عدد

صفر

وعلى صعيد آخر، يجب التمييز بين استخدام 0 رقمًا واستخدامه عنصرًا نائبًا في أنظمة القيمة المكانية. استعملت الكثير من النصوص القديمة الصفر، واستعمله البابليون والمصريون. استعمل المصريون كلمة نفر للدلالة على الرصيد الصفري في المحاسبة ذات القيد المزدوج. استعملت النصوص الهندية الكلمة السنسكريتية شونيا للإشارة إلى مفهوم الفراغ. في نصوص الرياضيات، تشير هذه الكلمة غالبًا إلى الرقم صفر. على نفس المنوال، استعمل بانيني (القرن الخامس قبل الميلاد) عامل التشغيل الصفري (صفر) في أشتادهايي، وهو مثال مبكر لقواعد جبرية للغة السنسكريتية.

وفي هذا السياق، كتاب السندهند لبراهماغوبتا هو أول كتاب يذكر الصفر باعتباره رقمًا، وبالتالي يعتبر براهماغوبتا عادة أول من صاغ مفهوم الصفر. أعطى قواعد استخدام الصفر مع الأرقام السالبة والموجبة، مثل «الصفر فضلًا عن عدد موجب هو عدد موجب، والرقم السالب إلى جانب صفر هو عدد سالب». يعد كتاب السندهند أقدم نص معروف يتعامل مع الصفر كرقم في حد ذاته، وليس باعتباره مجرد رقم نائب في تمثيل رقم آخر كما فعل البابليون أو كرمز لنقص الكمية كما فعل بطليموس والرومان.

وفي السياق ذاته، تُظهر السجلات أن الإغريق القدماء كانوا غير متأكدين من مكانة الصفر كرقم: فقد سألوا أنفسهم «كيف يمكن أن يكون 'لا شيء' شيئًا؟» مما أدى إلى حجج فلسفية ودينية مثيرة للاهتمام، بحلول فترة العصور الوسطى، حول طبيعة ووجود الصفر والفراغ. تعتمد مفارقات زينون الإيلي جزئيًا على التفسير غير المؤكد للصفر. (حتى أن اليونانيين القدماء تساءلوا عما إذا كان الرقم 1 رقمًا).

إضافةً إلى ذلك، بدأ شعب الأولمك اللاحق في جنوب وسط المكسيك في استخدام رمز للصفر، وهو حرف رسومي على شكل صدفة، وفي العالم الجديد، ربما بحلول القرن الرابع قبل الميلاد، ولكن بالتأكيد بحلول عام 40 قبل الميلاد، أصبح جزءًا لا يتجزأ من أرقام المايا وتقويم المايا. استعملت الحسابات الرياضية للمايا نظام العدد الرباعي والخماسي المكتوب بنظام العشرين. قدم جورج آي. سانشيز في عام 1961 آلة حساب (إصبعية) تستعمل نظام العدد الرباعي والخماسي.

وفي هذا الصدد، استُخدم صفر حقيقي آخر في الجداول بجانب الأرقام الرومانية اعتبارًا من عام 525 (أول استخدام معروف بواسطة دنيسيوس الصغير)، ولكن كلمة نول عنت لا شيء ولم تكن رمزًا. عندما نتج عن القسمة 0 كباقي، استخدِمت نيهيل، والتي تعني كذلك لا شيء. استخدِمت هذه الأصفار في العصور الوسطى من قبل جميع الحاسبين في العصور الوسطى (حساب عيد الفصح). استعمل بيدا أو أحد زملائه نحو عام 725 حرف النطق إن على نحو منفصل في جدول من الأرقام الرومانية باعتباره رمز الصفر الحقيقي.

وفي السياق ذاته، بحلول عام 130 بعد الميلاد، استعمل بطليموس، المتأثر بأبرخش والبابليين، رمزًا للصفر (دائرة صغيرة ذات خط علوي طويل) ضمن نظام الأرقام الستيني، وبخلاف ذلك استعمل الأرقام اليونانية الأبجدية. نظرًا لاستخدامه بمفرده، وليس كعنصر نائب، فقد كان هذا الصفر الهلنستي أول استخدام موثق للصفر الحقيقي في العالم القديم. في المخطوطات البيزنطية اللاحقة لكتابه الأطروحة الرياضية (المجسطي)، تحول الصفر الهلنستي إلى الحرف اليوناني أوميكرون (يعني 70).

في هذا الإطار، هناك استخدامات أخرى للصفر قبل براهماغوبتا، على الرغم من أن الوثائق ليست كاملة كما هي في كتاب السندهند.

أنواع الأعداد

كذلك، يعود أول استخدام موثق معروف للصفر إلى عام 628 بعد الميلاد، وظهر في كتاب سيندهانتا، وهو العمل الرئيسي لعالم الرياضيات الهندي براهماغوبتا. لقد تعامل مع 0 كرقم وناقش العمليات المتعلقة به، بما في ذلك القسمة. بحلول هذا الوقت (القرن السابع) كان المفهوم قد وصل بوضوح إلى كمبوديا بصورة أرقام خميرية، وتظهر الوثائق انتشار الفكرة لاحقًا إلى الصين والعالم الإسلامي.

