طريقة نيوتن

التاريخ

انظر إلى شرف الدين الطوسي وإلى غياث الدين الكاشي.

أمثلة

الطريقة

وفي السياق ذاته، نختار قيمة اعتباريةx0 (كلما كانت قريبة من الحل كلما كان أفضل). نحدد بالترجع بالنسبة لكل عدد صحيح طبيعيn:

من جهة ثانية، عمليا: العمليات بالنسبة لf : [a, b] → R, دالة معرفة وقابلة للاشتقاق على المجال[a, b]

حيث 'f هي الدالة المشتقة للدالة f.

وعلى صعيد آخر، نستطيع أن نبين أنه إذا كانت 'f  دالة متصلة والجذر المجهول α معزول، فإنه يوجد مجاور ل α حيث لكل قيم الانطلاق x0 للجوار، المتتالية (xn) تقترب من α. أكثر من ذلك، إذا كانت f '(α) ≠ 0, فإن التقارب رباعي أي أن عدد الأرقام الصحيحة على وجه التقريب تتضاعف في كل مرحلة.

إضافةً إلى ذلك، التأويل الهندسي كما يلي: نختار قيمة قصوى قريبة من «جذر المعادلة». ونغير التمثيل البياني بالمماس ونحسب الصفر التقريبي. صفر المماس هو قيمة تقريبية لجذر المعادلة، ومن ثم يمكن إعادة الحساب للحصول على حل أكثر قربا للجذر.

الجذر التربيعي لعدد ما

• حلحلة المعادلة cos(x) = x3
• انظر كذلك
• طريقة التنصيف
• طريقة أويلر
• الجذر التربيعي الصحيح
• ليونيد كانتروفيتش
• طرق حساب الجذر التربيعي

ومن ناحية أخرى، بقيمة متنبئة أصلية مساوية للعدد 10، المتتالية التي تعطيها طريقة نيوتن هي كما يلي:

إذن، الدالة التي ينبغي استعمالها في إطار طريقة نيوتن هي:

ذات المشتقة التالية:

ومن ناحية أخرى، طريقة نيوتن هو واحدة من الطرق المستعملة من أجل حساب الجذر التربيعي.

كذلك، مثلًا، حساب الجذر التربيعي للعدد 612 يكافئ ايجاد حلحلة للمعادلة التالية:

في هذا الإطار، حيث الأرقام الصحيحة مسطر عليهن. بعد عدد قليل فقط من التكرارات، أمكن الحصول على حلحلة دقيقة إلى حدود مجموعة من الأرقام بعد الفاصلة.