شبيكة مقلوبة

المجاميع العشوائية من الذرات

وفي هذا الصدد، هنا يمثل متجه الإستطارة ويكافئ بوحدات علم البلورات، عدد الذرات، و يمثل معامل التشتت الذري أو للذرة ولمتجه الإستطارة ، بينما يمثل متجه الموقع لتلك الذرة، مع ملاحظة أن حدود متسلسلة فورييه تتأثر بإختيار نقاطة الأصل للإحداثيات.

من جانب آخر، يمكن استخدام هذا التحليل كذلك للتنبؤ بتأثير شكل البلورات النانوية، والتغيرات الطفيفة في توجيه حزمة الأشعة المحادة على قمم الحيود حتى لو كان الفرق يعادل سمك ذرة واحدة.

، هنا يمثل متجه المسافة بين الذرتين و.

إضافةً إلى ذلك، في حالة البلورة النهائية الطول أي أن لها من الذرات داخل وحدة الخلية يتم التعبير عن معاملات الشبيكة الكسرية على التوالي ، لبيان تأثيرات الحجم المحدود للبلورة لذا يجب استعمال طريقة تدوير الشكل لكل نقطة أو استعمال المعادلة أعلاه لشبيكة محدودة.

ومن جهة أخرى، كحالة خاصة لبلورة دورية لا نهائية، تكون سعة الموجات المستطارة لمضاعفات من وحدات الخلية ، في حالة الأعداد الصحيحة من لا يمكن أن يساوي هذا المقدار صفراً، حيث أن:

من جهة ثانية، سواء أكانت مصفوفة الذرات محدودة أو لا نهائية، ولأن عدد معقد يمكن كذلك استخدام تعريف «كثافة الشبيكة المقلوبة» ، والتي ترتبط بديهياً بسعة الشبيكة بالعلاقة التالية حيث أن تمثل المرافق المعقد لـ ، نظراً إلى أن تحويل فورييه قابل للإنعكاس، فتصبح كثافة الشبيكة المقلوبة:

من جانب آخر، أحد الطرق للوصول إلى الشبيكة المقلوبة لتجمع عشوائي من الذرات تأتي من فكرة إستطارة الموجات ضمن حد فرانهوفر، كما في مجموع نمط هيوغن للسعات المتشتته من كافة النقاط (في هذه الحالة ستكون لكافة الذرات المنفصلة)، يتم التعبير عن هذا المجموع بدلالة السعة المعقدة الموجودة في المعادلة أسفل، وذلك لأنها تمثل تحويل فورييه للإستطارة الفعّالة في الفضاء الحقيقي:

السداسي البسيط

من جانب آخر، لنظام السداسي البسيط بثوابت شبيكة ، تكون الشبيكة المقلوبة كذلك بشكل سداسي بسيط لكن قيم ثوابتها أقل وتساوي مع زاوية إنحراف عن الشبيكة الأصلية تساوي °30 حول ، لذا فإن نظام السداسي البسيط هو نظام «مزدوج ذاتياً» كذلك يمكلك نفس التناظر للشبيكتين الحقيقة والمقلوبة.

المكعب البسيط

المكعب ممركز الجسم (BCC)

المكعب ممركز الوجه (FCC)

كذلك، الشبيكة البرافيزية ذات شكل المكعب البسيط بثابت شبيكة ، تملك شبيكة مقلوبة بشكل مكعب بسيط كذلك لكن بثابت شبيكة أصغر يساوي (في تعريف علم البلورات يساوي )، لهذا يقال على نظام المكعب بأنه «مزدوج ذاتياً؛ self-dual»، الشبيكة في الفضاء المقلوب تملك نفس تناظر الشبيكة في الفضاء الحقيقي.

ومن ناحية أخرى، إفترض وحدة خلية بشكل مكعب ممركز الوجه (FCC)، بتحديد وحدة الخلية الأولية لها يمكن إعتبار إحدى نقاطها نقطة أصل، ويحدد منها المتجهات الأساسية للشبيكة الحقيقية، ثم تطبق عليها معادلات التحويل المعروفة والتي يمكن منها تحديد المتجهات الأساسية للشبيكة المقلوبة، ستكوّن المتجهات المقلوبة خلية ممركزة الجسم (BCC)، مع إختلاف بالحجم لأن الشبيكة المقلوبة تكون أصغر من الحقيقية.

وفي السياق ذاته، لهذا النظام يكون شكل الشبيكة المقلوبة هو مكعب ممركز الجسم (BCC).

ومن جهة أخرى، في نظام المكعب ممركز الجسم (BCC) شكل الشبيكة المقلوبة يكون مكعب ممركز الوجه (FCC)، يمكن إثبات هذا بسهولة عن طريق تطبيق معادلات التحويل على متجهات الشبيكة الأساسية.

التعبير الرياضي

لنفرض شبيكة برافيزية ثنائية الأبعاد متمثلة بالمتجه:

حيث أن

وفي هذا الصدد، كل نقطة في الشبيكة المقلوبة بإحداثيات تقابل مجموعة المستويات في الشبيكة الحقيقية، وإتجاه المتجهات المقلوبة يتوافق مع الإتجاه العمودي لمستويات الفضاء الحقيقي، وقيمة المتجهات العددية تسمى بمقلوب الطول وتساوي مقلوب المسافة الواصلة بين مستويات الفضاء الحقيقي.

