الرادْيان وحدة قياس للزوايا المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن

بدايةً، الرادْيان وحدة قياس للزوايا المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات المستعملة في الرياضيات والفيزياء وتعرف بأنها الزاوية المركزية الموضوعة على مركز الدائرة والتي تحدد قوساً طوله مساوي لنصف قطر الدائرة. يعادل الراديان الواحد درجات، أي بالتقريب . ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.

كذلك، إنّ وحدة القياس الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات للزاوية الفراغية الصلبة هي الستراديان، وهي، كذلك مثل الراديان، كميّة لابعديّة لأنها خارج مساحة على مساحة.

ومن جهة أخرى، رسميًا، فإنّ الراديان كمية لا بعدية، بعكس الثانية أو المتر، فهو مجرّد عدد. لذا فإنّ تدوين كلمة راديان (أو rad) هو للإيضاح فقط ويجب ألاّ يفهم منه أنّ له مفهومًا فيزيائيًا. عندما تكتب الزاوية بدون أي علامة، يقصد بشكل عام أن القيمة هي بالراديان، بينما تضاف العلامة للإشارة إلى الدرجة.

تحويل بين الراديان والدرجة

علاوةً على ذلك، للتحويل من راديان إلى درجات يجب أن نضرب الراديان بالقيمة . فمثلًا:

وفي هذا الصدد، إمكانيّة أخرى هي تحويل مقدار الزاوية بالراديان إلى عدد الدورانات بواسطة القسمة على . فمثلاً، إنّ تعادل ثلاثة دورات كاملة.

من جانب آخر، وبالمقابل، فللتحويل من درجات إلى راديان، يجب أن نضرب بالقيمة :

تعريف

هو طول القوس،

بحيث أنّ:

و هو طول نصف قطر الدائرة.

من جهة ثانية، وبشكل عام، فإنّ مقدار أي زاوية مركزيّة يحصرها نصفا قطر ما بالراديان تساوي النسبة بين طول القوس المقابل للزاوية وبين نصف قطر الدائرة، أي أنّ:

وفي السياق ذاته، يعرّف الراديان الواحد على أنّه الزاوية المركزيّة في دائرة التي تقابل قوسًا طوله مساوٍ لطول نصف قطر الدائرة.

من جانب آخر، بالمقابل، فبالإمكان حساب طول قوس في دائرة نصف قطرها يقابل زاوية مركزية مقدارها :

من جهة ثانية، من هذا القانون بالإمكان الاستدلال على مقدار الراديان الواحد. فإنّ زاوية دائرية كاملة تعادل ، وهي تقابل قوسًا يساوي كل محيط الدائرة، لذا فإنّ مقدارها بالراديان هو: . إذا كانت زاوية مقدارها 360 درجة تعادل راديان، فيعادل الراديان الواحد درجة.

هي الزاوية المركزيّة،

الاستعمال في الفيزياء

علاوةً على ذلك، إنّ استعمال وحدة الراديان في الفيزياء أمر شائع لقياس الزوايا. فمثلًا، تقاس السرعة الزاوية في غالب الأحيان بوحدات راديان في الثانية . وإنّ وحدة الدورة في الثانية تعادل في الثانية. كما ويقاس التّسارع الزاويّ بشكل عام بوحدة الراديان في الثانية في الثانية .

انظر كذلك
ستراديان
سرعة زاوية
تردد زاوي

علاوةً على ذلك، يعود سبب الاستعمال الشائع للراديان في الفيزياء إلى نفس أسباب استعماله في الرياضيات - فإنّ استعمال الكمية يبسط الأمور في الكثير من الأحيان.

تاريخ

وفي السياق ذاته، أوّل من أتى بفكرة الراديان كان الرياضي البريطاني روجر كوتس، عام 1714. مع أنّه لم يطلق على الفكرة كلمة راديان، فقد فهم كوتس مدى بديهيّة المفهوم كوحدة للقياس الزاوي.

التحليل البعدي

إضافةً إلى ذلك، وهي نتيجة أساسيّة. كذلك، بالإمكان برهنة عدد من المعادلات المثلثية:

ومن جهة أخرى، طريقة أخرى لرؤية الفائدة من وراء كون الراديان كميّة لا بعدية تظهر عند التمعن بمتسلسلة تايلور للدوال المثلثيّة:

علاوةً على ذلك، كثيرًا ما يستعمل الراديان كوحدة القياس المفضّلة في الكثير من المجالات. ففي حساب التفاضل والتكامل، مثلاً، يساعد كون الراديان كميّة غير بعديّة في صياغ المعادلات والبراهين، وهذا بسبب عدم وجود حاجة إلى «إلغاء» وحدة القياس.

وفي هذا السياق، فإذا لم يكن الراديان كميّة غير بعديّة، لما كان بإمكان متسلسلة تايلور أن تكتب بهذه البساطة، إذ كان يتوجّب إلغاء البعد الفيزيائي للكمية لكي نتمكن من جمع كل الحدود، لأنّ كل منها بقوّة مختلفة. فلا يمكن أن نجمع حدًا بُعده متر وحدًا بُعده متر.

وفي هذا السياق، بسبب مثل هذه الخواص وغيرها، قد تظهر الدوال المثلثية بالتمثيل الرادياني في سياقات قد لا تمت بصلة مباشرة للمفهوم الهندسي الأصلي لتلك الدوال. فمثلاً، تكون هذه الدوال حلاًّ للمعادلة التفاضلية التالية: .

وفي السياق ذاته، إنّ استعمال الراديان، خاصّة في الدوال المثلثية كالجيب وجيب التمام وغيرها، هو بسيط. فمثلاً بواسطة الراديان بالإمكان برهنة نهاية الدالة الآتية:

راديان