طول قوس

إيجاد أطوال قوس باستخدام التكامل

ومن ناحية أخرى، تشمل المنحنيات التي تحتوي على حلول منغلقة الشكل لطول القوس: منحنى السلسلة، ودائرة، ودويري، وحلزون لوغاريتمي، وقطع مكافئ، و وخط مستقيم. أدى عدم وجود حل منغلق الشكل لطول الأقواس الإهليلجية والزائدية إلى تطوير التكاملات الإهليلجية.

وفي هذا الصدد، إذا كان منحنى مستو في معرف بواسطة المعادلة ، حيث قابل للتفاضل باستمرار، فهي ببساطة حالة خاصة لمعادلة وسيطية حيث و . ثم يُعطى طول القوس بواسطة:

الأنظمة الإحداثية الأخرى

وعلى صعيد آخر، لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات الكروية، يساوي طول القوس:

من جانب آخر، يظهر حساب مشابه جدًا أن طول قوس المنحنى المعبر عنه بالإحداثيات الأسطوانية يساوي:

في هذا الإطار، يظهر استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى أن: . لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:

وفي هذا السياق، ليكن منحنى معبر عنه بالإحداثيات القطبية. التحويل الذي يحول الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية هو

من جهة ثانية، الدالة المكاملة لتكامل طول القوس هي . تظهر قاعدة السلسلة لحقول المتجهات أن. لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:

، حيث هو الضرب القياسي للمتجهين و .

وفي هذا الصدد، لتكن الآن منحنى معبر عنه بالإحداثيات الكروية حيث هي الزاوية القطبية المقاسة من محور -الموجب و هي زاوية السمت. التحويل الذي يحول من الإحداثيات كروية إلى الإحداثيات الديكارتية هو:

وفي هذا السياق، لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات القطبية، يساوي طول القوس:

التكامل العددي

وفي هذا الصدد، يختلف تقدير خمسة عشري النقاط لهذا التكامل البالغ عن الطول الحقيقي لـ:

ومن ناحية أخرى، في أغلب الحالات، بما في ذلك المنحنيات البسيطة، لا توجد حلول منغلقة الشكل لطول القوس والتكامل العددي ضروري. التكامل العددي للتكامل طول القوس عادة ما تكون فعالة جدا. مثلًا، ضع في اعتبارك مشكلة البحث عن طول ربع دائرة الوحدة من خلال التكامل العددي لطول القوس. النصف العلوي لدائرة الوحدة يمكن أن تكون معلمة كـ . يتوافق المجال مع ربع الدائرة. بما أن و ، فإن طول ربع دائرة الوحدة هو

علاوةً على ذلك، بمقدار وتقدير قاعدة التربيع الغاوسي ستة عشري النقاط والذي يبلغ يختلف عن الطول الحقيقي بمقدار .