أول استخدام للأرقام

من جانب آخر، اكتِشفت عظام ومصنوعات يدوية أخرى تحمل علامات محفورة يعتقد الكثيرون أنها رموز العصا. ربما استخدِمت علامات التسجيل هذه لحساب الوقت المار، مثل عدد الأيام أو الدورات القمرية أو الاحتفاظ بسجلات للكميات، مثل الحيوانات.

من جهة ثانية، كان أول نظام معروف له قيمة مكانية هو نظام قاعدة بلاد ما بين النهرين الستيني (نحو 3400 قبل الميلاد) وأقرب نظام أساسي 10 معروف يعود إلى 3100 قبل الميلاد في مصر.

وفي السياق ذاته، نظام العد التقليدي لا يتضمن مفهوم القيمة المكانية (كما هو الحال في النظام العشري الحديث)، مما يحد من قدرته على تمثيل الأعداد الكبيرة. ومع ذلك، تُعتبر أنظمة العد هذه أول نوع من الأنظمة العددية التجريدية.

الأعداد الطبيعية

ومن جهة أخرى، الأعداد الأكثر ألفة هي الأعداد الطبيعية أو أعداد الحساب وهي واحد واثنين وثلاثة، إلخ.

في هذا الإطار، في نظرية المجموعات، وهي النظرية القادرة على أن تعمل كأساس بديهي للرياضيات الحديثة، يمكن تمثيل الأعداد الطبيعية بفصل من المجموعات المساوية. مثلًا العدد 3 يمكن تمثيله بجميع المجموعات التي تحتوي على 3 عناصر. وهناك الكثير من الطرق المختلفة لتمثيل العدد 3، ولكن كل ما نحتاج إليه لتمثيله قياسيًّا هو كتابة رمز محدد أو مجموعة رموز محددة، ثلاث مرات.

من جانب آخر، وهي الأعداد التي تحتوي الصفر والأعداد التي بعده، شاع عالميًّا استعمال عشرة أرقام لكتابة الأعداد العشرية وهي: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. في هذا النظام العشري يحصل الرقم في أقصى اليمين على قيمة أحادية بينما تتضاعف هذه القيمة 10 أضعاف كلما اتجهنا خانة إلى اليسار. رمز مجموعة الأعداد الطبيعية N وتكتب كذلك .

الأعداد الكسرية

كذلك، العدد الكسري هو عدد يمكن التعبير عنه بكسر ذو بسط صحيح ومقام طبيعي لا يساوي صفر. الكسر m/n أو

وفي السياق ذاته، يمثل عدد m جزءًا متساويًا، في حين أن عدد n جزء منها تكون واحدًا كاملًا. يمكن أن يشترك كسران في نفس القيمة للعدد الكسري، مثلا 1/2 و2/4 لهما نفس القيمة، بمعنى أن:

علاوةً على ذلك، إذا كانت القيمة المطلقة للعدد m أكبر من n فإن القيمة المطلقة للكسر تكون أكبر من 1. ويمكن للكسور أن تكون أكبر من الواحد، أو أصغر منه، أو مساوية له، أو موجبة، أو سالبة، أو حتى صفرًا. مجموعة الأعداد الكسرية تشمل الأعداد الصحيحة ؛ لأن كل عدد صحيح يمكن التعبير عنه بكسر ذي مقام يساوي 1. مثلًا: العدد 7- يكتب ككسر . رمز الأعداد الكسرية Q وتكتب .

الأعداد الصحيحة

إضافةً إلى ذلك، الأعداد السالبة: هي الأعداد الأقل من الصفر، وهي معاكسة للأعداد الموجبة. مثلًا: إذا كان عدد موجب يمثل وديعة بنكية، فإن العدد السالب يمثل النقود المسحوبة من نفس الكمية. تكتب الأعداد السالبة بإسباق إشارة سالبة - تسمى كذلك علامة ناقص - للعدد الموجب المعاكس له. عليه فإن عكس العدد 7 هو 7-. عندما نوحد مجموعة الأعداد السالبة ومجموعة الأعداد الطبيعية والصفر فإننا نحصل على مجموعة الأعداد الصحيحة Z وتكتب كذلك .

الأعداد الصحيحة: هي الأعداد الموجبة والسالبة مع الصفر.

الأعداد الحقيقية

مراجع

انظر كذلك

وفي هذا الصدد، عندما يمثل العدد الحقيقي مقياسًا فإنه دائمًا ما يكون هناك يتم التحصل عليه بتدوير Rounding أو بتر Truncating بعض الخانات العشرية، بحيث يتم التخلص من الخانات التي تعطي دقة أكبر من القياس. الخانات المتبقية تسمى الخانات الموثرة. فمثلًا: القياس بالمسطرة نادرًا ما يتم بدون وجود حد خطأ 0.01 متر على الأقل. فإذا قيست أطوال أضلاع مستطيل ما كالتالي: 1.23 متر و4.56 متر، فإن الضرب سيعطي ناتجًا لمساحة 5.6088 متر مربع. ولأن الخانات العشرية المؤثرة هي فقط الأولى والثانية بعد الفاصلة، فإن القيمة تدور إلى 5.61.

(الجذر التربيعي ل 2 هو العدد الموجب الذي مربعه يساوي 2).

ومن جهة أخرى، في الجبر التجريدي الأعداد الحقيقية هي أقرب للتماثل، وتتميز باتصافها بأنها المجال المرتب الكامل الوحيد، ولكنها بالرغم من ذلك لا تمثل مجالات مغلقة جبريًّا.

وفي هذا الصدد، بما أن الجزء العشري لا ينتهي ولا يتكرر لانهائيًّا، فإنه يستحيل كتابة هذا العدد ككسر وهو مثال جيد للأعداد اللاكسرية. مثال آخر لها هو:

ومن ناحية أخرى، يمثل: 1 مئة وعشرتين و3 آحاد و4 أعشار و5 من مئة و6 من ألف. في قراءة العدد نقول للنقطة العشرية فاصلة، أي: «مئة وثلاثة وعشرون، فاصلة، أربع مئة وستة وخمسون».

في هذا الإطار، الأعداد الحقيقية تشمل جميع أعداد القياس، وتكتب غالبًا بالتعداد العشري، والذي توضع فيه نقطة عشرية (أو فاصلة أحيانًا) يمين الخانة العشرية ذات القيمة الأساسية 1، كل خانة يمين هذه النقطة العشرية لها قيمة أساسية واحد على عشرة - عشر- قيمة الخانة السابقة لها من اليسار، عليه فإن:

وعلى صعيد آخر، تصنف الأعداد الحقيقية إلى كسرية وغير كسرية، ولكل عدد حقيقي نقطة تمثله على خط الأعداد. تمتلك الأعداد الحقيقية خاصية مهمة ولكنها تقنية بالحد الأكبر وتسمى خاصية (Least Upper Bound- Supremum). رمز الأعداد الحقيقية هو R أو .

علاوةً على ذلك، كل عدد كسري هو عدد حقيقي يحول بقسمة بسطه على مقامه، ولكن العكس ليس صحيح: ليس كل عدد حقيقي عددًا كسريًا؛ لأن هناك بعض الأعداد الحقيقية التي لا يمكن كتابتها في صورة بسط ومقام من أعداد صحيحة وهي تسمى أعداد لا كسرية. وإذا أمكن كتابة الجزء العشري من العدد الصحيح في صورة كسر، فهو إما منتهٍ أو متكرر لانهائيًّا ؛ لأن هذه هي إجابة لمشكلة في القسمة، عليه يمكن كتابة 0.5 ككسر وكذلك يكتب 0.33333 (ثلاثة متكررة لانهائيًّا) ككسر ومن جهة أخرى، العدد الحقيقي π (باي)،والذي هو نسبة محيط أي دائرة على قطرها، يساوي:

وفي السياق ذاته، في الولايات المتحدة الأمريكية والمملكة المتحدة وعدد من البلدان الأخرى تمثل العلامة العشرية بنقطة، في حين أنها تمثل بفاصلة في قارة أوروبا وأغلب الدول العربية وبعض الدول الأخرى. الصفر في الأعداد الحقيقية يكتب 0.0 عند الضرورة للتأكيد على معاملته كعدد حقيقي وليس مجرد عدد صحيح. الأعداد الحقيقية السالبة تسبق بإشارة ناقص:

كذلك، عليه فإن 1.0 و0.9999 هما طريقتين عشريتين مختلفتين لتمثيل نفس العدد الطبيعي 1، وهناك عدد لانهائي من الطرق المختلفة لتمثيل العدد 1، منها مثلًا: ، ، 1.00،1.000 وهكذا دواليك.

أرقام عددية

ومن ناحية أخرى، يجب التمييز بين الأرقام والأرقام العددية، والرموز المستعملة لتمثيل الأرقام. اخترع المصريون أول نظام أرقام مشفر، وتبعهم الإغريق بتحويل أرقامهم العددية إلى أبجديات إيونية ودورية. ظلت الأرقام الرومانية، وهي نظام يستعمل تركيبات من الأبجدية الرومانية، سائدة في أوروبا حتى انتشار النظام الهندي-العربي العددي الأفضل في أواخر القرن الرابع عشر، وظل النظام الهندي-العربي العددي الأكثر شيوعًا في تمثيل الأرقام في العالم حتى اليوم. المفتاح لفعالية النظام كان في رمز الصفر، الذي طوّره الرياضيون الهنود القدماء نحو عام 500 ميلادي.