ط (رياضيات)

في الاحتمالات والإحصاء

دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع كوشي:

كذلك، دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع المنتظم بالمتوسط μ والانحراف المعياري σ، نتيجة للتكامل الغاوسي:

ومن جهة أخرى، في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد الكثير من التوزيعات التي تحوي العدد π، منها ما يلي:

قيمة مقربة

كذلك، 15982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

في هذا الإطار، 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303

في هذا الإطار، 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235

كذلك، 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196

وفي هذا الصدد، 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132

ومن ناحية أخرى، 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273

من جهة ثانية، 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859

قيمة التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:

في هذا الإطار، 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

وفي هذا الصدد، 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094

التاريخ

علاوةً على ذلك، 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912

طريقة مونت كارلو

من جهة ثانية، طرق مونت كارلو من أجل إيجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان.

في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان

ومن جهة أخرى، كان إيجاد قيمة هذه المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي . هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في نظرية الأعداد وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما، مساويا ل .

إضافةً إلى ذلك، يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، فضلًا عن مولد للأعداد العشوائية، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل ، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو.

وعلى صعيد آخر، دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2، يمكن أن تكتب كما يلي :

عصر التقريب بمتعددي الأضلع

من جهة ثانية، في سنة 1424، تمكن غياث الدين الكاشي من حساب ما يكافئ ستة عشر رقما بعد الفاصلة ل π، بالاستعانة بمتعدد للأضلاع عدد أضلاعه يساوي 3×228. لقد بقي هذا العمل الأكثر دقة في العالم لمدة تقارب 180 سنة.

من جانب آخر، اعتمدت أول خوارزمية مسجلة في التاريخ والتي تمكن من حساب قيمة π بصفة دقيقة على مقاربة هندسية تستعمل متعدد الأضلع. كان ذلك في عام نحو 250 قبل الميلاد من طرف عالم الرياضيات الإغريقي أرخميدس. بقيت هذه الطريقة المعتمدة على متعدد الأضلع هي الطريقة الأساسية من أجل حساب π لمدة تزيد عن الألف سنة. نتيجة لذلك، كان يشار في بعض الأحيان إلى π على أنها ثابتة أرخميدس.

سرعة الاقتراب

وفي السياق ذاته، متسلسلات تحسب قيمة بعد الدورة الأولى بعد الدورة الثانية بعد الدورة الثالثة بعد الدورة الرابعة بعد الدورة الخامسة تؤول إلى : 4.00002.6666...3.4666...2.8952...3.3396... = 3.1415... 3.00003.1666...3.1333...3.1452...3.1396...

إضافةً إلى ذلك، لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة بالنسبة الثابتة π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.

ومن ناحية أخرى، برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن العدد π عدد غير كسري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 أن هو كذلك عدد غير كسري. في سنة 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر وأويلر.

كون π عددا غير كسري وكونه عددا متساميا

النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين

من جهة ثانية، ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين لدالة قوس الظل حيث

وفي هذا الصدد، في الحقيقة لاتستعمل الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، وهكذا.

إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :

وفي هذا الصدد، يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:

خوارزميات الحنفية

وفي السياق ذاته، اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. اكتشفت من طرف سيمون بلوف.

وفي هذا الصدد، اكتشفت خوارزميتان في سنة 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.

الاستعمال

ومن جهة أخرى، كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.

سلاسل أخرى

كذلك، سلسلة الإخوان شودنوفسكي التي سمحت لأول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:

• و كان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:
• ثم المعاودة:
• حتى تصبح an وbn متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π

• هناك حسابات أخرى مثل:
• اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:
• سلسلة رامانجن:

من جانب آخر، في سنة 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = eπ، وبالتالي

علاوةً على ذلك، حيث q = eπ و k هو عدد فردي، وa, b, c هي أعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m + 3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط،

وأخرى بالشكل،

عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية

من جهة ثانية، الجدير بالذكر أن فابريس بيلارد حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين حَسَبَ π على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استعمل خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي.

وفي السياق ذاته، مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري.

في الهندسة وحساب المثلثات

من جهة ثانية، يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط :

• محيط دائرة شعاعها r هو .
• مساحة دائرة شعاعها r هي .
• حجم كرة شعاعها r هو .
• مساحة كرة شعاعها r هو .

المتسلسلات غير المنتهية

وفي هذا الصدد، باستعمال هذهِ الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه تقريب للعدد ط. وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مشابهة لصيغة ماشن.

من جانب آخر، أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداء غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593:

تسمى هذه المتسلسلة صيغة فييت.

ومن ناحية أخرى، في عام 1706، استعمل جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها.

ومن جهة أخرى، ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي كذلك جداء غير منته. تسمى هذه المتسلسلة جداء واليس.

من جهة ثانية، تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود.

وفي هذا السياق، هذهِ الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز، تساوي عندما يساوي واحدا.

وفي السياق ذاته، في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس غريغوري في سنة 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674.

في العصور القديمة والوسطى

من جهة ثانية، ويرجع حصر قيمة بين و إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ط.

من جهة ثانية، من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط. كان البابليون يستعملون التقريب بينما استعمل المصريون التقريب .

من جانب آخر، في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الآلات الحاسبة بأربعمائة سنة.

صيغة بيلارد

من جانب آخر، حسّن منشورَ سيمون بلوف فابريس بيلارد مكتشفا صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009.

• تدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:
• انظر كذلك
• ثابت رياضي
• قائمة الأعداد
• الأعداد غير النسبية
• متسلسلات مادهافا
• تسلسل زمني لحساب π
• يوم ط
• المراجع
• وصلات خارجية
• "Pi" على موقع ماثوورلد

الكسور المستمرة

ومن ناحية أخرى، العدد ط، كونه عددا غير كسري، لا يمكن تمثيله كسرا بسيطا. هذه الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الكسرية. ولكن الأعداد غير الكسرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة:

في هذا الإطار، ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي على وجه التقريب معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية:

التعريف

وفي هذا الصدد، نسبة هي ثابتة بغض النظر عن محيط أو مساحة الدائرة. هذا التعريف ل يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم الهندسة الأقليدية المسطحة. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى الهندسة غير الإقليدية المنحنية، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة . هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. مثلًا، هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة الجيب التمام.

وفي هذا السياق، محيط الدائرة هو طول القوس المحيط بالدائرة، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام الحدود، وهو مفهوم في حساب التفاضل والتكامل. مثلًا، يمكن للمرء أن يحسب مباشرة طول القوس للنصف العلوي من دائرة الوحدة، الوارد في الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة ، باعتبارها التكامل:

هي نسبة محيط الدائرة على قطرها :

في الأعداد العقدية والتحليل

وفي هذا السياق، كل عدد عقدي، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي:

علاوةً على ذلك، حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:

وفي هذا السياق، حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق 2 = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يكون مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر :

وفي هذا الصدد، يوجد n عدد مركب تختلف عن بعضا البعض z يحققن المعادلة zn = 1. تسمى هذه الأعداد بالجذور النونية للوحدة، وتحدد بواسطة الصيغة التالية:

الخصائص

إضافةً إلى ذلك، π عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد كسرية، كما هو الحال بالنسبة لمتعددة الحدود . لتسامي نتيجتان مهمتان أولهما: لا يمكن أن يُعبر عن بأي دمج لأعداد كسرية وجذور مربعة وجذور مكعبة وما يشبه ذلك مثل أو . أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال انشاء عدد متسام بواسطة الفرجار والمسطرة، كذلك من المستحيل تربيع الدائرة.

وفي هذا السياق، عدد غير كسري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين صحيحين، مثل 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل على وجه التقريب للباي. ولهذا السبب، فإن عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة البرهان على أن باي عدد غير كسري.

الهدف من حساب ط

ومن جهة أخرى، حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والاسطوانة

المتسلسلات المتقاربة بسرعة

الاسم

وفي السياق ذاته، الرمز المستعمل من طرف علماء الرياضيات من أجل تمثيل النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هو الحرف الإغريقي و يُقرأ هذا الحرف باي و لا ينبغي خلط هذا العدد مع الحرف Π، والذي يعني الجداء. ويُنطق في اللغة الإنجليزية .

إضافةً إلى ذلك، وكان أول عالم رياضيات استعمل الحرف الإغريقي π من أجل تمثيل نسبة محيط الدائرة على قطرها هو ويليام جونز، الذي استعملها في عام 1706 في عمل له.

صيغ حسابية للعدد ط

وفي السياق ذاته، توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة.

في الفيزياء

من جانب آخر، مبدأ الريبة، الذي ينص على أن قياس موضع جسيم (Δx) وكمية التحرك (Δp) لايمكن لكليهما أن يكونا صغيرين في نفس الوقت:

معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة:

وفي هذا السياق، قوانين كبلر، التي تربط بين الزمن المداري (P) والمحور الإهليجي الأكبر a والكتل(M وm) لجسمين مداريين حول بعضهما:

النفاذية المغناطيسية في الفراغ:

إضافةً إلى ذلك، قانون كولوم للقوة الكهربائية، يصف القوة بين شحنتين كهربائيتين(q1 وq2) تفصلهما مسافة r:

الثابت الكوني:

من جانب آخر، يمكن رؤية العدد ط أو π في الكثير من القوانين الفيزيائية من أهمها: