صيغة دي موافر
على سبيل التعريف، في الرياضيات، صيغة دي موافر ، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:
إضافةً إلى ذلك، وتوجد هناك تعميمات لصيغة ديموافر لتشمل الأسس غير الصحيحة ويمكن استعمالها لايجاد جذور الوحدة أي حيث .
ومن ناحية أخرى، حيث أن عدد حقيقي و عدد صحيح و وحدة تخيلية ,وهي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر:
حدوديات تشيبيشيف
- صيغة دي موافر تعطي:
- .
- بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:
- حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.
- .
ويساوي
من جانب آخر، ويمكن التحقق من صحة النتيجة عن طريق تربيع الحد الاول دون استخدام صيغة ديموافر.
البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي
وعلى صعيد آخر، من أجل n > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي:
من جهة ثانية، وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، n≥1.
- إذا كانت n = 0 تظل الصيغة صحيحة، ومن المعروف أن .
- إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي:
- أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.
يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.
إضافةً إلى ذلك، العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية.
وبدراسة الحالة n = k + 1:
مثال
اذا كان و فان صيغة ديموافر تنص على:
استخدامات صيغة دي موافر
- تستعمل هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:
- و كذلك للحصول على أشكال (cos(nx و (sin(nx بدلالة (sin(x و (cos(x.
- مثلًا، للحصول على (cos(2x و (sin(2x، ساوي:
- .
- لدينا:
- .
- ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:
- .
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