صيغة أويلر

البراهين

من الممكن برهنة الصيغة بعدة طرق.

مقياس z

وعلى صعيد آخر، تعني سعة العدد المركب z; أي الزاوية بين الاتجاه الموجب لمحور السينات والمتجه z، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة وبالتقدير الدائري، هذه الزاوية لا يحدث لها تغير إذا أضيف إليها 2π؛ ذلك أن الزاوية الناتجة ستكون مكافئة للزاوية الأصلية. عندما تكون x ≤ 0 يجب تعديل بحسب الربع الذي تقع فيه.

.

من جانب آخر، من العلاقة السابقة يتبين أن صيغة أويلر من الممكن أن تستعمل في إيجاد لوغاريتم عدد مركب، مع الأخذ في الاعتبار أن اللوغاريتم هو عملية عكسية لعملية الرفع للأسس كالتالي

واخيرًا قانون الأس الذي ينص على أن

من جانب آخر، والذي من الممكن أن تثبت صحته لكل عدد صحيح k، من الممكن أن يستعمل، إلى جانب صيغة أويلر، لتوليد عدة متطابقات مثلثية، ذلك إلى جانب إثبات صيغة ديموافر.

وبافتراض أن

إذن باستخدام قاعدة الضرب يمكن إيجاد مشتقة (ƒ(x كالتالي:

بضرب الطرفين في (cos x + i sin x)، نحصل على

إضافةً إلى ذلك، بما أن مشتقة (ƒ(x تساوي صفرًا فلابد أن تكون (ƒ(x دالة ثابتة في x؛ أي أن قيمة الدالة لا تتغير عند جميع قيم x، ولما كانت ƒ(0) = 1 (وذلك بالتعويض عن x = 0 في الدالة الأصلية) تكون ƒ(x) = 1، ومن ثم فإن.

تطبيقات أخرى

كذلك، تستعمل أحيانًا الدالة eix عند حل المعادلات التفاضلية لتبسيطها، وإن كان الحل الأخير دائمًا ما يكون في صورة دالة حقيقية تتضمن الجيب وجيب التمام. السبب للجوء إلى هذا الاستخدام هو كون الدالة الأسية دالة ذاتية "eigenfunction" في التفاضل. صيغة أويلر كذلك تعتبر الأساس لمتطابقة أويلر؛ إذ أن الأخيرة هي نتيجة مباشرة من الأولى.

في هذا الإطار، وفي الهندسة الكهربية ومجالات أخرى، فإن الإشارات التي تتغير تغيرًا دوريًا مع الزمن يعبر عنها بدلالة الجيب أو جيب التمام أو مجموعة مؤلفة منهما معًا (انظر تحليل فورييه)، ويكون من الملائم التعبير عنها بدلالة الجزء الحقيقي أو الجزء التخيلي من الدالة الأسية ذات الأس التخيلي (الدالة الأسية التخيلية أو المركبة)؛ وذلك بالاستعانة بصيغة أويلر. كذلك تستعمل صيغة أويلر في التحليل الطوري للدوائر الكهربية، وذلك لتمثيل معاوقة مكثف أو ملف حث.

باستخدام المعادلات التفاضلية

نفترض أن (ƒ(x دالة في المتغير الحقيقيx بحيث

باستخدام متسلسلة القوى

في هذا الإطار، فيما يلي برهان صيغة أويلر باستخدام مفكوك متسلسلة القوى إلى جانب حقائق أساسية عن رفع الوحدة التخيلية i لأي أس:

وهكذا...

كذلك، في الخطوة الأخيرة استُعوِض بمتسلسلتي تايلور لدالتي الجيب وجيب التمام بقيمتهما: (sin(x و (cos(x، ويلاحظ أن إعادة ترتيب الحدود مبرر لأن كل متسلسلة تتقارب تقاربًا مطلقًا.

كذلك، وباستخدام متسلسلة القوى المذكورة أعلاه، نجد أنه لأي قيمة حقيقية x

كما أن

لكل z ≠ 0،

• وكلاهما صحيحان لأي عددين مركبين a وb.
• وهكذا يمكن من كتابة ما يلي:
• وبأخذ لوغاريتم الطرفين فإن:

في هذا الإطار، وهذه الصيغة من الممكن أن تستعمل باعتبارها تعريف اللوغاريتم المركب، وهكذا فإن لوغاريتم عدد مركب هو دالة متعددة القيم؛ نتيجة أن متعددة القيم.

وبما أن

علاوةً على ذلك، يتضح أن المعادلة الموضحة بأعلى تتعلق باللوغاريتمات المركبة، لكن برنولي لم يقم بإجراء عملية التكامل، وتوحي الرسائل التي كانت بينه وبين أويلر (الذي كان على علم كذلك بنفس المعادلة) أنه لم يكن يفهم اللوغاريتمات على أكمل وجه. وقد اقترح أويلر أن اللوغاريتمات المركبة من الممكن أن يكون لها قيم عديدة لا متناهية.

في غضون سنة 1714 اكتشف روجر كوتس أن:

كذلك، (حيث "ln" تعني اللوغاريتم الطبيعي؛ أي اللوغاريتم الذي أساسه e)، يُعلم الآن أن اللوغاريتم المركب له عدد لا نهائي من القيم؛ نظرًا للطبيعة الدورية للدوال المثلثية، لكن كوتس غفل عن هذه الحقيقة.

ومن جهة أخرى، أويلر (ربما نحو 1740) ولى انتباها إلى الدالة الأسية بدلاً من اللوغاريتمات، واستطاع الحصول على الصيغة الصحيحة المعروفة باسمه الآن، وقد نشرها في 1748، معتمدًا في إثباتها على المتسلسلات اللامتناهية. لم يُقدَّر لكلا الرجلين أن يريا التمثيل الهندسي للصيغة، إذ أن تمثيل الأعداد المركبة كنقاط على المستوى المركب لم يظهر إلا بعد خمسين سنة لاحقًا.

العلاقة بحساب المثلثات

علاوةً على ذلك، المعادلتان أعلاه يمكن أن تُشتقا من جمع وطرح صيغتي أويلر التاليتين:

في هذا الإطار، الأسس المركبة قد تساعد كذلك في تبسيط حساب المثلثات؛ لأنها يسهل التعامل معها رياضيًا عن التعامل مع المركبات الجيبية، أحد الوسائل إلى ذلك ببساطة هو تحويل الدوال الجيبية (الجيب وجيب التمام) إلى تعبيرات أسية مكافئة لها، ثم إجراء العمليات الرياضية على هذه التعبيرات لوضعها في أبسط صورة ممكنة، هذه الصور المبسطة الناتجة تظل حقيقية القيمة، فمثلاً :

من جهة ثانية، تبين صيغة أويلر الاتصال القوي بين التحليل الرياضي وحساب المثلثات، كما تقدم تفسيرًا لدالتي الجيب وجيب التمام في صورة مجاميع مرجحة للدالة الأسية.

من جانب آخر، ويمكن لهاتين الصيغتين أن تُستعملا كتعريف للدوال المثلثية ذات السعة المركبة أو التخيلية. مثلًا، بوضع x = iy في المعادلتين ينتج أن:

وفي السياق ذاته، هناك وسيلة أخرى لتبسيط الدوال الجيبية، وذلك عن طريق تمثيلها بدلالة الجزء الحقيقي من الدالة الأسية المركبة في صورة مناسبة، ثم إجراء العمليات الرياضية اللازمة لتبسيط هذا الصورة، وفي النهاية يُؤخذ الجزء الحقيقي منها ويُهمل الجزء التخيلي. مثلاً :

لكل عدد مركب z

باستخدام النهايات

وعلى صعيد آخر، باستخدام اختبار النسبة من الممكن توضيح أن متسلسلة القوى هذه لها نصف قطر تقارب لا متناه، ومن ثم فإنها تعرِّف الدالة ez لكل الأعداد المركبة z.

لكل عدد مركب z

بإجراء عملية التفاضل للطرفين بالنسبة إلى x

• وهكذا يتضح أن (ƒ(x وeix يحققان نفس المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى.
• انظر كذلك
• متطابقة أويلر
• عدد مركب
• المراجع
• وصلات خارجية
• إثبات صيغة أويلر ، بواسطة يوليوس سميث
• صيغة أويلر ونظرية فيرمات الأخيرة
• الدالة الأسية المركبة، بواسطة جون إتش ماثيو
• عناصر الجبر

التطبيقات في نظرية الأعداد المركبة

علاوةً على ذلك، الإثبات الأصلي الذي قدمه أويلر يعتمد على مفكوك تايلور للدالة الأسية ez (حيث z عدد مركب)، ودالة الجيب sin x، وجيب التمام cos x لأي عدد حقيقي x (سيتم تناول الإثبات أدناه)، في الحقيقة هذا الإثبات يبين أن صيغة أويلر صحيحة لكل عدد مركب  z.

وعلى صعيد آخر، أي نقطة في المستوى المركب من الممكن أن تمثل بعدد مركب مكتوب في صورة إحداثيات ديكارتية، تقدم صيغة أويلر وسيلة للتحويل من هذه الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية، مما يقلل الحدين إلى حد واحد، وهذا بدوره يبسط عمليات ضرب أو قسمة الأعداد المركبة، كما يبسط رفعها لأي قوى. أي عدد مركب z = x + iy من الممكن أن يكتب على الصورة:

ومن جهة أخرى، يمكن تفسير الصيغة بالقول أن الدالة eix تمثل جميع النقاط الواقعة على دائرة الوحدة في مستوى الأعداد المركبة، ذلك عندما يكون مدى x في نطاق الأعداد الحقيقية. حيث x هي الزاوية المحصورة بين الخط الواصل من نقطة الأصل إلى أي نقطة على الدائرة وبين الاتجاه الموجب لمحور السينات، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة، وبالتقدير الدائري.

تعريفات الدالة الأسية المركبة

وفي هذا السياق، الدالة الأسية ex لأي قيمة حقيقية x من الممكن التعبير عنها بصور ليست كثيرة مكافئة لها (انظر خصائص الدالة الأسية)، والكثير من هذه الصور من الممكن أن تستغل في الحصول على تعريفات للدالة ez للقيم المركبة z، وذلك عن طريق استبدال x بالعدد المركب z، ثم إجراء العمليات الجبرية الممكنة في الأعداد المركبة، التعريفان المكافئان التاليان، على وجه الخصوص، من الممكن أن يستعمل أحدهما لتعريف الدالة الأسية المركبة.

باستخدام متسلسلة القوى

حيث

الجزء التخيلي:

الجزء الحقيقي:

باستخدام حساب التفاضل والتكامل

باعتبار i ثابتًا، وليكن ثابتًا تخيليًا، لاحظ أن