هنا يمثل مصفوفة دوران بزاوية °90.

في هذا الإطار، التعريف أعلاه يسمى تعريف «الفيزياء»، وذلك لأن العامل ظهر طبيعياً كنتيجة لدراسة التراكيب الدورية، يوجد تعريف آخر يسمى تعريف «علم البلورات» يأتي من استخدام المساواة في التحليل مما يغير صيغة التحويل إلى الشكل التالي:

وفي هذا السياق، إيجاد الشبيكة المقلوبة لشبيكة حقيقية ثنائية الأبعاد لا نهائية متجهاتها الأساسية ممكن عن طريق الحصول على المتجات الأساسية المقلوبة وذلك بتطبيق علاقة التحويل التالية:

من جهة ثانية، تسمح هذه الطريقة بتطبيق التحويلات وتعميمها على أي عدد من الأبعاد، يكون الضرب الإتجاهي شائع في علم البلورات.

بالتعويض عن الضرب العددي الثلاثي بحجم الشبيكة :

الشبيكات المقلوبة للأنظمة البلورية

إضافةً إلى ذلك، للشبيكة ثلاثية الأبعاد متجهاتها الأساسية ، يمكن تحديد متجهات الشبيكة المقلوبة الأساسية لها من خلال علاقات التحويل التالية:

وعلى صعيد آخر، يسمى المعامل كرونكر دلتا، هذا الشرط يحدد قيم بقيم تحقق العلاقة اعلاه فقط. من منظور الرياضيات الشبيكة المقلوبة تتمثل في كافة قيم متجه الشبيكة المقلوبة التي تحقق الشرط أعلاه لكافة قيم متجهات الشبيكة الحقيقية ، يمكن كذلك كتابة أي دالة تحقق شرط الدورية للخلية على شكل متسلسلة فورييه بقيم زخم زاوية تؤخذ من الشبيكة المقلوبة.

ومن ناحية أخرى، الشبيكة المقلوبة في حد ذاتها تمثل شبيكة برافيزية، كما أن مقلوب الشبيكة المقلوبة يعطي الشبيكة الحقيقة، وهذا يظهر صفة لمتجه الفضاء لكل منهما.

علاوةً على ذلك، تظهر ميزة تعريف «علم البلورات» في كونها تُبين ببساطة أن المتجة هو مقلوب المتجه ، بإتجاه مع إسقاط المعامل في العلاقة، هذا يبسط من المعالجات الرياضية، ويعبر عن أبعاد الشبيكة المقلوبة بوحدات التردد الفراغي، مع أن استعمال كلا التعرفيين هو مسألة إختيارية لكن بشرط عدم خلطهما مع بعضهما.

يمكن التعبير عن التحويلات أعلاه بدلالة مصفوفة قابلة للعكس:

وهكذا للمتجهات الأخرى...

حيث أن:

الفضاء المقلوب

• و.
• انظر كذلك
• علم البلورات
• دراسة البلورات بالأشعة السينية
• نظام بلوري
• منطقة بريليون
• خلية ويغنر-سيتز
• علم المواد

ومن جهة أخرى، الفضاء المقلوب (يعرف كذلك بفضاء متجه الموجة، أو فضاء-K)، هو الفضاء الناتج من إدخال تحويلات فورييه على التردد الحيزي (كما في إدخال تحويلات فورييه إلى مجال التردد للحصول على دالة معتمدة على الزمن)، تقلب تحويلات فورييه الفضاء الحقيقي إلى فضاء مقلوب والعكس بالعكس، يلعب الفضاء المقلوب دوراً مهما في دراسة ميكانيكا الموجات: مثلًا في الموجات المستوية حيث يضاف حد التذبذب إلى المعادلة والذي يكتب بدلالة متجه الموجة والتردد الزاوي ، يمكن أن يكون هذا الحد دالة لكل من متجه الموجة والإزاحة (والجزء الطيفي منه دالة لكل من التردد والزمن )، ولأن الذبذبات دورية كل لهذا ولأي طور فإن و هما مقلوبا بعضهما وفق ما يلي:

حيث أن

وفي هذا السياق، بأخذ دالة بالنسبية إلى وهو متجه من نقطة الأصل إلى أي نقطة في الشبيكة، إذا كانت الدالة دورية ضمن الشبيكة فمن المفيد أن يُعَبَّر عنها بشكل متسلسلة فورييه:

من جانب آخر، ولأنها تحقق شرط الدورية، فإذن ستظهر لها نفس القيمة مع كل إمتداد للمتجة بمقدار متجه شبيكة حقيقية ، يمكن التعبير عن هذا الشرط بالصيغة التالية:

وفي السياق ذاته، هذه المعادلة صحيحة في حالة كون وهذا يحصل فقط عند الشرط التالي:

بإدخال هذا الشرط إلى تحويل فورييه نجد: