عاملي

let res;

• for (res = 1; n > 1; n--)
• res *= n;
• return res;

return 1

else :

fact= 1

عاملي الأعداد الأولية

• نُعرّفه كمتسلسلة الجداء:
• حيث p هي الأعداد الأولية.
• انظر كذلك
• دالة غاما
• الأعداد المثلثية
• تقريب ستيرلينغ
• عاملي أعداد أولية
• مراجع

إضافةً إلى ذلك، عاملي الأعداد الأولية للعدد n هو جداء جميع الأعداد الأولية أقل من أو يساوي n، يرمز إليها بـ .

;;

int recursive_factorial(int n)

و في لغة سي:

سرعة النمو وتقريبات عندما يصير n كبيرا

تعطينا صيغة ستيرلينغ مقاربا ل n! عندما تكون n كبيرة:

ومن جهة أخرى، أغلب التقريبات لعاملي n تعتمد أساسا على تقريب لوغارتمها الطبيعي كما تبين الصيغة:

.

ومن ناحية أخرى، عندما يصير n كبيرا، تصير دالة عاملي أكبر من أي متعددة حدود ومن أي دالة أسية ل n.(ولكنها تبقى أبطأ من دالة الأس المزدوج).

من جانب آخر، تبيان الدالة (!f(n) = log(n مبين في يسار هاته الفقرة، حيث يبدو أنها خطية مع n (أي أنها متناسبة معه) إلا أن هذا الحدس خاطئ.

تطبيقات

يمكننا التعبير عن التوفيقة بدلالة العاملي:

return fact

• print("5! = " +str(factSimple(5))) #on the screen : 5! = 120
• وبطريقة ثانية:
• def fact(num):
• if num==0:

int res;

• for (res = 1; n> 1; n--)
• res *= n;
• return res;

{

• if (n == 0)
• return 1;
• return n * recursive_factorial(n-1);

}

تمديد دالة عاملي للأعداد غير الصحيحة

في هذا الإطار، هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد الصحيحة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.

دالتا غاما و π

علاوةً على ذلك، لكل عدد صحيح n، لدينا حيث Γ هي دالة أويلر(دالة غاما) وضعها ليونهارد أويلر. وتمكننا هاته الدالة من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة قطعا. وفي النهاية نجد:

دوال وجداءات تشبه دالة عاملي

نظرية الأعداد

كذلك، لدالة عاملي عدة تطبيقات في مجال نظرية الأعداد. وبشكل خاص، عاملي n قابل للقسمة على جميع الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي n. ونتيجة لذلك، فإن n> 5، عدد مؤلف، إذا وفقط إذا توفر ما يلي:

إضافةً إلى ذلك، وهنالك نتيجة أقوى من ذلك تتمثل في مبرهنة ويلسون. تنص هاته المبرهنة على ما يلي:

إذا وفقط إذا كان p أوليا.

}

• و بطريقة أخرى:
• int recursive_factorial(int n)
• {

أو عن طريق الاستدعاء الذاتي كما يلي

وكلا التعريفين يضم المتساوية التالية:

(define fact

(lambda (x)

count= 1

• while count<= num:
• fact*= count
• count+= 1

}

وبطريقة أخرى:function fact(n)

return 1

• else:
• return num*factorial(num-1)
• print("5! = " +str(fact(5))) #on the screen : 5! = 120
• وبطريقة ثالثة:
• factLambda = lambda num : num>0 and num*fact(num-1) or 1
• print("5! = " +str(factLambda(5))) #on the screen : 5! = 120
• و في لغة جافاسكربت:
• function fact(n){

(if (= x 0) 1

• (* x (fact (- x 1))))))
• و هذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.
• و بنفس الطريقة في Caml :
• let rec fact n
• match n with

;;

• و بطريقة أخرى:
• let fact n
• let rec aux n r
• match n with
• in
• aux n 1

الحساب والبرمجة

يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء.

وعلى صعيد آخر، فلنكتب باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد صحيح:

تعريف

تعرف دالة عاملي بالصيغة التالية:

عاملي ثنائي

• يمكن أن نعرفها بواسطة متسلسلة الجداء:
• حيث هو سقف العدد n.
• مثلًا، .

إضافةً إلى ذلك، يطلق على جداء جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى والتي لها نفس الزوجية (سواء كان فردي أو زوجي) تماما مثل ، اسم العاملي الثنائي للعدد ويُشار إليه بـ

عاملي متعدد

يعرف العاملي المتعدد بـ:

ومن ناحية أخرى، من الترميزات الشائعة ذات الصلة هي استخدام علامات تعجب متعددة للإشارة إلى عاملي متعدد ، أنواعها: عاملي ثنائي ، عاملي ثلاثي ... وهكذا.

{

• if (n == 0)
• return 1;
• else
• return n * fact(n - 1);

}

• و في لغة بايثون:
• def factSimple(num) :
• if num== 0 :