلك أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستعمل هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أو كروي.

إضافةً إلى ذلك، الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذي يكون فعالا في تبسيط الكثير من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستعملة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس بالدوال المثلثية:

جيب تمام الزاوية

وفي هذا الصدد، نصف قطر التقارب لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دالتين صحيحتين، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم عقدية وتامة التشكل على مجمل المستوي العقدي.

في هذا الإطار، وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

متطابقات أساسية ومبرهنات

وعلى صعيد آخر، هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع قائمة المتطابقات المثلثية. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستعمل فقط أدوات حساب التفاضل والتكامل، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا كذلك استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم العقدية واستخدام خصائص الدالة الأسية.

ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية

• انظر كذلك
• جداول مثلثية
• دوال زائدية
• قائمة المتطابقات المثلثية
• إثبات المتطابقات المثلثية
• صيغة أويلر
• الدوال الابتدائية
• هوامش وملاحظات
• مراجع
• فهرس المراجع
• المنشورات
• بالعربية
• بالإنكليزية
• وب
• معلومات المراجع كاملة
• الكتب
• بالعربية
• بالإنكليزية
• تقارير ومقالات ودوريات محكمة
• العربية
• بالفرنسية

كذلك، الإنجليزيAإحداثي x/إحداثي سينيAbscissaقيمة مطلقة لعدد عقديAbsolute value of complex numberزاوية حادةAcute angleضلع مجاورAdjacent sideعدد جبريAlgebraic numberزاويةAngleمتطابقات مجموع وفرق زاويتينAngle sum and difference identitiesمشتق عكسيAntiderivativeتقريبApproximationقوسArcمساحةAreaعُمدةArgumentمتوسط حسابي هندسيArithmetic–geometric meanBعدد برنوليBernoulli numberدالة بيسلBessel functionدالة تقابليةBijective functionCحساب التفاضل والتكاملCalculusمعادلة مميزةCharacteristic equationتقريب تشيبيشيفChebyshev approximationمتعدد الحدود لتشيبيشيفChebyshev polynomialدالة الوترChordزاوية دائريةCircular angleحركة دائريةCircular motionقطاع دائريCircular sectorمحيط دائرة/قطع ناقص (منحنى مغلق بشكل عام)Circumferenceمضلع محيطCircumscribed polygonمستقر دالةCodomain of a functionفرجارCompassزوايا متتامةComplementary anglesتحليل عقديComplex analysisعدد عقديComplex numberمستوي عقديComplex planeدالة مستمرة/دالة متصلةContinuous functionإحداثياتCoordinatesلازمةCorollaryضرب متجهي /جداء متجهيCross productجذر تكعيبيCube rootسهم التمامCoversineرباعي دائريCyclic quadrilateralإحداثيات أسطوانيةCylindrical coordinatesDصيغة دي موافرDe Moivre's formulaدرجةDegreeمقامDenominatorمشتقDerivativeقطر الدائرةDiameterفرقDifferenceتفاضلDifferentialمعادلة تفاضليةDifferential equationمتطابقات ضعف الزاويةDouble-angle identitiesمجال دالةDomain of a functionضرب نقطي/ضرب قياسي/جداء سلميDot productEتباعد مركزيEccentricityأحرف متعدد السطوحEdges of a polyhedronدالة ذاتيةEigenfunctionنواس مرنElastic pendulumقطع ناقصEllipseتكامل إهليلجي/ناقصيElliptic integralدالة صحيحةEntire functionمثلث متساوي الأضلاعEquilateral triangleمتطابقة أويلرEuler's identityعدد أويلرEuler numberدوال زوجية وفرديةEven and odd functionsقاطع التمام الخارجيExcosecantقاطع خارجيExsecantدالة أسيةExponential functionFعاملي عددFactorial of a numberوحدة الفاصلة العائمةFloating Point Unitمتسلسلة فورييهFourier seriesتحويل فورييهFourier transformGنظرية غالواGalois theoryكسر مستمر معممGeneralized continued fractionتشابه هندسيGeometric similarityتمثيل بياني لدالةGraph of a functionHمتطابقات نصف الزاويةHalf-angle identitiesنصف السهمHaversineلولبHelixالمعالِجات الراقيةHigher-end Processorsدالة تامة التشكلHolomorphic functionقطع زائدHyperbolaزاوية زائديةHyperbolic angleدوال زائديةHyperbolic functionsقطاع زائديHyperbolic sectorوتر المثلثHypotenuseمنحنى عجلي تحتيHypotrochoidIوحدة تخيليةImaginary unitمتباينةInequalityدالة متباينةInjective functionمضلع محاطInscribed polygonتكاملIntegralعدد صحيحInteger numberمجال/فترةIntervalتقاطع مستقيمينIntersection of two linesمتسلسلة الجداء اللانهائيInfinite product expansionدالة عكسيةInverse functionنقطة معزولةIsolated pointLتحويل لابلاسLaplace transformمؤثر لابلاسيLaplace operator / Laplacianقانون جيب التمامLaw of cosinesقانون الجيبLaw of sinesساق مثلثLeg of a triangleطولLengthنهاية دالةLimit of a functionمستقيمLineمنحنى ليساجوLissajous curveMمتسلسلة ماكلورينMaclaurin seriesمقدارMagnitudeدالة جزئية التشكلMeromorphic functionميليراديانMilliradianتضمينModulationصيغة مولفيدهMollweide's formulaدالة رتيبةMonotonic functionقانون موريMorrie's lawدالة متعددة القيمMultivalued functionNمقابل عددNegative of a numberبسطNumeratorجذر نونيnth rootOضلع مقابلOpposite sideإحداثي y/إحداثي صاديOrdinateنقطة الأصلOriginدوال متعامدةOrthogonal functionsPتقريب باديPadé approximantمتوازي السطوحParallelepipedمتوازي أضلاعParallelogramمعادلة وسيطيةParametric equationجسم / جسيمParticleنواسPendulumمحيط (مضلعات)PerimeterدورPeriodدالة دوريةPeriodic functionدوريةPeriodicityطورPhaseتقدم وتأخر الطورPhase leading and laggingإحداثيات قطبيةPolar coordinatesمتسلسلة قوىPower series / Power expansionمبرهنة بطليموسPtolemy's theoremمتطابقة فيثاغورسPythagorean identityمبرهنة فيثاغورسPythagorean theoremQربع الدائرةQuadrantقاعدة ناتج القسمةQuotient ruleRنسبةRatioنصف القطرRadiusنصف قطر التقاربRadius of convergenceتقليص المدىRange reductionسرعة التقاربRate of convergenceدالة كسريةRational functionعدد كسري/نسبي/ناطق/جذريRational numberعدد حقيقيReal numberعلاقة استدعاء ذاتيRecurrence relationخماسي منتظمRegular pentagonباقي (متسلسلة)Remainder termزاوية قائمةRight angleمثلث قائم الزاويةRight-angled triangle / Right triangleجذر معادلة/جذر دالةRootدورانRotationSعمق القوسSagittaنصف المحور الأكبرSemi-major axisنصف المحور الأصغرSemi-minor axisمجموعة القيم الرئيسةSet of principal valuesدالة الإشارةSign functionحركة توافقية بسيطةSimple harmonic motionنواس بسيطSimple pendulum/Mathematical pendulumموجة جيبيةSine waveقانون سنيلSnell's lawحل المثلثاتSolution of trianglesزوايا خاصةSpecial anglesدوال خاصةSpecial functionsإحداثيات كرويةSpherical coordinatesمثلث كرويSpherical triangleحساب المثلثات الكرويةSpherical trigonometryجذر تربيعيSquare rootموجة مربعيةSquare waveمبرهنة الساندويتشSqueeze theorem / Sandwich theoremمسطرةStraightedgeمعادلة سْتُورْم وليوفيلSturm-Liouville equationطرحSubtractionمجموعSumتناظرSymmetryTمماسTangentتعويض ظل نصف الزاويةTangent half-angle substitutionمتسلسلة تايلورTaylor seriesحدودTermsمبرهنة طاليسThales theoremعدد متساميTranscendental numbersمسح اجتيازيTraverseتثليث زاويTriangulationعلم المثلثات/حساب المثلثاتTrigonometryمتطابقات ثلاثية الزاويةTriple-angle identitiesدورة (وحدة قياس الزوايا)TurnUدائرة الوحدةUnit circleVمتجهVectorسهم/ جيب معكوسVersineWتعويض فايرشتراسWeierstrass substitutionXمحور السيناتx-axisYمحور الصاداتy-axis

حساب التفاضل والتكامل

في هذا الإطار، لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه مثلًا، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

إضافةً إلى ذلك، الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

الفيزياء الميكانيكية

من جهة ثانية، من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي دراسة ظاهرة حركة جسم مقذوف بزاوية α، وتكتب المعادلة الوسيطية لمسارها بدلالة الزمن t على النحو التالي:

وفي السياق ذاته، في الفيزياء الميكانيكية، تُطبق الدوال المثلثية على معادلات الحركة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في دراسة حركة الأجسام. مثلًا، عند تحليل الاختلافات الدورية في الحركيات والديناميكيات الدورانية، ومعادلات الزخم والزخم الزاوي، وظواهر التصادم، نستعمل فيها دوال مثلثية.

ومن جهة أخرى، مع x وy إحداثيات موضع الجسم عند الثانية t والسرعة الإبتدائية هي v0 وg هي قوة التسارع.

على المحور x:

من جانب آخر، كذلك، تُحسب سرعة الجسمين v1 وv2 ومقدار الزاويتين θ وφ اللتين صنعهما الجسمان بعد التصادم المرن باستخدام الدوال المثلثية، بتطبيق قانون حفظ الزخم (في كلا المعادلتين، قبل تصادم جسمين (على اليسار) = بعد تصادم جسمين (على اليمين)):

sin (60°)= cos (30°) = √3/2

من جانب آخر، يمكن التعبير عن جيب زاوية عدد صحيح بالدرجات وجيب تمامها بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد العقدي غير حقيقي. تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

وفي هذا السياق، بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد كسري، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.

ومن ناحية أخرى، تنص مبرهنة نيفن على أن القيم الكسرية الوحيدة للزاوية θ التي تتواجد في المجال بين [0° ,90°] والتي يكون جيبها عدداً كسريًا هي الزوايا ذات القيم 0 و30 و90 درجة. تمتد المبرهنة كذلك إلى الدوال المثلثية الأخرى وإلى بعض من الزوايا. بالنسبة للقيم الكسرية لـ θ، فإن القيم الكسرية الوحيدة للجيب أو جيب التمام هي 0 و (1/2)± و 1±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للقاطع أو قاطع التمام هي 1± و 2±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للظل أو ظل التمام هي 0 و1±.

كذلك، بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، أُثبتت في سنة 1966.

وفي هذا الصدد، مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات كسرية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يُعبَّر عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، ويعني هذا إنشاء الزوايا ذات الصلة بقيم الجيب وجيب التمام باستعمال المسطرة والفرجار.

وفي هذا الصدد، توفر كتابة البسوط باستعمال جذور تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة مع مقام مساوٍ 2، طريقة سهلة لتذكر القيم.

النهضة الأوروبية وما بعدها

من جهة ثانية، كانت أغلب مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).

من جانب آخر، كانت أطروحات العالم ريغيومونتانوس وتعليقاته، خاصةً كتابه المعنون كل شيء عن المثلثات في 1464) على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا. علّق في كتابه عن المثلثات:

من جانب آخر، ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لغيورغ يواخيم ريتيكوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.

من جانب آخر، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب (sin(x ليست دالة جبرية تتبع x، أي أنها دالة متسامية في مقال نُشر عام 1682م.

من جانب آخر، استعمل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك مصطلحي "Tangent" و"Secant" للمرة الأولى في كتابه المعنون الهندسة الدائرية .

ومن ناحية أخرى، في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي فينتشنتسو ريكاتي الدوال الزائدية، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.

علاوةً على ذلك، استعمل عالم الرياضيات الفرنسي ألبير جيرار (1595 – 1632 م) الاختصارات sin، وcos، وtan للمرة الأولى في كتابه حساب المثلثات .

تعريف الدوال

إضافةً إلى ذلك، يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، فضلًا عن التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).

الكسور المستمرة المعممة

في ما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:

ومن جهة أخرى، الكسور المستمرة المعممة هي تعميم للكسور المستمرة الاعتيادية في المجالين الحقيقي والعقدي.

أو

من جهة ثانية، إلى جانب تلك المنحنيات، يمكن كذلك تمثيل عدة رسومات التي تعتمد على الدوال المثلثية، بما في ذلك المنحنى العجلي التحتي، اللولب، ،... وهكذا.

مع (h , k) هي مركز القطع الزائد.

قانون الجيب

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:

علاوةً على ذلك، حيث a و b و c هي أقواس المثلث الواقع في سطح الكرة (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا جوانب المثلث الكروي)؛ و A و B و C هي الزوايا المقابلة.

• ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص قانون الجيب على ما يلي:
• حيث تشير Δ إلى مساحة المثلث، أو بشكل مكافئ:
• حيث يشير إلى نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

إضافةً إلى ذلك، يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث الزاوي، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

:sin2 x + cos2 x = 1

وفي السياق ذاته، يجب الانتباه إلى أن التدوين sin2 x + cos2 x يكافئ sin x)2 + (cos x)2).

قانون جيب التمام

وعلى صعيد آخر، يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن كذلك استخدامه لإيجاد جيب تمام لأي زاوية إذا كانت أطوال كل الأضلاع معلومة.

من جانب آخر، ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية C المقابلة للقوس c في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث a وb وc معلومة:

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:

وفي السياق ذاته، توجد صورة أخرى للمعادلة تكون قيم الزوايا الثلاثة فيها A وB وC معلومة وطول القوس مجهولٌ في المثلث الكُرويّ، وليكن القوس c، كما يلي:

وفي هذا الصدد، مع a وb وc هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية المقابلة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول لاحقًا إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي } ما يعادل والرمز ط هنا أو π في اللاتينية؛ والزاوية C هي الزاوية المقابلة للقوس c

cos(C) = sin(A).sin(B).cos(c) - cos(A).cos(B)

cos(c) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b).cos(C)

وفي السياق ذاته، يمكن إثبات هذه المبرهنة بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام مبرهنة فيثاغورس، أو باستخدام طريقة الكاشي.

من جانب آخر، قانون جيب التمام هو تعميم لمبرهنة فيثاغورس على أنواع المثلثات المستوية كلها، ويسمى كذلك مبرهنة الكاشي.

• c2= a2 + 2-2ab.cos(C)
• وقد تكتب هذه الصيغة كما يلي:
• مع C هي الزاوية المقابلة للضلع c.

في هذا الإطار، ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس المقابل لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:

المساحات

وفي هذا السياق، مثلث: هناك قانون يعبر عن مساحة المثلث بدلالة أضلاعه a وb والزاوية المحصورة بينهم θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه:

باستعمال المتسلسلات

ومن ناحية أخرى، باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:

ومن ناحية أخرى، دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

• حيث تشير !n إلى عاملي عدد.
• عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:
• ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

الدوال المثلثية التاريخية

في هذا الإطار، هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستعمل الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها كذلك اسم «الجيب المعكوس») وسهم التمام ونصف السهم، والقاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.

المجموع

ويُحسب كما يأتي:

قانون موري

ومن ناحية أخرى، ينص هذا القانون الرياضي على أن جداء جيوب التمام لكل من 20° و40° و80° يساوي 1/8، بتعبير رياضي:

حساب المتجهات

إضافةً إلى ذلك، يمكن كذلك استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:

وفي السياق ذاته، تُستعمل المتجهات (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل كمية متجهة في الرياضيات والفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستعمل بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. مثلًا، يمكن حساب الضرب النقطي لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:

أصل تسمية الدوال

في هذا الإطار، وفقتً لطريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (تسمية دالة القاطع في عصر الحضارة الإسلامية) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أطلق الغربيون عليه اسم «secant»؛ استمدت هذه الكلمة من اللاتينية "secans" التي تعني «يَقْطَع».

وفي هذا الصدد، أما عن بادئة -co الموجودة في (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لعبارة sinus complementi التي استعملت للإشارة إلى «جيب الزاوية المتممة لزاوية»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛ أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استعملت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛ التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب القوس المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس» أو «نهاية» أو «طَرَف» عموماً، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر آنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.

التاريخ

وعلى صعيد آخر، أما الاسم العربي لدالة الـ«ظل»، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل المقياس على سطح أفقي في أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فيقال أن طول الظل يساوي عدة مرات طول المقياس، عند تمثيل الرياضيين المسلمين للدالة على دائرة وحدة اعتمد نصف قطرها مقياسًا، كانت النتيجة خطاً مستقيماً يمُس الدائرة، لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم توماس فينك) على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني «يمُس».

كذلك، استُمِدّت الكلمة الإنجليزية من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني «انحناء، خليج»، وأيضاً «طَوْق الثَوْب: الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة»، واختيرت على أنها ترجمة للكلمة العربية الأصيلة «جَيْب» -التي تعني "طوق القميص"- في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى. كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية «جَيْب» التي هي تحريف للكلمة جِيبَا التي نشأت في حد ذاتها من الكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها ज्या / jyā إلى «وتر قوس السهم»؛ حيث استُعمل مصطلح «جَيْب» في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر، وهو يمثل نصف وتر ضعف القوس؛ أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في دائرة الوحدة. في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:

عصر الحضارة الإسلامية

• sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
• cos(2a) = 1 -2sin2(a)
• sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

من جهة ثانية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة في البداية بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة. فقد عُدَّ ظل التمام، التي كانت تسمى «الظل المستوي» آنذاك، طول خيال الشاخص العمودي الذي ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) أصابع؛ بينما عدَّت دالة الظل، التي كانت تسمى «الظل المعكوس»، طول خيال المقياس الأفقي؛ في الأصل، استُخدمت هذه المفاهيم للحساب بالمزولة. كان يسمى وترا المثلث القائم (القطعة AO في الصورة المرفقة) «قطر الظل الأول» (في الحالة الثانية) و«قطر الظل الثاني» (في الحالة الأولى) اللذان يطلق عليهما الآن القاطع وقاطع التمام، على التوالي. في القرن العاشر ميلادي، قدم الفيلسوف وعالم الرياضيات الفارابي، في كتابه «شرح كتاب المجسطي»، تعريفات هذه الدوال الأربع بشكل مستقل عن المزولات، وعرَّفها مع الجيب وجيب التمام في الدائرة المثلثية البطلمية التي طول نصف قطرها 60 (نصف القطر معبر عنه بالنظام الستيني). وضع محمد بن جابر البتاني العلاقات الأساسية بين الدوال الست في القرن نفسه. وحَّد أبو الوفاء البوزجاني في النصف الثاني من القرن العاشر التوحيد الأخير واستعمل للمرة الأولى دائرة الوحدة لتعريف الدوال المثلثية، كما هو الحال في الرياضيات الحديثة.

وفي هذا الصدد، يُنسَب لعلماء الرياضيات المسلمين كونهم أول من طوَّر طريقة التثليث الزاوي، وقد طبقوها عمليًا في حسابات المساحة والجغرافيا الإسلامية، كما وصفها أبو الريحان البيروني في كتابه القانون المسعودي في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث الزاوي لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة. حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة في نهاية القرن الحادي عشر عن طريق الحلول العددية التقريبية التي حصل عليها عن طريق الاستكمال الداخلي للجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، اعتبر نصير الدين الطوسي لأول مرة حساب المثلثات تخصّصًا منفصلاً عن علم الفلك، وذكر في كتابه «شكل القطاع» قانوني الجيب أحدهما للمثلثات المستوية والآخر للمثلثات الكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، ولم يتفق المؤرخون حول أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات المستوية، حيث ينسب هذا القانون إلى كل من أبو الوفاء البوزجاني ومنصور بن عراق (تلميذه) ونصير الدين الطوسي.

إضافةً إلى ذلك، عبَّر غياث الدين الكاشي في القرن الخامس عشر عن مبرهنة فيثاغورس المُعمَّمة، التي أصبح يُطلق عليها الآن «قانون جيب التمام»، بدلالة جيب التمام بعدما أنشئت جداول لها التي أتاحت له صياغة المبرهنة، والبرهنة عليها في كتابه مفتاح الحساب؛ لذلك، أطلق الفرنسيون على هذا القانون اسم «مبرهنة الكاشي» تكريما له؛ وقدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث الزاوي؛ مع العلم أن هذه المبرهنة عَبَّرَ عنها سابقًا العالم اليوناني إقليدس في كتابه الأصول، ولكن عدم وجود الدوال المثلثية آنذاك وكذلك الجبر أدى إلى استعمال مجموع وفرق المساحات. صاغ الكاشي كذلك المتطابقة التالية: sin(3Φ) = 3 sin(Φ) - 4sin3(Φ) واستعملها لحساب جيب الزاوية 1° بوضع Φ = 1° وx = sin (1°) ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة المتحصل عليها، ووصل إلى 16 منزلة عشرية؛ هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ«صيغة فييت» ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من اكتشف تلك الصيغة. وضع الرياضياتي وحاكم الدولة التيمورية ألغ بك، جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت على وجه التقريب.

كذلك، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث خلال القرن التاسع الميلادي جزءًا من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات. باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الهنود، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام؛ حيث تنسب أقدم الأعمال المتبقية إلى الخوارزمي وحبش الحاسب اللذين اعتبرا الدوال الأربعة الأخيرة.

كذلك، ويقال عنه أنه أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات الكروية، ولكن اختلف المؤرخون حول أول من وضع قانون الجيب للمثلثات الكروية، حيث نُسب هذا القانون إلى كل من: أبو الوفاء البوزجاني وأبو محمود الخجندي ونصير الدين الطوسي ومنصور بن عراق؛

وفي هذا الصدد، اكتشف محمد بن جابر البتاني قانون جيب التمام للمثلثات الكروية. واكتشف أبو الوفاء البوزجاني في القرن العاشر تلك المتطابقات المثلثية في شكلها الحالي، وقد عبَّر الرياضياتيون اليونانيون عنها بدلالة الأوتار:

ومن جهة أخرى، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي في أوائل القرن التاسع الميلادي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام وأول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من زيج السندهند (تتضمن جدولاً للجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية.في القرن نفسه، أنتجحبش الحاسب أول جدول لظل التمام.

الدوران

وفي هذا السياق، يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. كذلك، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:

المنحنيات الوسيطية

• منحنى ليساجو: يُعبَّر عن منحنى ليساجو بواسطة:
• مع و هي عبارة عن ثوابت تصف عدد فصوص الشكل.
• القطع الزائد، يمكن تمثيل وسيطيًا القطع الزائد الأفقي بواسطة:

وعلى صعيد آخر، القطع الناقص: يُمثَّل القطع الناقص ذو المركز ونصف المحور الكبير a ونصف المحور الصغير b كما يلي:

من جهة ثانية، الدائرة: تعطى المعادلة الوسيطية للدائرة ذات المركز ونصف القطر r بواسطة:

في هذا الإطار، يمكن تمثيل بعض المنحنيات الخاصة باستخدام المعادلات الوسيطية وبدلالة الدوال المثلثية، بعض من الأمثلة على المنحنيات الخاصة هي كما يلي:

القيم الجبرية

من جهة ثانية، بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أو الزوايا الشهيرة.

sin (0°) = cos (90°) =0

وفي هذا السياق، إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:

قانون الظل

• ليكن ABC مثلث، يُكتب قانون الظل كما يلي:
• مع A وB وC الزوايا المقابلة للأضلاع a وb وc على الترتيب.
• يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.
• أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي: