عدد برنولي

وصف الخوارزمية

من جانب آخر، بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.

إعادة لصياغة نص فرضية ريمان

• ملحق
• قيم أعداد بيرنولي الأولى
• إنظر كذلك
• صيغة فاولهابر
• صيغة أويلر-ماكلورين
• كثيرة حدود لاغرانج
• عدد جينوتشي
• الملاحظات

وفي السياق ذاته، الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:

كائنات توافقياتية

أعداد بيرنولي كائنات توافقياتية.

• وبشكل متعاقب Bn = n! σn(1) for n ≥ 0.
• أعداد برنولي قيما لمتعددات حدود متعاقبة.
• المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.
• يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين:
• Bn = Bn(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,....
• Bn = Bn(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

وفي هذا الصدد، تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.

قيما لمتعددات حدود متعاقبة،

• قيما من دالة ريمان-زيتا.
• تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.
• أعداد بيرنولي كائنات قائمة بذاتها.
• تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...

تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

إضافةً إلى ذلك، هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستعمل هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في الكثير من الجامعات اليوم.

علاوةً على ذلك، يختلف التعريفان فقط في إشارة B1. الخيار Bn = Bn(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - Handbook of Mathematical Functions.

حساب أعداد برنولي بكفاءة

• الحاسب
• السنة
• n
• المراتب*
• ياكوب بيرنولي
• ~1689
• 10
• 1
• ليونهارد أويلر
• 1748
• 30
• 8
• J.C. Adams
• 1878
• 62
• 36
• D.E. Knuth, T.J. Buckholtz
• 1967
• 360
• 478
• G. Fee, S. Plouffe
• 1996
• 10000
• 27677
• G. Fee, S. Plouffe
• 1996
• 100000
• 376755
• B.C. Kellner
• 2002
• 1000000
• 4767529
• O. Pavlyk
• 2008
• 10000000
• 57675260
• D. Harvey
• 2008
• 100000000
• 676752569

إضافةً إلى ذلك، من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB0 حتى Bp − 3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع والتي تتطلب عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).

وعلى صعيد آخر، يصف ديفيد هاري خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب Bn متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء Bn عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب Bn لقيم n = 108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر حسب Bn لأعلى دقة لقيم n = 106 في ديسمبر 2002 و لقيم n = 107 بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.

العلاقة بالأعداد الأويلرية

كذلك، ترتبط أعداد أويلر ارتباطا شديدا بأعداد برنولي. يمكن التعبير عن أعداد برنولي من خلال أعداد أويلر وعن أعداد أويلر من خلال أعداد برنولي.

• تمثيل الشجرة الثنائي
• تقريب المقارب
• تمثيل التكامل والاستمرارية

مجموع القوى

في هذا الإطار، عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog .

وفي هذا الصدد، مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:

ومن جهة أخرى، تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:

وفي هذا السياق، يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد كذلك طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.

ومن ناحية أخرى، لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B1 = −1/2. في القسم التالي سوف يُعلق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.

وفي هذا السياق، بجعل m مساوية ل 2 وB2 = 1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0, 1, 5, 14,  وهكذا.

وفي هذا السياق، لتكن n ≥ 0. بجعل m مساوية ل 0 وB0 = 1 تعطي أعداد طبيعية 0, 1, 2, 3, ....

وفي هذا السياق، العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B1 = +1/2. ( يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)

من جهة ثانية، هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m + 1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:

كذلك، بجعل m مساوية ل 1 وB1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0, 1, 3, 6,  وهكذا.

تاريخ حساب أعداد بيرنولي

من جهة ثانية، المراتب ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب B(n) كعدد حقيقي في العلامة العلمية الموحدة.

التعريف الصريح

من جهة ثانية، في سنة 1893، نشر لويس سالشوتز ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي :

التاريخ

في هذا الإطار، تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.

علاوةً على ذلك، المتعة التي أحس بها جاكوب بيرنولي حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى c لأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب:

91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.

كذلك، من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة فيثاغورث(قرابة 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، وأرخميدس (287–212 ق.م، إيطاليا) واريابهاتا (476 ق.م., الهند) والكرخي (1019 م، البصرة) والحسن بن الهيثم (965 م، في البصرة -. 1039, م في القاهرة).

وفي السياق ذاته، عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى، ولكن لم تكن هنالك «صيغ» حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.

ومن ناحية أخرى، بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه كذلك وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة.

وفي هذا السياق، بفضل هذا الجدول، استغرقت من الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن مجموع القوى العاشرة لألف عدد الأولى يساوي:

ومن جهة أخرى، كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B0, B1, B2, ... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى . قبلها بعام كانت قد اكتشف سيكي كاوا في اليابان طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى. بالرغم من ذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.

وفي هذا الصدد، تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح أبراهام دي موافر.

وفي السياق ذاته، لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، ويوهان فاولهابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.

من جهة ثانية، نسبة إلى ، نُشر أول برهان متماسك لصيغة فاولهابر لأول مرة في سنة 1834، نشره عالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.

arXiv:0807.1347v2 math.NT

• .
• .
• .
• .
• arXiv:math/9207222 (math.CA).
• DIGIZ.
• DIGIZ.

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

في هذا الإطار، Menabrea, L. F., "Sketch of the Analytic Engine invented by Charles Babbage, with notes upon the Memoir by the Translator Ada Augusta, Countess of Lovelace." Bibliothèque Universelle de Genève, October 1842, No. 82. http://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html

وجهات نظر واصطلاحات مختلفة

كائنات رياضياتية قائمة بذاتها،

يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:

نظرة خواريزمية: مثلث سيدل

الخصائص الحسابية لأعداد برنولي

انظر إلى فيليب فون لوديش سيدل.

علاقته بأعداد أويلر وπ

من جانب آخر، أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.

دالة التوليد

تعرف الدالة المولدة لمتسلسلة برنولي كما يلي:

تقود الخيارات n = 0 وn = 1 إلى.

دالة توالدية

وفي هذا السياق، يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B1 = 1/2, يضع المؤلفون B1 = −1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل). لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.

ومن ناحية أخرى، لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل أو .

وصف خوارزمي.

أعداد بيرنولي قيما لدالة زيتا لريمان

• تطبيقات عدد بيرنولي
• تحليل المقارب
• متسلسلة تايلور لدالتي tan و tanh
• الاستخدام في الطوبولوجيا
• التعريفات التوافقية
• العلاقة بعدد فوربتزكي
• العلاقة بمجموعة أعداد سترلنغ
• العلاقة بعدد دورة سترلنغ

التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

وعلى صعيد آخر، يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح Bn = Bn(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B1 متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.

تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتي

إضافةً إلى ذلك، تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما:

وفي هذا السياق، عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة Bm(0) في الحالة الأولى وBm(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.

في هذا الإطار، تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية Bm(n) لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 0, m ≥ 0. 00 التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B0(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n = 0 على الترتيب n = 1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير  n.

ومن جهة أخرى، التعبير هنا يحمل القيمة 1 إذا كان m = 0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم دلتا كرونكر.

مبرهنات كومر

إضافةً إلى ذلك، إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي B2, B4, ..., Bp−3، إذا، فإن المعادلة xp + yp + zp = 0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.

• الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية.
• لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟
• المجموع:

• الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي :
• بتوحيد المقامات في الجانب الأيسر:
• الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية.
• بتعويض x ب -x، نجد ما يلي:
• من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم عندما يكون المؤشر فرديا.

ومن ناحية أخرى، يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.

وفي هذا الصدد، ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:

تعاريف

صيغة صريحة،

علاوةً على ذلك، وُجدت الكثير من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:

استدعاء ذاتي،